Ученики на Учителя.com


Конспект урока алгебры "Теорема Виета" 8 класс

1
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
Платоновская средняя общеобразовательная школа
Конспект урока алгебры в 8 классе по теме
«Теорема Виета»
Филонова Л.И., учитель математики муниципального бюджетного
общеобразовательного учреждения Платоновской средней
общеобразовательной школы Рассказовского района
2
Тема: Теорема Виета.
Тип урока: урок лекция.
Класс: 8 класс.
Продолжительность урока: 45 минут.
Учебник: А.Г. Мордкович и др. Алгебра 8.
Тип урока: открытие новых знаний
Технологии: проблемного и развивающего обучения, групповой деятельности.
Цели урока:
1) развивать интерес к математике;
2) сообщить информацию по теме;
3) систематизировать материал.
Задачи урока:
Образовательные:
- формировать умение применять теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета в
приведенных квадратных уравнениях;
- совершенствовать навык решения квадратных уравнений;
- обеспечить мотивацию к учебной деятельности как одно из средств развития и
социализации личности учащихся.
Развивающие:
- формировать самостоятельность и коммуникативность;
- создавать условия для проявления познавательной активности учащихся;
- учить формулировать проблему, выдвигать гипотезы и искать их подтверждение,
формулировать и высказывать суждения.
Воспитательные:
- воспитание личностно значимых ценностей (установка на самообразование,
самооценку);
- воспитывать культуру умственного труда.
Ход урока:
Все дома решили уравнения вида . Получили корни:
уравнение
4
– 1
– 2
7
– 2
– 3
1
– 6
Надо установить связь между
и ; ,
и . .
Прекрасно!
Мы установили это из данных уравнений.
Проверим гипотезу!
а) ,
, ,
0
2
=++ qpxx
1
x
2
x
0145
2
=−− xx
21
,xx
p
pxx −=+
21
21
,xx
q
qxx =
21
068
2
=−− xx
22
4
=
D
8224224
21
=−++=+ xx
3
.
Гипотеза верна!
б)
Уравнение имеет два равных корня.
Гипотеза верна!
в)
– 4 < 0, действительных корней нет.
Значит, гипотеза неверна?
Гипотезу надо уточнить!
Если уравнение имеет корни, то
Теперь эту гипотезу надо доказать! Открыл и доказал эту теорему французский
ученый математик Франсуа Виет. Домашним заданием вам будет законспектировать
доказательство этой теоремы одним из способов из учебника и поискать материал о жизни
и деятельности Ф. Виета.
В классе докажем ее другим способом.
Пусть и – корни квадратного уравнения .
Надо получить:
Что значит и корни уравнения?
(1)
(2)
Вычтем из (1) уравнения (2), получим:
или
докажем этот случай
на консультации
,224
1
+=x
.224
2
−=x
( )( )
62216224224
21
−=−=−+= xx
,03612
2
=+− xx
( )
,06
2
=−x
,1266
21
=+=+ xx
.6=x
.3666
21
== xx
,052
2
=++ xx
,4
4
−=
D
0
2
=++ qpxx
,
21
pxx −=+
.
21
qxx =
1
x
2
x
0
2
=++ qpxx
,
21
pxx −=+
.
21
qxx =
1
x
2
x
,0
1
2
1
=++ qpxx
,0
2
2
2
=++ qpxx
,0
21
2
2
2
1
=−+−+− qqpxpxxx
( )
( )
,0
21
2
2
2
1
=−+− xxpxx
( )( ) ( )
,0
212121
=−++− xxpxxxx
( )( )
,0
2121
=++− pxxxx
0
21
=− xx
,0
21
=++ pxx
,
21
pxx −=+
( )
21
xxp +−=
4
Подставим найденной значение для в (1) уравнение:
Получили:
Мы открыли, потом доказали теорему Виета.
Верна и обратная теорема.
Дано: – числа,
Доказать: – корни уравнения .
Доказательство:
0 = 0 (верно) 0 = 0 (верно)
– корень – корень.
ч.т.д.
