Конспект урока "Метод «геометрической» подстановки" 9 класс
Тема: Метод «геометрической» подстановки.
Тип урока: Комбинированный.
Вид урока: Урок изучения нового материала.
Ход урока:
Но когда эти науки (алгебра и геометрия) объединились, они энергично поддержали
друг друга ибыстро зашагали к совершенству.
Ж. Л. Лагранж
Цели урока:
• Образовательные:
1. совершенствовать навыки решения разнообразных задач по
использованию формул скалярного произведения векторов;
2. совершенствовать умения применять имеющиеся знания в
конкретной ситуации;
3. расширять знания учащихся путём решения нестандартных
задач.
• Развивающие:
1. развивать математический кругозор;
2. формирование умения обобщать, видеть закономерности;
3. развивать математическую речь;
• Воспитательные:
1. воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию;
2. воспитывать умение слушать друг друга и учителя.
1. Организационный момент.
• Приветствие.
• Решение некоторых алгебраических уравнений, неравенств,
систем и т. д. упрощается, если придать входящим в них
выражениям геометрических смысл. Сегодня на уроке мы будем
решать алгебраические задачи с использованием формул
расстояния между точками и скалярного произведения векторов.
• Это можно сделать следующим способом: интерпретировать
выражение в виде соотношения между векторами, используя
запись операции с векторами в координатной форме. А сейчас мы
с вами вспомним формулы нахождения длины вектора,
расстояния между точками и формулы скалярного произведения
векторов в координатном виде.
Пусть даны два вектора (x; y) и
(x;y)
=
=
, где α – угол между векторами, справедлива
следующая оценка
, причем экстремальное
значение скалярного произведения достигается в случае,когда
данные вектора коллинеарные. Запишем это неравенство в
координатной форме:
Самостоятельная работа:
Запишите и вычислите, если возможно, скалярное произведение
векторов и модули векторов, заданных своими координатами
1)
2)
3)
Ответы:
1)
=17,
2)
=
,
3)
2. Изучение нового материала:
№1Найдите наибольшее значение выражения
S=
.
Решение:
Рассмотрим векторы
.
Левая часть данного выражения является координатной записью
скалярного произведения векторов
. Тогда
s=
при этом векторы
становятся сонаправленными, то наибольшее
значение выражения равно s=4.
Ответ:4.
Для решения следующей задачи вспомним формулу расстояния между
точками A (x; y) и B (x;y)
AB=
Найдите расстояние между точками M(x;y) и N(3;-1)
NM=
№2 Найдите наименьшее значение выражения:
S=
Решение:
Слагаемое
можно интерпретировать как
расстояние от точки с координатами M(x;y) до точки N(1;3). Значит
данное слагаемое равно длине отрезка MN. Слагаемое
это длина
перпендикуляра из точки M на ось OX. Слагаемое
это длина
перпендикуляра из точки M на ось OY. Но s это длина ломанной,
которая всегда меньше длины отрезка, соединяющего его концы. Таким
образом, наименьшее значение выражения равно длине отрезка NO, где
точка O начало координат.
y
N
M
О
x
NO=
Ответ:
.
№3 Решите систему уравнений
Решение:
Каждое слагаемое первое уравнение системы можно интерпретировать
как расстояние между точками M(x;y) и N (1;2), M(x;y) и P(5;5).
Поэтому каждое решение первого уравнения можно представить как
точку на координатной плоскости, сумма расстояний от которой до
точек N(1;2) и P(5;5) равна 5. Найдем расстояние между точками N и P
NP=
=5
Тогда получаем, что MN+NP=NP или другими словами точка M лежит
на отрезке NP (между точками N и P), а значит ее координаты
удовлетворяют уравнению прямой NP и
.
y
P
M
N
О
x
Составим уравнение прямой NP:
y=k
y=0,75x+1,25
Значит, наша задача сводится к решению системы уравнений:
Ответ: (3;3,5)
3. Домашнее задание :
1. Решите неравенство:
2
.
2. Найдите наибольшее значение выражения
S=y
.
3. Найдите наименьшее значение функции
F(x;y)=
4. Подведение итогов урока, выставление оценок.
Геометрия - еще материалы к урокам:
- План-конспект открытого урока "Мы пока не Пифагоры" 9 класс
- Конспект урока "Использование метода координат в пространстве для решения заданий С2 ЕГЭ" 11 класс
- Конспект урока "Применение подобия при решении задач" 8 класс
- План конспект урока "Подобные треугольники" 8 класс
- Технологическая карта урока "Подобие треугольников"
- Презентация "Объём конуса"
