Неопределенный интеграл
Вычисление объемов тел
Самостоятельная работа
Презентация "Интеграл и его применение"
Подписи к слайдам:
- «…Природа формулирует свои законы языком математики»
- Г. Галилей
- Интеграл и его применение
- Презентация составлена преподавателем
- Гиляровой Мариной Геннадьевной
- Волгоград, 2009г.
- История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, т.е. задачами на вычисление площадей. Вычислениями площадей поверхностей и объемов тел занимались еще математики Древней Греции и Рима. Первым европейским математиком, получившим новые формулы для площадей фигур и объемов тел, был знаменитый астроном И. Кеплер. После исследований ряда ученых (П.Ферма, Д.Валлиса) И. Барроу открыл связь между задачами отыскания площадей и проведением касательной (т.е. между интегрированием и дифференцированием). Исследование связи между этими операциями, свободное от геометрического языка, было дано И.Ньютоном и Г. Лейбницем.
- Современное обозначение интеграла восходит к Лейбницу, у которого оно выражало мысль, что площадь криволинейной трапеции есть сумма площадей бесконечно тонких полосок шириной d и высоты f(x). Сам знак интеграла является стилизованной латинской буквой S (summa). Символ интеграла введен с 1675г., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку. Практически ни одна формула физики не обходится без дифференциального и интегрального исчислений.
- Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении задач на нахождение площадей, а также объемов тел связаны с именем Архимеда(287-212 до н. э.)
- Развивая идеи предшественников Архимед определил длину окружности и площадь круга, объем и поверхность шара. В работах «О шаре и цилиндре», «О спиралях», «О коноидах и сферах», он показал, что определение объемов шара, эллипсоида, гиперболоида и параболоида вращения сводится к определению объема конуса и цилиндра. Архимед разработал и применил методы, предвосхитившие созданное в XVII в. интегральное исчисление.
- Потребовалось более полутора тысяч лет, прежде чем идеи Архимеда нашли четкое выражение и были доведены до уровня исчисления. В XVII в. математики уже умели вычислять площади многих фигур с кривыми границами и объемы многих тел. А общая теория была создана во второй половине XVII в. в трудах великого английского математика Иссака Ньютона(1643-1716) и великого немецкого математика Готфрида Лейбница(1646-1716). Ньютон и Лейбниц являются основателями интегрального исчисления. Они открыли важную теорему, носящую их имя:
- где f(x) – функция, интегрируемая на отрезке [a;b], F(x) – одна из ее первообразных.
- Рассуждения, которые приводили Ньютон и Лейбниц, несовершенны с точки зрения современного математического анализа. В XVIII в. крупнейший представитель математического анализа Леонард Эйлер эти понятия обобщил в своих трудах. Только в начале XIX в. были окончательно созданы понятия интегрального исчисления. Обычно при этом отмечают заслуги французского математика Огюстена Коши и немецкого математика Георга Римана.
- Само слово интеграл придумал Я.Бернулли(1690г.). Оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать. В1696г. появилось и название новой ветви математики – интегральное исчисление, которое ввел И.Бернулли. Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Обозначение определенного интеграла ввел Иосиф Бернулли, а нижние и верхние пределы Леонард Эйлер.
- Математические операции образуют пары двух взаимно обратных действий, например, сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в целую положительную степень и извлечение корня. Дифференцирование дает возможность для заданной функции F(х) находить ее производную F´(х). Существует действие, обратное дифференцированию – это интегрирование – нахождение функции F(х) по известной ее производной f(x) = F´(х) или дифференциалу f(x)dx.
- Функция F(х) называется первообразной для функции f(x), если F´(х) = f(x) или dF(x)=f(x)dx. Если функция f(x) имеет первообразную F(х), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все ее первообразные содержатся в выражении F(х) +С, где С – постоянная.
- Неопределенным интегралом от функции f(x)(или от выражения f(x)dx) называется совокупность всех ее первообразных. Обозначение ∫ f(x)dx = F(х) +С. Здесь ∫ – знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования. Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.
