Разработка урока по алгебре "Первообразная и интеграл" 11 класс
Разработка урока по алгебре и началам
анализа в 11 классе по теме:
"Первообразная и интеграл".
Тип урока: обобщающий.
Цели:
Систематизировать, расширить и углубить знания по данной теме.
Способствовать развитию умения сравнивать, обобщать, классифицировать,
анализировать, делать выводы.
Побуждать учащихся само- и взаимоконтролю, воспитывать познавательную
активность, самостоятельность, упорство в достижении цели.
Оборудование: экран, кодопозитивы, магнитная доска, папки с приложениями,
индивидуальные оценочные листы.
Урок происходит по этапам. Результаты каждого этапа учащимся заносят в оценочные
листы:
Урок Ф.И. учащегося
Этапы Задания Количество баллов
I 1 1.Повторение 0-11
2.Математическая эстафета 0-17
2 1. Домашнее задание 0-20
II 2. Аукцион задач 0-22
3 Тестирование 0-20
4 Из истории
Итоговое количество баллов (n)
Оценка
Оценка за урок зависит от суммы набранных баллов по всем заданиям.
Первый этап
Повторение
Учащиеся в парах повторяют теорию по теме и отвечают друг другу на вопросы
(приложения 1, 2 и 3). Правильный ответ оценивается в один балл.
Математическая эстафета
Работа в командах. На последней парте каждого ряда находится листок (приложение 4) с
10 заданиями (по два вопроса на каждую парту). Первая пара учащихся, выполнив любые
два задания, передает листок впереди сидящим. Работа считается оконченной, когда
учитель получается листок с правильно выполненными 10 заданиями.
Побеждает та команда, которая раньше всех решит все задания. Проверка работ
осуществляется с помощью таблицы, помещенной на магнитной доске. (приложение 5).
Ученики распределяют между собой заработанной количество баллов, выставляют их в
оценочные листы.
Второй этап
Проверка домашнего задания
Учащиеся в парах обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку. 5 ребят заранее
заготавливают по одному примеру на карточках для кодоскопа из домашнего задания и
комментируют их решение.
Предварительное домашнее задание
1) Материальная точка массы m = 1 кг движется по прямой под действием силы,
которая меняется по закону F(t) = 8 – 12 t н. Найдите закон движения точки,
если в момент времени t = 1 секунде, её координата равна 0 и скорость равна 1
м/сек. В какой момент времени скорость точки будет максимальной?
Решение.
1. F = ma?
2.
3. x (t) =
23
2
42t t t c
, так как x (0) = 0, то
2
c
= 0.
Значит x (t) =
23
42t t t
.
4. Найдем момент времени, когда скорость точки будет максимальной
8 – 12t = 0,
t =
2
3
Ответ: x (t) =
23
42t t t
,
t =
2
3
с.
2) Пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла, вычислить
3
2
1
43x x dx
Решение.
2 2 2
2 4 3 ( 2) 1
00
43
y x x x y
yy
y x x
Найдем площадь полукруга с центром A (2;0) и радиусом R=1.
Ответ: .
3) При каком а выполняется равенство
2
1 2 4
33
a
a
x
dx
?
Решение.
2 2 2 2
2
22
1 2 1 2 1 2 3
()
3 3 3 3 3 3 3 6 12 12
aa
a
a
aa
x x a a a a a a
dx x dx x
По условию задачи
2
2 3 4
12 3
aa
, откуда
1
2a
,
2
2
2
3
a
.
Ответ: -2;
2
2
3
.
4) Вычислить интеграл
0
sin 2 cos3x xdx
Решение
00
1 1 1 4
sin2 cos3 (sin5 sin ) (cos5 cos )
2 2 5 0 5
x xdx x x dx x x
Ответ:
4
5
.
Каждое правильное выполнение задание оценивается классом от 1 до 5 баллов.
Аукцион задач
1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y =
2
x
и
касательными, проведенными к графику в точках
1
1x
и
2
2x
(5 баллов).
2) В каком отношении парабола y =
2
x
делит площадь прямоугольника, вершины
которого находятся в точках A(0;0) B(3;0) C(3;9) D(0;9)? (5 баллов).
3) Решите уравнение:
9
32
3
( 5) 6y dy x x y
(4 балла).
4) Решите неравенство:
0
( 3) 7
x
y dy x
(4 балла).
5) Найдите объем фигуры, полученной вращением криволинейной трапецией,
ограниченной линиями y =
1x
, y = 1, x = 0, x = 1 (4 балла).
Ответы: 1) 2 ; 2) 1:3; 3) х = 1, y = 4; 4) (- , -20]
Третий этап
Тестирование. Тест №2 [2, стр. 180]
Работа проводится по четырем вариантам, в каждом из которых по десять заданий,
записанных в таблицу. Решая, ученик записывает варианты ответа на листе ответов. По
истечении времени, отведенного на тест, учащиеся обмениваются листами и проводят
быструю взаимопроверку. Учитель демонстрирует кодопозитив с ответами к заданиям
теста. Каждое правильно решенное задание оценивается двумя баллами. Результаты
заносятся в оценочный лист.
Четвертый этап
Из истории
Группа учащихся готовит сообщение о происхождении терминов и обозначений по теме
«Первообразная. Интеграл», из истории интегрального исчисления, о математиках,
сделавших открытия по данной теме.
Пятый этап
Подведение итогов
Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели, называет лучших учеников,
лучшую команду, называет оценки, отмечает вопросы, по которым ребятам еще
нужно работать, указывает на основные ошибки, планирует индивидуальную
работу с теми учащимися, которые допустили ошибки.
Литература
1. Колмогоров А.Н. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов
средней школы. Москва 2006.
2. Алтынов П.И., Звавич Л.И., Медяник А.И., Математика 2600 тестов и
проверочных заданий по математике для школьников и поступающих в вузы.
Москва 2005.
3. Максимовская М.А., Пчелинцев Ф.А., Уединов А.Б., Чулков П.В. Тесты по
математике 5 – 11 классы. Москва 2005.
4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Пчелинцев Ф.А.
5. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа. Москва 2006.
6. Егерев В.К., Зайцев В.В., Курдемский Б.А. Сборник по математике для
поступающих во втузы под редакцией Сканави М.И.
7. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа 10 – 11. Москва 2007.
8. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов
средних школ. Москва 2007.
9. Галицкий М.Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического
анализа. Москва «Просвещение» 2006.
Приложение 1.
Первообразная и интеграл.
1) F(x) - первообразная для f(x) на множестве Х если F'(x) = f(x) для всех x X. Если F(x)
- первообразная для f(x) на множестве X, то F(x) + c - множество всех первообразных
для f(x) на множестве X. Это множестве первообразных называют неопределенным
интегралом и обозначают
( ) ( ) .f x dx F x C
2) Таблица первообразных и интегралов
Производная
Функция
Первообразная
Промежуток
0
K
kx + C
R
1
1
n
x
C
n
,
, ( ;0) (0; )
: 0, 0;
n N x R
n N x
n Z n x
0, (0; )nx
0
1
xC
R
-sinx
cosx
sinxC
R
Cosx
sinx
cosxC
R
tgx C
;
22
n n n Z
ctgx C
( ; ),n n n Z
1
C
x
( ;0) (0; )x
2 xC
x<0
x
2
3
x x C
x>0
1
x
In x C
R
+
x
eC
R
,0
x
a
Ca
Ina
R
3) Правила вычисления первообразных
- Если F – первообразная для f, a G - первообразная для g, то F+G есть первообразная
для f+g.
-Если F – первообразная для f, a k – постоянная, то kF есть первообразная для kf.
Если F(x) –первообразная для f(x), ak, b – постоянные, причем k 0, то есть
1
()F kx b
k
есть первообразная для f(kx+b).
4)
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
- формула Ньютона-Лейбница.
5) Площадь S фигуры, ограниченной прямыми x-a,x=b и графиками непрерывных на
промежутке [a;b] функций
1
()fx
и
2
()fx
таких, что
2
()fx
1
()fx
для всех x [a;b]
вычисляется по формуле
21
( ( ) ( )) .
b
a
S f x f x dx
6) Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b вокруг осей Ох и Оу,
вычисляются соответственно по формулам:
2
()
B
x
A
V f x dx
или
2 ( )
B
y
A
V xf x dx
Приложение 2.
