Презентация "Преобразование подобия"

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Преобразование подобия.

Скажи мне — и я забуду, покажи мне — и я запомню, дай мне сделать — и я пойму.

Конфуций

древний мыслитель,

философ Китая

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
ПОВОРОТ

Д В И Ж Е Н И Е

Свойства движения:

При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.
Сохраняются расстояния между точками.
Сохраняются углы между лучами.

Что такое подобие и где оно встречается?

Посмотрите на эту картинку.

Все матрешки имеют одинаковое лицо,

костюмы и пропорции. Значит они являются

ПОДОБНЫМИ ФИГУРАМИ. Что такое подобные фигуры? Простым языком

Это те фигуры, которые

имеют разные массы, размеры, но

одинаковые формы!

Где встречается подобие? Посмотрите вокруг.

Мы живем в мире подобия. В самом Человеке заложен Принцип Подобия, каждый его орган или часть тела подобна всему телу. Даже все люди похожи. У каждого из нас одинаковый набор органов. У каждого два уха, два глаза и тп.

Мы живем на планете Земля, наша планета подобна другим планетам. Она такая же круглая как и все планеты во вселенной.

Вот некоторые подобия которые встречаем мы в жизни:

Посмотрите на рисунке 4 вида мячей. Они все имеют разные размеры и массы, но одинаковую форму - круга.

В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными.

А для чего нам нужно подобие?

Для решения задач. А вы знали, что при помощи зеркала можно найти высоту рядом находящегося предмета. Как измерить высоты дерева с которым мы стоим рядом?

Отойдя на некоторое расстояние от дерева, зеркало следует положить на землю так, чтобы оно приняло горизонтальное положение. Затем нужно постепенно отходить назад до тех пор, пока в зеркале удастся увидеть отражение вершины дерева.
Высота дерева будет во столько раз больше роста человека (до высоты глаз), во сколько расстояние от зеркала до дерева больше расстояние от зеркала до места стояния человека .

Подобие фигур

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз.

Две фигуры F и F' называются подобными, если одна из них переводится в другую подобием.

Х'

Х Х'

Y Y'

Х'Y' = k ХY

число k называется коэффициентом подобия.

Свойства подобия

Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками.

Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.

Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.

При подобии угол сохраняет величину.

Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом.

Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.

Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.

Два треугольника являются подобными, если их соответственные углы равны, или стороны пропорциональны.

Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их диаметров (или радиусов).

Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Гомотетия

Зафиксируем точку O и положительное число k. Каждой точке Х плоскости, отличной от O сопоставим точку Х' на луче OХ так, что OХ' = k  OХ. Точке O сопоставим ее саму.

Х'

Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка Х переходит в точку Х' , построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра O.

Число k называется коэффициентом гомотетии.

Фигуры F и F´ называются гомотетичными.

О – центр гомотетии

ОВ′ = k∙ОВ

k – коэффициент гомотетии.

А′

В′

С′

Рассмотрим случаи:

1 случай: k > 0

k > 1

k < 1

2 случай: k < 0

Дано: ∆АВС,

О – центр гомотетии,

k = 3.

Построить: ∆А´В´С´, гомотетичный ∆АВС.

Построение.

С´

А´

В´

Проведем луч ОА.

Отложим на нем отрезок ОА´ = 3 ∙ОА.

Проведем луч ОС.

Проведем луч ОВ.

Отложим на нем отрезок ОС´ = 3 ∙ОС.

Отложим на нем отрезок ОВ´ = 3 ∙ОВ.

Достроим ∆А´В´С´ - искомый.

Построение фигуры

гомотетичной данной

1 случай: б) k = 1/3

А′

В′

С′

ОА′ = 1/3∙ОА = 1/3 ___ = ___

ОВ′ = 1/3 ∙ОВ = 1/3 ∙___ = ___

ОС′ = 1/3 ∙ОС = 1/3 ∙___ = ___

2 случай: k = -2

А′

В′

С′

ОА′ = |-2|∙ОА = 2∙___ = ___

ОВ′ = |-2|∙ОВ = 2∙___ = ___

ОС′ = |-2|∙ОС = 2∙___ = ___

Подобными являются любые два круга, два квадрата.

Подобие фигур.

ЕСЛИ ФИГУРА F1 ПОДОБНА ФИГУРЕ F2, А ФИГУРА F2 ПОДОБНА ФИГУРЕ F3, ТО ФИГУРЫ F1 И F3 ПОДОБНЫ.

Преобразование подобия имеет широкое практическое применение, в частности, при выполнении деталей машин, составлении карт и планов местности. При этом коэффициент подобия называется масштабом.

Преобразование подобия имеет широкое практическое применение, в частности, при выполнении деталей машин, составлении карт и планов местности. При этом коэффициент подобия называется масштабом.

Подобие в жизни

(карты местности)

Преобразование подобия Преобразование одной фигуры в другую называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояние между точками изменится в одно и то же число раз

Проверь себя

Свойства преобразования подобия

Задание 1

Задание 2

Иллюстрация определения

Пример преобразования подобия

Расстояние между соответствующими точками изменилось в 4 раза, значит, фигуры были подвергнуты преобразованию подобия

8см

5 см

32 см

20 см

Задание 1 Квадрат F1 был подвергнут некоторому преобразованию. В результате была получена фигура F2. Будет ли данное преобразование являться преобразованием подобия? Свой ответ обоснуйте.

Подобные треугольники:

В1

С1

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника

Стороны АВ и А1В1

ВС и В1С1

СА и С1А1 называются сходными

В1

С1

А1

Подобные треугольники:

∆КМР∆СОВ