- Свойства неопределенного интеграла
- Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
- ( ∫ f(x) dx)´ = f(x)
- Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
- d (∫ f(x) dx) = f(x) dx
- Интеграл от дифференциала первообразной равен самой первообразной и дополнительному слагаемому С: ∫ d (F(x)) = F(х) +С
- Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
- ∫ a f(x) dx =a ∫ f(x) dx
- Интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых: ∫ [f 1 (x) ± f 2 (x)] dx = ∫ [f 1 (x)] dx ± ∫ [f 2 (x)] dx
- Понятие определенного интеграла выводится через криволинейную трапецию. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линиями y = f(x), y = 0, x=a, x=b. Площадь криволинейной трапеции выражается интегральной суммой или числом, которое называется определенным интегралом. Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница.
- = F (x) |ba = F(b) – F(a)
- Общность обозначения определенного и неопределенного интегралов подчеркивает тесную связь между ними: определенный интеграл – это число, а неопределенный интеграл – совокупность первообразных функций. Связь между определенным и неопределенным интегралом выражается формулой Ньютона – Лейбница.
- Свойства определенного интеграла:
- Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определенный интеграл сохранит абсолютную величину, но изменит свой знак на противоположный.
- Если верхняя и нижняя границы интегрирования равны, то определенный интеграл равен нулю.
- Если отрезок интегрирования [a;b] разбить на несколько частей, определенный интеграл на отрезке [a;b] будет равен сумме определенных интегралов этих отрезков.
- Определенный интеграл от суммы функций, заданных на отрезке [a;b] равен сумме определенных интегралов от слагаемых функций.
- Постоянный множитель к подынтегральной функции можно выносить за знак определенного интеграла.
- Оценка определенного интеграла: если m ≤ f(x) ≤ M на [a;b] , то
- m (b – a) < < M (b – a)
- Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ≥ 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (см. рисунок), называется криволинейной трапецией.
- Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры, изображенной на рисунке. Очевидно, что эта площадь зависит от разбиения отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора количества точек разбиения.
- Чем меньше ∆ х, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы.
- Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.
- 1. Непосредственное интегрирование
- Непосредственным интегрированием принято называть вычисление неопределенных интегралов путем приведения их к табличным с применением основных свойств. Здесь могут представиться следующие случаи: 1) данный интеграл берется непосредственно по формуле соответствующего табличного интеграла; 2) данный интеграл после применения свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам; 3) данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применением свойств приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
- 2. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки)
- Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
- х = φ (t), где φ (t) – монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид ∫f(x) = ∫f [φ (t)] φ΄ (t) d(t);
- 2) u = ψ(x), где u – новая переменная. Формула замены переменной при такой подстановке: ∫f [ ψ(х)] ψ ΄(х) d(х) = ∫f (u) du
- 3. Интегрирование по частям
- Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле ∫udv = uv - ∫v du, где u = φ (x), v = ψ(х) – непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла ∫udv сводится к отысканию другого интеграла ∫v du; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – та часть подынтегрального выражения, интеграл от которого известен или может быть найден.
- Как найти площади изображенных фигур?
- Кроме этого определенный интеграл используется для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин дуг кривых.
|
|
|
|
|
|
||
|
|||
|
|
||
|
|
||
|
|
||
|
|
- Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая, что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b]) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S(x). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула:
- Найдите площадь изображенных фигур 1 – 5.
- Ответы:
- 1) S = 2/3 (четность функции); 2) S = 1 (площадь прямоугольного треугольника);
- 3) S = 4 (равенство фигур); 4) S = 2π (площадь полукруга); 5) S = 1 (площадь треугольника).
- Найти сумму площадей бесконечного количества фигур, заштрихованных на рисунках. (Аргумент каждой следующей функции увеличивается в 2 раза)
- Интересная задача!
- Ответ: sin nx=0 ; x=π/n; где n=1,2,4,8,16…;
- S=2+1+1/2+1/4+1/8+…=2/(1-1/2)=4
- Ответ: 4.
- Верные ответы: I вариант: 2,3,1 ; II вариант: 2,4,2.
|
|
||||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (схематично изобразив графики функций).
- 1) y = 6 + x – x2 и y = 6 – 2x;
- 2) y = 2x2 и y = x + 1 ;
- 3) y = 1 – x и y = 3 – 2x – x2 ;
- 4) y = x2 и y = .
- Ответ : 1) 4,5 ; 2) 9/8 ; 3) 4,5 ; 4) 1/3 .
- Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:
- 1) y = x2 + 1, x = 0, x = 1, y = 0 ;
- 2) y = , x = 1 , x = 4 , y = 0 ;
- 3) y = 2x , y = x + 3, x = 0 , x = 1 ;
- 4) y = x + 2 , y = 1 , x = 0 , x = 2 ;
- 5) у2 – 4 х = 0, х – 2 = 0, х – 4 = 0, у = 0;
- 6) у2 – х + 1 = 0, х – 2 = 0, у = 0;
- 7) y = - x2 + 2х, у = 0;
- 8) у2 = 2 х, х – 2 = 0, у = 0;
- 9) y = , x = 3 , y = 0 ;
- 10) у = 1 – x2 , у = 0.
- Ответ: 1) ; 2) 7,5 ; 3) 11 ; 4) 16 ⅔; 5) 24 ;
- 6) /2; 7) 16/15; 8) 4 ; 9) 2 ; 10) 16/15.
- Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
- 2) Фигура, ограниченная линиями y=x+6, x=1, y=0 делится параболой y=x 2+2x+4 на две части. Найти площадь каждой части.
- 3) Найти ту первообразную F(x) функции f(x)=2x+4, график которой касается прямой у=6х+3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком найденной первообразной и прямыми у=6х+3 и у=0.
- Какое действие называется интегрированием?
- Какая функция называется первообразной для функции f(x)?
- Чем отличаются друг от друга различные первообразные функции для данной функции f(x)?
- Дайте определение неопределенного интеграла.
- Как проверить результат интегрирования?
- Чему равна производная от неопределенного интеграла?
- Чему равен ∫ d(lnx8 – sin 3x)?
- Перечислите методы интегрирования.
- Дайте определение определенного интеграла.
- Сформулируйте теорему Ньютона – Лейбница.
- Перечислите свойства определенного интеграла.
- Как вычислить площадь плоской фигуры с помощью интеграла (составьте словесный алгоритм)?
- Перечислите области применения интеграла, назовите величины, которые можно вычислить с помощью интеграла.
- 1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:y=x2 при x0, y=1, y=4, x=0 Решение:
- Данная фигура симметрична криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=1, х=4, у=0, графиком функции , обратной у=х2, x0. Поэтому эти фигуры имеют равные площади и
- 2) Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми у=3х+1, у=9-х, у=х+1.
- Решение:
- Вершины полученного ABC имеют координаты: А(0;1), В(2;7), С(4;5).
- Можно заметить, что ABC - прямоугольный (произведение
- угловых коэффициентов прямых у=х+1 у=9-х равно -1).
- Поэтому применение интеграла для вычисления S(ABC)
- не рационально. Её всегда можно найти как разность площадей
- треугольников, у которых известны высота и основание или же
- можно использовать координатный метод.
- Найти площади фигур, ограниченных линиями (1-7)
- у=х2 (х0), у=1, у=4, х=0
- у= х2-4х+8, у=3х2-х3, если х [-2;3]
- у=х2-4х+sin2(x/2), y=-3-cos2(x/2), если х [2;3]
- у=3х+1, у=9-х, у=х+1
- у=|x-2|,
- x|y|=2;x=1;x=3
- y= arcsin x; у=0; x=0,5; x=1
- При каком значении а прямая х=а делит площадь фигуры, ограниченной линиями у=2/х; х=1; х=3 в отношении 1:3?
- Вычислить исходя из его
- геометрического смысла.
- Н. А. Колмогоров, «Алгебра и начала анализа», Москва, Просвещение,2000г.
- М. И. Башмаков, «Алгебра и начала анализа», Москва, ДРОФА,2002г.
- Ш.А.Алимов, «Алгебра и начала анализа», 11 кл., Москва, ДРОФА, 2004г.
- Л. В. Киселева, Пособие по математике для студентов медицинских училищ и колледжей, Москва, ФГОУ «ВУНМЦ Росздрава», 2005г.
- http://www.nerungri.edu.ru
- http://tambov.fio.ru
- http://www.zachetka.ru
- http://edu.of.ru
- http://festival.1september.ru
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Умножение разности двух выражений на их сумму" 7 класс
- Презентация "Путешествие к замку Камелота. Свойства степени с натуральным показателем" 7 класс
- Презентация "Область определения и область значений функции" 11 класс
- Конспект урока "Секреты линейной функции" 7 класс
- Конспект урока "Вычисление площадей фигур с помощью интегралов"
- Открытый урок "Формулам сокращенного умножения" 7 класс