Где использовать теорему Виета?
1). Можно, не находя корни, найти сумму и произведение корней квадратного уравнения
вида :
2). Не решая уравнение , найти
Итак,
Где использовать теорему, обратную теореме Виета?
а). Можно проверить правильность решения квадратного уравнения.
Покажем, что корни уравнения найдены правильно:
p
( )
,0
121
2
1
=++− qxxxx
,0
21
2
1
2
1
=+−− qxxxx
,0
21
=+− qxx
.
21
qxx =
,
21
pxx −=+
.
21
qxx =
nm,
,pnm −=+
.qnm =
nm,
0
2
=++ qpxx
( )
,0
2
=++− mnxnmx
( )
,0
2
=++− mnmnmm
( )
,0
2
=++− mnnnmn
,0
22
=+−− mnmnmm
,0
22
=+−− mnmnnn
m
n
0
2
=++ qpxx
=
−=+
.
,
21
21
qxx
pxx
012
2
=−+ xx
.
2
2
2
1
xx +
( ) ( ) ( )
.61222
2
21
2
21
2
2
2
1
=−−−=−+=+ xxxxxx
.6
2
2
2
1
=+ xx
,0403
2
=−+ xx
,169=D
,8
1
−=x
.5
2
=x
5
– 8 + 5 = – 3. – 8 5 = – 40.
Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа – 8 и 5 являются корнями уравнения
б). Найти подбором корни квадратного уравнения (устно):
Как быть, если уравнение имеет вид где
Стихотворение «Теорема Виета», поэт Александр Гуревич:
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе , в знаменателе
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе , в знаменателе
Итак,
Итак, мы научились применять теорему Виета и обратную ей для уравнений вида
и
Угадайте корни уравнений:
Что трудно? Тогда решите сначала три таких уравнения, найдя корни подбором.
,3
21
−=+ xx
,40
21
−= xx
.0403
2
=−+ xx
,0209
2
=+− xx
,0158
2
=+− xx
,06
2
=−− xx
.0
3
2
263
2
=+− xx
,0
2
=++ cbxax
.0a
c
,a
b
.a
,0
2
=++
a
c
x
a
b
x
,
21
a
c
xx =
.
21
a
b
xx −=+
,0
3
2
263
2
=+− xx
,0
9
8
2
2
=+− xx
,
3
2
1
=x
.
3
4
2
=x
0
2
=++ qpxx
.0
2
=++ cbxax
,01941962
2
=+− xx
.0272271
2
=−+ xx
6
Что вы заметили? (Один из корней равен 1).
Установите связь между и корнями. Если , тогда один из корней
1, а другой .
Теорему Виета применяют для решения квадратных уравнений, где
или . Это дает значительное преимущество для быстрого получения ответа.
Если в уравнении , то один из его корней 1, а другой
.
Если в уравнении , то один из его корней – 1, а
другой
Теперь вернитесь к решению уравнений
Придумайте дома по 3 красивых уравнения и предложите решить их товарищу.
Используемая литература
1. Алгебра. 7 – 9 класс: рабочие программы по учебникам С.М. Никольского, М.К.
Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина / авт.-сост. Е.Ю.Булгакова. – Волгоград:
Учитель, 2014
2. Рабочая программа по алгебре. 8 класс / Составитель: Маслакова Г.И. – М.: ВАКО, 2014
3. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.М.Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е.
Федорова, М.И. Шабунин. – М.: Просвещение, 2013
4. Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы
по алгебре и геометрии для 8 класса. – М.: ИЛЕКСА, - 2014.
,02
2
=−+ xx
,032
2
=−+ xx
,023
2
=+− xx
,2
1
−=x
.1
2
=x
,3
1
−=x
.1
2
=x
,2
1
=x
.1
2
=x
cba ,,
0=++ cba
a
c
0=++ cba
0=+− cba
0
2
=++ cbxax
0=++ cba
a
c
0
2
=++ cbxax
0=+− cba
.
a
c
−
,01941962
2
=+− xx
.0272271
2
=−+ xx
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: