Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Виды тригонометрических уравнений и способы их решения" 10 класс

Урок по алгебре и началам математического анализа.
Тема «Виды тригонометрических уравнений и способы их решения» (2 часа).
Класс: 10
Учитель: Банщикова Ирина Петровна, учитель математики МБОУ г. Кургана «СОШ
№ 11».
Цели урока:
Образовательные:
- сформировать у учащихся умения классифицировать тригонометрические
уравнения по видам и методам решений;
- сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения тригонометрических
уравнений различных видов.
Развивающие:
– развивать умение самостоятельного решения задач, связанных с применением
методов решения тригонометрических уравнений;
- способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, устойчивого
интереса к математике, внимания.
Воспитательные:
- воспитывать чувство ответственности в связи с преодолением трудностей в процессе
умственной деятельности, формировать навыки самооценки;
- содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся в ходе
проговаривания алгоритмов решения тригонометрических уравнений.
Оборудование: карточки для самостоятельной работы, стенд «Решение простейших
тригонометрических уравнений», стенд «Формулы преобразования тригонометрических
выражений», стенд «Значения тригонометрических функций», блок-схема «Решение
тригонометрических уравнений", экран, проектор, доска, мел.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. Математика: алгебра и начала математического
анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Учебник
(задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и углубленный
уровни) - М.: Мнемозина, 2021.
Тип урока: урок по ознакомлению с новым материалом.
Методы обучения: метод постановки проблемы и метод поиска решений.
Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная,
самопроверка, взаимопроверка.
Ход урока.
1. Актуализация знаний. Постановка проблемы.
Перед вами на столе лежит карточка с уравнениями.
1. 2cosx -
2
=0
2. tg 2x + 1 = 0
3. sin
1
43
−=
+
х
4. 6cos
2
x + 7sinx – 8 = 0
5. sin3x +
3
cos3x = 0
6. 2tgx + ctgx - 3 = 0
Скажите, пожалуйста, какие из них вы можете решить?
Итак, вы знаете, как решать уравнения с 1-го по 3-е, так как они являются либо
простейшими, либо простейшими со сложным аргументом.
Сегодня цель нашего урока – научиться решать тригонометрические уравнения,
которые не являются простейшими.
2. Объяснение нового материала.
Прежде чем приступить к рассмотрению темы, дадим несколько определений.
1) Тригонометрическое уравнение - это уравнение, содержащее неизвестные под
знаком тригонометрической функции (слайд 2).
2) Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все
тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы, например, 2sin
2
x
+ 3cosx = 0 (слайд 3).
3) Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно
содержит только одну из тригонометрических функций, например, 3tg
2
x + 2tgx – 1 = 0 (слайд
4).
4) Степенью одночлена, содержащего тригонометрическую функцию,
называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него,
например,
sin
2
x – 2sinx cosx = 0 (слайд 5).
5) Уравнение называется однородным, если все одночлены имеют одну и ту же
степень (она называется порядком уравнения), а сами тригонометрические функции имеют
равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения, например,
3sin
2
x – 4sinx cosx + cos
2
x = 0 (слайд 6).
6) Уравнение называется почти однородным, если один из одночленов - число, а
степени остальных – равны, например, 6sin
2
x + 4sinx cosx = 1 (слайд 7).
Итак, с чего же начать решение тригонометрического уравнения. Прежде всего,
определить его вид. Какие же виды тригонометрических уравнений можно выделить (слайд
8)?
1. Простейшее тригонометрическое уравнение: sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a.
Простейшее тригонометрическое уравнение со сложным аргументом: sin(kx+b)=a,
cos(kx+b)=a, tg(kx+b)=a, ctg(kx+b)=a (слайд 9).
Способ решения простейших тригонометрических уравнений – по формулам (стенд
«Решение простейших тригонометрических уравнений»).
2. Уравнения, квадратные относительно тригонометрической функции:
A sin
2
x + B sinx + C = 0 (слайд 10).
Способ решения тригонометрических квадратных уравнений – введение новой
переменной, например, sinx = t, t
1;1−
и решение квадратного уравнения At
2
+ Bt + C = 0.
3. Однородные уравнения 1-го порядка: A sinx + B cosx = 0 (слайд 11).
