Конспект занятия "Основные методы решения тригонометрических уравнений"

Урок 5. Основные методы решения тригонометрических уравнений.

Урок рассчитан на 45 минут. Количество заданий и уровень их сложности

учитель может изменить с учетом подготовленности класса.

Тип занятия: обобщение и систематизация знаний, умений и навыков,

приобретенных при изучении данной темы.

Цели.

1. Образовательные: обобщение ЗУН, приобретенных при изучении данной темы.

2. Воспитательные: воспитывать культуру речи, аккуратность записей,

самостоятельность.

3. Развивающие: развитие мышления, воображения, творческих способностей.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор; карточки для основной части

урока и домашнего задания.

Ход занятия.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

Вопросы учащимся:

1) Какие свойства тригонометрических функций оказывают

существенное влияние при решении тригонометрических

уравнений? (область определения, множество значений,

четность, периодичность).

2) Вспомним, как решаются простейшие тригонометрические

уравнения.

3) Частные случаи тригонометрических уравнений.

4) Основные методы решения тригонометрических уравнений

и их особенности.

Слайд 2 презентации.

Слайды 3-7.

Приложение 1.

Опорную таблицу стоит

раздать учащимся

(желательно каждому) с

целью повторения

необходимого

материала.

III. Бенефис одного уравнения.

Задача. Решите уравнение

13cos12sin5  xx

различными

способами.

Решение.

1 способ. Путем введения вспомогательного аргумента.

13cos12sin5  xx

13cos

sin

14425 













 xx

1cos

sin

 xx

Так как





























, то существует такое значение



что

cos,

sin 



, тогда последнее уравнение может

быть переписано в виде

Данное уравнение

написано на доске.

Класс разбивается на 4

группы (состав каждой

группы определяется

учителем по его

усмотрению) по

количеству способов

решения уравнения,

предложенных учителем.

Для дальнейшего

обсуждения плюсов и

минусов каждого

способа необходимо

вызвать к доске по

одному представителю

от группы.

1coscossinsin  xx



, где

arccos



 

1sinsincoscos  xx



 

1cos  x



Поскольку функция

ty cos

- четная, то

 

1cos 



Znnx  ,2



Znnx  ,2

arccos



Ответ:

Znn 













 ,2

arccos



2 способ. С помощью универсальной подстановки.

13cos12sin5  xx

Учитывая, что

sin







cos















, обозначим

tg 

. Получим рациональное

уравнение относительно t.

013

1212







 t

1313121210







ttt

2510







t

ни при каких значениях t.

02510

 tt

 

t

5t

Вернемся к исходной переменной.



Znnarctg

 ,5



Znnarctgx  ,252



Проверим, являются ли числа вида

Zkk  ,2



, решениями

заданного уравнения:

   

132cos122sin5  kk



13cos12sin5 



1312 

- неверное числовое равенство, значит числа вида

Учащиеся должны

понимать, что ответы,

полученные в первом

случае и во втором

случаях, одинаковы.

Zkk  ,2



на являются корнями заданного уравнения.

Ответ:

 

Znnarctg  ,252



3 способ. Выражение

xsin

xcos

через половинный

аргумент и приведение к однородному.

13cos12sin5  xx

cos13

sin13

sin12

cos12

cos

sin10

2222



xxxxxx

cos

sin10

sin

cos25



xxxx

cos25

cos

sin10

sin



xxxx

Разделим обе части равенства на

cos



. Потери корней

не произойдет, так как синус и косинус одного аргумента

одновременно в ноль не обращаются.

025



Обозначим

tg 

02510

 aa

 

a

5a

Вернемся к исходной переменной.



Znnarctg

 ,5



Znnarctgx  ,252



Ответ:

 

Znnarctg  ,252



4 способ. Возведение обеих частей равенства в квадрат.

