Ученики на Учителя.com


Конспект урока алгебры в 8 классе по теме «Теорема Виета»

Конспект урока алгебры в 8 классе по теме
« Теорема Виета»
Цели урока:
Предметные результаты: наблюдать и анализировать связь между корнями и
коэффициентами квадратного уравнения. Формулировать и доказывать теорему Виета,
а также обратную теорему; применять теоремы для решения уравнений и задач.
Метапредметные результаты: использовать приемы умственной деятельности –
анализ, классификация, обобщение и подведение под понятие; ставить цель
исследования, выдвигать гипотезы представлять информацию в символической и
табличной формах.
Личностные: формирование мотивации – интереса к изучению математики за счет
включения примеров из биографии Виета, приема запоминания формулировки
теоремы Виета, самостоятельного открытия знаний, выполнения заданий,
раскрывающих все основные варианты соответствующей деятельности.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Ход урока
1 этап. Обзор. Мотивация.
Просмотр фрагмента мультфильма «Золушка».
Вы узнали, из какого мультфильма этот фрагмент? За короткое время Золушка должна,
справится с большим объемом работы. Вот и перед вами дома стояла задача за
короткое время решить большое количество квадратных уравнений.
- Сколько времени понадобилось для решения 10 уравнений?
Проверка домашнего задания (1 слайд)
№
Уравнение
Корни уравнения
1
х
2
+5х-6=0
х
1
=1,х
2
=-6
2
3х
2
-5х-8=0
х
1
=2
,х
2
=-1
3
х
2
-9=0
х
1
=3,х
2
=-3
4
х
2
+4х-5=0
х
1
=1,х
2
=-5
5
2х
2
-5х-7=0
х
1
=3,5,х
2
=-1
6
х
2
+4х=0
х
1
=0,х
2
=-4
7
х
2
+3х+2=0
х
1
=-1,х
2
=-2
8
3х
2
-8х-11=0
х
1
=3
,х
2
=-1
9
-х
2
+14х-48=0
х
1
=6,х
2
=8
10
4х
2
-4х=15
х
1
=2,5,х
2
=-1,5
Проверьте и оцените себя 10-9 «5»
8-7 «4»
6-5 «3»
На какие группы мы можем разделить эти уравнения?
Уравнение
Полное
Приведенное
Не приведённое
1
х
2
+5х-6=0
˅
˅
2
3х
2
-5х-8=0
˅
˅
3
х
2
-9=0
4
х
2
+4х-5=0
˅
˅
5
2х
2
-5х-7=0
˅
˅
6
х
2
+4х=0
7
х
2
+3х+2=0
˅
˅
8
3х
2
-8х-11=0
˅
˅
9
-х
2
+14х-48=0
˅
˅
10
4х
2
-4х=15
˅
˅
Целеполагание.
Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы уже умеем
делать, чему должны или можем научиться. Итак…
(высветить слайд с незаполненной таблицей и в ходе обсуждения её заполнить)
О квадратных уравнениях
№
п/п
Что я знаю
Что не знаю
1.
Решать по формуле полные
квадратные уравнения
Новый способ решения
квадратных уравнений
2.
Решать неполные квадратные
уравнения
3.
Решать задачи с помощью
квадратных уравнений
Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать выводы и
сформулировать цели урока.
Напишите в тетрадях дату, классная работа.
I I Объяснение.
2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.
Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в
таблицу.
Девизом к нашей дальнейшей работе будут слова Джона Сильвестра
«Большая часть великих идей современных математиков, если не все, получила свое
начало в наблюдении»
Какую цель мы поставим перед собой перед началом исследования?
“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного
квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”
Класс делится на варианты. Каждый вариант получает задание и проводит
исследование. Задания для исследования каждому варианту:
1 вариант
1. х
2
+ 7х + 12 = 0
2. х
2
 10х + 21 = 0
3. х
2
– 3х – 10 = 0
2 вариант
1. х
2
+ 5х + 6 = 0
2. х
2
 9х + 20 = 0
3. х
2
– 2х – 15 = 0
3 вариант
1 х
2
+ 7х + 10 = 0
2 х
2
 8х + 15 = 0
3 х
2
– х – 6 = 0
4 вариант
1. х
2
+ 8х + 15 = 0
2. х
2
 7х + 10 = 0
3. х
2
– х – 12 = 0
5 вариант
1. х
2
+ 10х + 21 = 0
2. х
2
 7х + 12 = 0
3. х
2
– х – 30 = 0
6 вариант
1. х
2
+ 9х + 20 = 0
2. х
2
 11х + 30 = 0
3. х
2
– 5х – 14 = 0
План исследования.
1. Заполните рабочий лист.
2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению, найдите
закономерность, сделайте вывод.
3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению, найдите
закономерность, сделайте вывод.
4. Ответьте на вопрос урока.
5. Подготовьте отчет.
3 этап. Обмен информацией.
На доске заготовка таблицы “Рабочий лист”. Каждый вариант при отчете записывает в
эту таблицу только первое уравнение из своего списка. После отчета всех вариантов на
доске появляется заполненная таблица:
Рабочий лист
1
2
3
4
5
6
Приведенное
квадратное
уравнение
х
2
+ px + q = 0
Второй
коэффициент
p
Свободный
член q
Корни
х
1
и х
2
Сумма
корней
х
1
+ х
2
Произведение
корней
х
1
· х
2
х
2
+ 7х + 12 = 0
7
12
 3 и  4
- 7
12
х
2
+ 5х + 6 = 0
5
6
-2 и -3
-5
6
х
2
+ 7х + 10 = 0
7
10
-2 и -5
-7
10
х
2
+ 8х + 15 = 0
8
15
-3 и -5
-8
15
х
2
+ 10х + 21 = 0
10
21
-3 и -7
-10
21
х
2
+ 9х + 20 = 0
9
20
-4 и -5
-9
20
(проверяем заполнение учащимися таблицы)
4 этап. Связывание информации.
Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями
приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?
(х
1
+х
2
= р, х
1
•х
2
=q.)
(Проведенное исследование позволяет учащимся высказать гипотезу о связи между
корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.)
Гипотеза.
Если x
1
и x
2
– корни уравнения x
2
+ px +q = 0,
то x
1
+x
2
= р, x
1
· x
2
= q.
-А давайте посмотрим какая формулировка теоремы в нашем учебнике, совпала ли
наша гипотеза с теоремой в учебнике? Посмотрим на слайд.
Если приведённое квадратное уравнение x
2
+ px +q = 0, имеет неотрицательный
дискриминант, то сумма корней этого уравнения равна коэффициенту при х,
взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному
члену.
- Совпала наша гипотеза?
Для подтверждения данной гипотезы к ответу приглашается ученик, получивший
индивидуальное задание. Ученик на доске предлагают доказательство этой теоремы.
Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой
условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной
теоремы, называется теоремой, обратной данной).
 Составьте схему теоремы, обратной записанной.
Один из возможных вариантов ответов:
“Условие”: х
1
+ х
2
= р, х
1
· х
2
=q.
“Заключение”: х1 и х2 – корни квадратного уравнения х
2
+ рх + q = 0.
Формулируется теорема, обратная данной.
Если для чисел х1,х2,p, q справедливы формулы x
1
+x
2
= р, x
1
· x
2
= q, то х
1
,х
2-
корни уравнения
х
2
+ рх + q = 0.
-Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из
истинности прямой теоремы следует истинность обратной. Доказать эту теорему вы
должны будете дома.
Динамическая пауза
5 этап. Применение.
Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью прямой и
обратной теоремы.
Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку и
придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?
Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять
квадратные уравнения.
Задание №1 (работа по вариантам)
1. Выпишите на чистом листе две пары чисел, являющихся корнями квадратных
уравнений, которые вы решали на этапе исследования.
2. Обменяйтесь этими листами с соседними вариантами.
3. По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.
4. Дайте эти уравнения на проверку соседу по парте.
Осуществляется проверка правильности выполнения задания .
Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным
способом.
 Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?
Какую теорему в этом случае будем использовать? (Для нахождения корней
приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная
данной).
Задание №2 (индивидуальная работа)
Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного
уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому
номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером
записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Ф
р
а
н
с
у
а
В
и
е
т
о
т
е
ц
а
л
г
е
б
р
ы
Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший
корень уравнения:
1. х
2
+ 7х + 10 = 0
2. х
2
– х – 20 = 0
3. х
2
+ 6х – 7 = 0
4. х
2
+ 11х + 24 = 0
5. х
2
+ 17х + 70 = 0
6. х
2
– 7х – 30 = 0
7. х
2
+ 10х – 11 = 0
8. х
2
+ х – 12 = 0
9. х
2
+ 11х + 28 = 0
10. х
2
– 4х – 21 = 0
11. х
2
+ 4х + 3 = 0
12. х
2
+ 7х  18 = 0
13. х
2
+ 6х + 5 = 0
14. х
2
9х +14 = 0
15. х
2
+ 13х + 42 = 0
16. х
2
+ 2х  3 = 0
17. х
2
– х – 12 = 0
18. х
2
+ 12х + 35 = 0
19. х
2
10х + 21 = 0
20. х
2
х  30 = 0
21. х
2
– 9х + 20 = 0
22. х
2
11х + 24 = 0
Код: большему корню уравнения соответствует буква
Учитель дает небольшую историческую справку о жизни и деятельности
Ф.Виета. Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал
советником короля. И хотя математика была его увлечением, хобби,
благодаря упорному труду он добился больших результатов. Виет в 1591 г.
ввел буквенные обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений,
стало возможным свойства уравнений и корней записывать общими
формулами.
Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только
положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял
уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много
времени, и усложняло решение.
Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил
установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного
уравнения, т.е. той зависимостью, которая называется «теоремой Виета».
Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к не приведенному
квадратному уравнению? (Да, можно, т.к любое не приведенное квадратное
уравнение можно привести к приведённому).
Итог Тест. Система голосования
1) Найти произведение корней уравнения
   
А) 6 Б) 7 В) -6 Г) -7
2) Найти сумму корней уравнения
   
А) -5 Б) -6 В) 5 Г) 6
3) Составьте приведенное квадратное уравнение, корни которого х1=-3 и
х2=-2
А)
    Б)
   
В)
    Г)
   
4) Подобрать корни уравнения
  
А) -4 и 5 Б) 4 и -5 В) -4 и -5 Г) 4 и 5
-11
- 10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
я
к
м
ч
с
ц
г
и
н
ф
т
а
о
в
л
р
б
е
ы
п
у
д
5) Подобрать корни уравнения 
   
А) 4 и 2 Б) -4 и 2 В) 4 и -2 Г) -4 и -2
Домашнее задание.
Дифференцированное
п.4.6. учебника
Задание 1 уровня
1. Найдите корни квадратного уравнения, применяя теорему,
обратную теореме Виета:
а) х
2
– 6х + 5 = 0; б) х
2
– 7х + 12 = 0; в) х
2
– х – 12 = 0.
2. Составьте приведенные квадратные уравнения, если его корни
равны:
а) х
1
= –3, х
2
= 1; б) х
1
= –3, х
2
= –4; в) х
1
= 5, х
2
= 6.
Задание 2 уровня
1.Составьте квадратное уравнение, корни которого:
а)равны соответственно сумме и произведению корней уравнения
3х
2
+2 х – 15 = 0,
б)больше корней уравнения 3 х
2
–11 х +2 = 0 на единицу;
в) меньше корней уравнения 2х
2
–13 х +3 = 0 в два раза
Задание 3 уровня:
Проверьте выполнимость теоремы Виета для уравнения:
1. х
2
– 2х – 9 = 0, р = –2, q = –9.
х
1
=1 –
10
, х
2
= 1 +
10
, х
1
+ х
2
= 2, х
1
х
2
= –9.
2 .2х
2
+ 7х – 6 = 0, р =
2
7
, q = –3.
х
1
=
4
977
, х
2
=
4
977
, х
1
+ х
2
=–
2
7
, х
1
х
2
= –3.
6 этап. Рефлексия.
На уроке я работал
Активно/пассивно
Своей работой на уроке я
Доволен/не доволен
Урок для меня показался
Коротким/длинным
За урок я
Не устал/устал
Моё настроение
Стало лучше/стало хуже
Материал урока мне был
Понятен/не понятен
Полезен/бесполезен
Интересен/скучен
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: