Методическая разработка "Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера"
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АМУРСКОЙ ОБЛАСТИ
государственное профессиональное образовательное автономное учреждение
«Райчихинский индустриальный техникум»
Методическая разработка
бинарного урока по дисциплинам
«Математика» и «Информатика»
по теме
«Решение систем линейных уравнений по
правилу Крамера»
Разработали: Ершова Е. В., Ковтун О. А.
2
Технологическая карта урока
Дата:
12.11.2015
ФИО преподавателя:
Ершова Е. В., Ковтун О. А.
Группа:
РЗ – 149
Тема:
Решение систем линейных уравнений по правилу
Крамера.
Метод обучения:
Объяснительно – иллюстративный метод,
репродуктивный метод.
Тип занятия:
Практическое занятие
Цели занятия:
Учебные:
ознакомить студентов с решением систем
линейных уравнений по правилу Крамера;
выработать умение решать системы линейных
уравнений методом Крамера;
изучить основные этапы решения задач с
помощью программы MS Excel;
отработать умение переходить от
математической записи выражений к записи в
среде электронных таблиц.
Воспитательные:
способствовать развитию интереса к данным
дисциплинам;
способствовать воспитанию усидчивости
студентов;
воспитывать точность и аккуратность в
расчетах.
Развивающие:
способствовать обучению студентов умению
обобщать и конкретизировать, осуществлять
самоконтроль;
способствовать развитию логического
мышления, внимания.
Формируемые
компетенции
ОК 3. Принимать решения в стандартных и
нестандартных ситуациях и нести за них
ответственность.
ОК 5. Использовать информационно-
коммуникационные технологии в профессиональной
деятельности.
3
ОК 6. Работать в коллективе и команде,
эффективно общаться с коллегами, руководством,
потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу
членов команды (подчиненных), результат
выполнения заданий.
ПК 1.1. Проверять и настраивать элементы
релейной защиты, автоматики, средств измерений и
систем сигнализации.
ПК 4.1. Планировать работу производственного
подразделения.
Межпредметные
связи:
Электротехника и электроника.
Учебно-наглядные
пособия и ТСО:
Калькуляторы;
ПК с программой MS Excel;
Мультимедиасистема.
Ход урока:
Организационная
часть:
Визуально определить готовность к уроку,
сформулировать тему, цель.
Основные вопросы
темы и
последовательность
их изложения:
1. Опрос.
2. Изложение нового материала.
3. Закрепление формул.
a. Решение линейных уравнений методом
Крамера.
b. Выполнение расчета в программе MS
Excel.
4. Домашнее задание.
5. Самостоятельная работа.
6. Оценка.
Выводы урока:
Сегодня на уроке вы научились решать системы
уравнений третьего порядка с помощью формул
Крамера. Сумели автоматизировать свою работу с
помощью программы MS Excel . Оценки.
Домашнее задание:
Выучить формулы. Решить систему уравнений:
Литература:
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах.
В 2-х ч. Ч. I: Учебное пособие для втузов. – 5-е
изд., испр.- М.: Высш. шк., 2006.
4
«Математику нельзя изучать,
наблюдая, как это делает сосед»
математик Айвен Нивен.
Тема урока: Решение систем линейных уравнений по правилу
Крамера.
Какова цель урока? Попробуйте сформулировать цели? (Студенты
предлагают свои варианты ответов). Подвожу итог сказанному. Называю
цели.
Одна из задач, возникающих на практике, связана с расчетом электри-
ческих цепей. При этом часто необходимо определить токи, напряжения и
мощности на всех участках цепи по заданным Э.Д.С. источников и сопро-
тивлениям участков цепи.
Знания, полученные вами на этом уроке, будут полезны вам при
изучении дисциплины «Электротехника и электроника» для нахождения тока
с использованием законов Кирхгофа. На прошлом уроке мы рассмотрели
формулу нахождения определителя третьего порядка, а сегодня рассмотрим
один из способов решения систем линейных уравнений.
1. Опрос.
Какие способы решения систем линейных уравнений вы знаете?