13cos12sin5  xx

 

13cos12sin5  xx

0169cos144cossin120sin25

 xxxx

0cos169sin169cos144cossin120sin25

2222

 xxxxxx

0cos25cossin120sin144

 xxxx

Разделим обе части равенства на

0cos

x

. Потери корней

не произойдет, так как синус и косинус одного аргумента

одновременно в ноль не обращаются.

025120144

 tgxxtg

Обозначим

btgx 

025120144

 bb

 

0512

b

b

При обсуждении этого

способа решения

необходимо обратить

внимание на то, что

возведение обеих частей

равенства в квадрат не

является равносильным

Вернемся к исходной переменной.

tgx

Znnarctgx  ,



Проверка сложна.

Решение тригонометрических уравнений возведением

обеих частей в квадрат нецелесообразно (только в крайних

случаях является рациональным). Этот метод пытаются

обходить.

преобразованием,

поэтому может привести

к появлению

посторонних корней.

Следовательно,

необходима проверка.

Вывод ученики должны

записать в тетрадях.

IV. Итог урока.

Какие из основных методов решения тригонометрических

уравнений не были использованы на уроке? Перечислите.

V. Домашнее задание.

Домашнее задание состоит из двух обязательных блоков. В

первом блоке метод решения уравнений предложен, а во

втором блоке ученики должны сами его определить.

Приложение 2.

Предложить ребятам

просмотреть задания

домашней работы и при

необходимости

прокомментировать

некоторые моменты.

Приложение 1.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

Метод введения новой

переменной

Метод

Необходимо помнить !

1. Разложение

на множители

Разложение на множители с

использованием формул тригонометрии

или алгебраических приемов.

Из полученных значений неизвестного надо

исключить те, для которых выражения,

входящие в заданное уравнение, не имеют

смысла.

Введение вспомогательного аргумента.

Применяется в уравнениях, содержащих сумму

0,cossin

 BAkxBkxA

2. Введение

новой

переменной

Уравнения, сводящиеся к алгебраическим

уравнениям относительно одной

тригонометрической функции

Однородные тригонометрические

уравнения и уравнения, приводящиеся к

ним.

При делении обеих частей однородного

уравнения на

0cos x

(или

0sin x

)

область определения сужается, но потери

корней не происходит, так как синус и косинус

одного аргумента одновременно в нуль не

обращаются.

Универсальная подстановка.

sin







cos















Посредством универсальной подстановки могут

быть найдены все решения данного уравнения,

за исключением тех, для которых

не

существует, т.е.

Zkkx  ,2



. Наличие

или отсутствие решений этого вида может быть

установлено непосредственной проверкой.

Уравнения, рациональные относительно

выражений

xxxx cossin,cossin 

Новая переменная:

cossin,cossin





xxuxx

Уравнения, где левая часть является

рациональной функцией относительно

xxxx cossin,cossin 

может быть сведено к

рациональному уравнению относительно

неизвестного.

Функционально-

графический

Уравнения вида

   

tgtf 

Если при решении уравнения удается

установить разный характер монотонности

функций

 

tfy 

 

tgy 

, и угадать каким-

либо образом один корень, то уравнение решено

– найденный корень – единственный.

Метод разложения на

множители

Функционально-

графический метод

Приложение 2.

Домашнее задание.

I. Решите уравнения указанным способом.

1. Решите уравнение сведением к алгебраическому относительно какой-нибудь

тригонометрической функции:

0sin3cos2

 xx

2. Решите уравнение способом разложения на множители:

xxx cossin22sin1 

3. Решите уравнение с помощью введения вспомогательного аргумента:

22cos2sin  xx

4. Решите уравнение сведением к однородному:

xxx cossin31sin5



II. Решите уравнения:

 













 xxx 2

cos52cos32sin



sinsin43

cos



xxx 2sin1cossin 

2sin52cos3  xx





ctgx



Скачать материал

Конспект занятия "Основные методы решения тригонометрических уравнений"

Алгебра - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы