Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Государственное Бюджетное Профессиональное Образовательное Учреждение «Ржевский колледж»       Доклад на тему: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.   Выполнила: Студентка 21П Розовой Екатерины Алексеевны Преподаватель: Булгаирова Т.В Метод Гаусса Метод Гаусса Метод Гаусса –это классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобазований система уравнений приводится к равносильной системе. Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Карл Фридрих Гаусс – был известным великим математиком и его в своё время признали «королём математики». Хотя название «метод Гаусса» является общепринятым, Гаусс не является его автором: метод Гаусса был известен задолго до него. Преимушества метода: Преимушества метода: 1.отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность; 2.есть возможность решать системы уравнений, где: количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных; 3.количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных; 4.определитель равен нулю. 5.результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций. Основные определения и обозначения. Основные определения и обозначения. Рассмотрим систему из p линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n): где  - неизвестные переменные,  - числа (действительные или комплексные),  - свободные члены. Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной. Совокупность значения неизвестных переменных , при которых все уравнения системы обращаются в тождества, называется решением СЛАУ. Если в примере приведены десятичные дроби, метод Гаусса в этом случае также поможет решить систему линейных алгебраических уравнений. Однако, не стоит забывать, что следует избегать приближённых вычислений, так как ответ будет неверным. Лучше всего использовать десятичные дроби, а от них переходить к обыкновенным дробям. Когда мы выражали неизвестные переменные (сначала x1, на следующем этапе x2) и подставляли их в остальные уравнения системы, мы тем самым исключали их. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода у нас появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса. Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных. Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому. Алгоритм метода Гаусса: Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными: a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn=b3⋯ an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=bn Примеры прямого и обратного хода Гаусса Примеры прямого и обратного хода Гаусса Определитель матрицы не равен нулю.

• a11 не равен нулю - всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
• исключаем переменную x1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
• прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на -a21a11, прибавим к третьему уравнению первое умноженное на -a21a11 и т.д.

Могу сказать, что метод Гаусса –простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Путём элементарных преобразований нужно из системы исключать неизвестные переменные, чтобы систему превратить в ступенчатый вид. Данный метод удобен тем, что всегда можно проверить, правильно ли решено уравнение. Нужно просто подставить найденные неизвестные в изначальную систему уравнений. Спасибо за внимание