способ подстановки;
способ сложения;
графический способ.
Сегодня на уроке мы рассмотрим еще один способ решения систем линейных
уравнений: по правилу Крамера.
Знакомство с биографией Крамера (выступление студента).
Габриэль Крамер
Крамер является одним из создателей
линейной алгебры. Одной из самых известных
его работ является «Введение в анализ
алгебраических кривых», опубликованный на
французском языке в 1750 году. В ней Крамер
строит систему линейных уравнений и решает
её с помощью алгоритма, названного позже его
именем – метод Крамера.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704
года в Женеве (Швейцария) в семье врача.
5
Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном
развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил
свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете.
Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых
математиков своего времени – Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и
де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал
переписываться всю жизнь.
В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в
Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской
Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество
статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В
1730 году он опубликовал труд по небесной механике.
В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати
сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В
1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата
Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном
Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего
мира.
Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции.
2. Изложение нового материала (преподаватель объясняет новый
материал, студенты делают конспект, по теме всего 1 пара – 1 час 30 мин).
Рассмотрим систему уравнений:
3333232131
2323222121
1313212111
,
,
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(1)
Главным определителем системы уравнений (1) называется определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных x, y, z. Этот определитель
мы будем обозначать греческой буквой
.
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
6
Первым вспомогательным определителем системы уравнений (1)
называется определитель
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
A
x
.
Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем
замены первого столбца на столбец свободных членов.
Вторым вспомогательным определителем системы уравнений (1)
называется определитель
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
A
y
.
Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем
замены второго столбца на столбец свободных членов.
Третьим вспомогательным определителем системы уравнений (1)
называется определитель
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
A
z
.
Он получен из главного определителя этой системы уравнений путем
замены третьего столбца на столбец свободных членов.
Предлагаемый метод решения систем линейных уравнений это так
называемое правило Крамера.
Правило Крамера:
Если главный определитель системы уравнений (1) не равен 0, то система
уравнений имеет единственное решение:
Составим алгоритм решения систем линейных уравнений по правилу
Крамера.
Студенты предлагают последовательность действий по решению
системы линейных уравнений по правилу Крамера.
Алгоритм:
1. Найдите главный определитель системы.
2. Найдите вспомогательные определители системы.
3. Найдите неизвестные, пользуясь формулами Крамера.
4. Запишите ответ.
7
3. Закрепление формул (преподаватель у доски объясняет решение
систем линейных уравнений методом Крамера, студенты выполняют
промежуточные вычисления с комментариями вслух).
а) Решение линейных уравнений методом Крамера.
а)
Ответ:
б)
,
8
Ответ: .
б) Выполнение расчета в программе MS Excel.
Назначение функции МОПРЕД ()
На практике мы убедились, что расчет определителя матриц занимает
много времени и может быть трудоёмким при большой размерности системы
или при дробных коэффициентах при неизвестных.
Рассмотрим, как можно автоматизировать решение системы уравнений.
Для решения систем уравнений методом Крамера, необходимо уметь
применять функцию МОПРЕД(). Данная функция вычисляет определитель
матрицы. Запишем синтаксис функции:
МОПРЕД (Массив)
где массив – это диапазон ячеек в которых расположены значения
матрицы (массива).
Процесс вычисления определителя матрицы трудоёмкий, особенно если
матрица большой размерности и мы убедимся насколько этот процесс
упрощен в программе MS Excel.
Рассмотрим пример, который вы решили на уроке математики.
9
,
Запишем значения коэффициентов x, y, z в виде таблицы и обозначим
буквой A, свободные члены запишем в виде таблицы B:
Теперь необходимо найти определители. Для этого записываем в виде
таблиц все значения и обозначаем их как принято в математике: , x, y, z.
Для ввода значений обязательно используем перенос данных с помощью
формул. Т.е. используем сочетание клавиш SHIFT+CTRL+ENTER,
предназначенный для заполнения выделенного фрагмента текущей формулой,
при этом получается массив. Ячейка должна быть в режиме редактирования.
Для ввода символа воспользуемся командой Меню Вставка
Символы
(Шрифт Symbol). Рассчитываем определитель матрицы с помощью функции
МОПРЕД(). Для этого устанавливаем курсор в ячейку F6 и в меню Формулы
открываем список функций категории Математические. Выбираем функцию
МОПРЕД(), в качестве аргументов выделяем диапазон ячеек B5:D7 и
10
нажимаем на кнопку ОК. Таким же образом определяем все оставшиеся
определители.
Формулы для самопроверки:
F6
=МОПРЕД(B5:D7)
F10
=МОПРЕД(B9:D11)
F14
=МОПРЕД(B13:D15)
F18
=МОПРЕД(B17:D19)
Теперь приступим непосредственно к вычислению x, y, z. Для
нахождения x необходимо x разделить на , для y разделим y на и для
нахождения z разделим z на . То есть для нахождения x устанавливаем
курсор в ячейку B22 и вводим формулу =F10/F6. Таким же образом находим y
и z. Получим:
11
Сравните результаты с расчетами выполненными вручную.
Теперь убедимся, что наша программа может вычислить любую систему из
трех уравнений с тремя неизвестными.
5. Домашнее задание. Выучить формулы. Решить систему уравнений
методом Крамера.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 5,
2 6,
2 5;
x x x
x x x
x x x
6. Самостоятельная работа студентов по индивидуальным карточкам,
предложенным преподавателем (Приложение 1).
Вашему вниманию предложены следующие задания:
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,
решите систему уравнений методом Крамера.
Студенты делятся на малые группы (по 2 человека), садятся за ПК,
получают карточки – задания и выполняют полученные задания на ПК в
программе MS Excel. Студенты, выполнившие раньше задания, получают
дополнительную карточку.
12
7. Оценка.
8. Дополнительно (Приложение 2).
13
Приложение 1
Карточка № 1.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 2 5
2 3 1
2 3 11
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
R
3
E
1
E
2
E
3
I
1
I
2
I
3
Карточка № 2.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений
методом Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 2
5 4 5
4 3 4
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
3
E
1
E
2
I
1
I
2
I
3
R
2
14
Карточка № 3.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
12
3 2 5
26
53
x x x
x x x
xx
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
R
3
I
2
I
1
I
3
Карточка № 4.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений
методом Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 4 3 1
2 4 3
3 5 2
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
E
1
E
2
R
3
I
3
I
1
I
2
15
Карточка № 5.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
7 2 3 15
5 3 2 15
10 11 5 36
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
R
3
I
2
I
1
I
3
E
2
E
1
Карточка № 6.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений
методом Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
22
3 2 2 2
21
x x x
x x x
x x x
б
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
16
Карточка № 7.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
26
2 3 7 16
5 2 16
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
R
3
I
2
I
1
I
3
Карточка № 8.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений
методом Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 5
21
3 4 6
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
R
3
E
1
E
2
E
3
I
1
I
2
I
3
17
Карточка № 9.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом
Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 8 2
3 2 6 7
25
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
3
E
1
E
2
I
1
I
2
I
3
R
2
Карточка № 10.
№1. Решить систему линейных алгебраических уравнений
методом Крамера.
А)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
21
2 2 4
4 4 2
x x x
x x x
x x x
б)
№2. Дана электрическая цепь, по правилу Кирхгофа составлены
уравнения. Определите ток в ветвях.
Обозначив, как принято в математике,
,решите систему уравнений методом Крамера.
R
1
R
2
E
1
E
2
R
3
I
3
I
1
I
2
18
Приложение 2
Дополнительно:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Математика - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Решение систем алгебраических уравнений методом Крамера"
- Презентация "Решение систем линейных алгебраических уравнений в математическом пакете Maple"
- Технологическая карта урока "Решение систем линейных алгебраических уравнений в математическом пакете Maple"
- Методическая разработка "Решение практико-ориентированных задач с помощью составления и анализа простейших математических моделей"
- Презентация "Решение показательных уравнений и неравенств" 11 класс
- Конспект урока "Решение показательных уравнений и неравенств" 11 класс