Применение интеграла.
Величины
Вычисление производной
Вычисление интеграла
s – перемещение,
,
А – ускорение
a(t) =
2
1
()
t
t
s t dt
2
1
()
t
t
a t dt
A - работа,
F – сила,
N - мощность
F(x) = A'(x)
N(t) = A'(t)
2
1
()
x
x
A F x dx
2
1
()
t
t
A N t dt
m – масса тонкого стержня,
- линейная плотность
(x) = m'(x)
2
1
()
x
x
m x dx
q – электрический заряд,
I –сила тока
I(t) = q (t)
2
1
()
t
t
q J t dt
Q – количество теплоты
с - теплоемкость
c(t) = Q'(t)
2
1
()
t
t
Q c t dt
Приложение 3.
Вопросы по теме «Первообразная. Интеграл.»
1. Дайте определение первообразной.
2. Сформулируйте основное свойство первообразных.
3. В чем заключается геометрический смысл основного свойства первообразной?
4. Сформулируйте три правила нахождения первообразных.
5. Какую фигуру называют криволинейной трапецией?
6. Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции.
7. Объясните, что такое интеграл?
8. В чем заключается геометрий смысл интеграла?
9. Запишите формулу Ньютона- Лейбница.
10. Назовите несколько примеров применения определенного интеграла в геометрии и
физике.
11. Какая связь существует между операциями дифференцирования и интегрирования?
Приложение 4
Математическая эстафета.
1 ряд
2 ряд
3 ряд
1.
xdx
(1б)
1.
1
7
dx
(1б)
1.
( 6)dx
(1б)
2.
5
x
dx
(1б)
2.
2
xdx
(1б)
2.
1
3
xdx
(1б)
3.
5
x dx
(1б)
3.
7
x dx
(1б)
3.
10
x dx
(1б)
4.
6
7x dx
(1б)
4.
5
5
x dx
dx
(1б)
4.
10
11x dx
(1б)
5.
3
(7 1)x dx
(2б)
5.
2
(2 1)x dx
(2б)
5.
4
(3 2 )x dx
(2б)
6.
10sin5xdx
(2б)
6.
3cos3xdx
(2б)
6.
2
4
sin 2
3
dx
x
(2б)
7.
2
3(5 1)x dx
(2б)
7.
3
4(5 6 )x dx
(2б)
7.
2
7(2 9 )x dx
(2б)
8.
3
dx
x
(2б)
8.
4
dx
x
(2б)
8.
7
x dx
(2б)
9.
43
x dx
(2б)
9.
3
xdx
(2б)
9.
7
x dx
(2б)
10.
5
57
dx
x
(3б)
10.
4
3
(8 7 )
dx
x
(3б)
10.
32
2 (7 3 )x dx
(3б)
Приложение 5
Ответы к математической эстафете
1 ряд
2 ряд
3 ряд
1.
2
2
x
c
1.
1
7
xc
1. -6x+c
2.
2
10
x
c
2.
2
4
x
c
2.
2
6
x
c
3.
6
6
x
c
3.
8
8
x
c
3.
11
11
x
c
4.
7
xc
4.
6
30
x
c
4.
11
xc
5.
2
7
2
x x c
5.
3
(2 1)
6
x
c
5.
5
(3 2 )
10
x
c
6.
2cos5xc
6.
sin3xc
6.
2 ( 2 )
3
ctg x c
7.
3
(5 1)
5
x
c
7.
4
(5 6 )
6
x
c
7.
3
7(2 9 )
27
x
c
8.
2
1
2
c
x
8.
3
1
3
c
x
8.
6
1
6
c
x
9.
43
4
7
x x c
9.
3
3
4
x x c
9.
4
2
9
x x c
10.
2 5 7xc
10.
3
1
7(8 7 )
c
x
10.
32
2
(7 3 ) (7 3 )
5
x x c