Способ решения – деление обеих частей уравнения на cosx
0
и сведение данного
уравнения к уравнению вида A tgx + B = 0.
4. Однородные уравнения 2-го порядка: A sin
2
x + B sinx cosx + C cos
2
x = 0 (слайд
12).
Способ решения – деление обеих частей уравнения на cos
2
x
0
и сведение уравнения
к уравнению вида A tg
2
x + B tgx + C = 0.
5. Почти однородное уравнение 1-го порядка: A sinx + B cosx = k (слайд 13).
Способ решения – изменить углы у тригонометрических функций и решать по блок-
схеме.
6. Почти однородное уравнение 2-го порядка: A sin
2
x + B sinx cosx + C cos
2
x = k
(слайд 14).
Способ решения – заменить k = k sin
2
x + k cos
2
x и решать по блок-схеме.
При решении тригонометрического уравнения удобно пользоваться следующей блок-
схемой:
Блок-схема решения тригонометрических уравнений
Углы одинаковые? Нет 1 Привести к нет
Да Да одинаковым углам
Функции одинаковые? Да Сделать замену и
Нет решать как
2 Приводится к одинаковым функциям? Да алгебраическое
Нет уравнение
4 Изменить углы 3 Привести к sinx и cosx
Однородное? Да Обе части уравнения
Нет разделить на cosx
Почти однородное 2-го порядка? Да в степени, равной
Нет порядку уравнения
Да Почти однородное 1-го порядка?
Нет
Нет 5 Левую часть разложить Замена к на кsin
2
x+кcos
2
x
на множители и приравнять к 0
Блок 1.
1. sin2x = 2sinx cosx
2. cos2x = cos
2
x – sin
2
x
3. 2sin
2
(x/2) = 1- cosx
4. 2cos
2
(x/2) = 1+ cosx
Блок 3.
1. tgx =
x
x
cos
sin
2. ctgx =
x
x
sin
cos
Блок 2.
1. cos
2
x = 1-sin
2
x
2. sin
2
x = 1- cos
2
x
3. ctgx = 1/tgx
4. Формулы приведения.
Блок 4.
1. Формулы двойного угла.
2. Формулы сложения.
Блок 5.
1. Вынести за скобку общий множитель.
2. Способ группировки.
3. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.
4. Формулы сокращенного умножения.
Если уравнение нельзя отнести ни к одному из видов, следует выполнить
тригонометрические или алгебраические преобразования. При этом можно пользоваться
шуточными подсказками:
1. Увидел квадрат – понижай степень.
2. Увидел произведение – делай сумму.
3. Увидел сумму – делай произведение.
Эти законы часто дают толчок к началу тригонометрических преобразований.
Пользуясь блок-схемой, классификацией уравнений по видам и подсказкам, можно
хорошо научиться решать тригонометрические уравнения, чем мы сейчас и займемся.
3. Первоначальное закрепление нового материала.
Учитель вместе с учащимися разбирает решение уравнений, пользуясь блок-схемой.
Примеры:
1. 2sin
2
x + 3cosx = 0
2. 3tg
2
x + 2tgx – 1 = 0
3. sin
2
x – 2sinx cosx = 0
4. 3sin
2
x – 4sinx cosx + cos
2
x = 0 (Это задание учащиеся выполняют
самостоятельно с последующей самопроверкой).
4. Отработка навыков решения уравнений.
Учащиеся выполняют тренировочные упражнения у доски и в тетради, проговаривая
и объясняя каждый этап решения. Те учащиеся, которые работают самостоятельно, получают
оценку в журнал.
Тренировочные упражнения:
1. 5tg
2
x + 4tgx – 1 = 0
2. sin2x + 2cos2x = 1
3. 2 – 3sinx – cos2x = 0
4. sinx = 2sin2x (взаимопроверка решения)
5. sin3x + sin5x = 0
5. Домашнее задание: § 23, записи в тетради, решить уравнения на карточке.
6. Подведение итогов урока. Рефлексия. Оценки.
Итак, подведем итоги урока.
Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?
Ответы учащихся:
Рефлексия. Продолжите фразу:
• Самым сложным на уроке было…
• Самым интересным при работе для меня было…
• Самым неожиданным для меня было…
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: