Ученики на Учителя.com


Урок повторения "Решение уравнений методом оценки" 11 класс

Урок повторения по алгебре и началам анализа в 11 классе
Тема: «Решение уравнений методом оценки (подготовка к ЕГЭ)»
Цели урока: 1) научить узнавать уравнения, которые можно решать методом
оценки;
2) научить заменять сложные конструкции более простыми моделями;
3) научить решать уравнения методом оценки.
Ход урока
Учитель: Завершая изучение школьного курса алгебры и математического
анализа, мы повторили и обобщили методы решения различных уравнений.
Сегодня остановимся на одном из них – методе оценок или методе
мажорант. Вам придется с ним столкнуться на экзамене в заданиях серии С.
Если уравнение f(x) = g(x) можно решить методом оценки, т.е. если можно
оценить значения функций f(x) и g(x), то какими свойствами должны обладать
данные функции?
- Они должны быть ограниченными.
- Приведите примеры ограниченных функций.
- Начертите схематично графики
функций.
- А если функция сложная и она
зависит от ограниченной функции?
Например: Элементарная функция
y = log
a
х является неограниченной,
а сложная функция y
= – ограничена, т.к. ее аргумент, элементарная квадратичная
функция , ограничен. Таким образом, можно сказать, что если
неограниченная функция зависит от ограниченной, то она тоже становится
ограниченной.
Вывод: Если дана сложная функция, которая при сведении к элементарной,
1) y = cos x ;
5) y = arcsin x ;
2) y = sin x ;
6) y = arcos x ;
3) y = ax
2
+ bx + c ;
7) y =
4)
8) y = f
2n
(x).
является неограниченной, а ее аргумент задан ограниченной функцией, то
полученная функция будет ограниченной.
Итак, метод оценки или метод мажорант используется в уравнениях вида
f(x) = g(x) , где f(x) иg(x) – ограниченные функции, и на ОДЗ данного
уравнения наибольшее значение (А) одной из них равно наименьшему значению
(А) другой. Тогда исходное уравнение равносильно системе
уравнений:
Выберите из предложенных уравнений те, которые можно попробовать
решить методом оценки.
1) ;
5) = x
2
+ x – 13 ;
2) 2
x
= x + 1 ;
6)
3)
7) cos x + sin = 1 ;
4) cos(2 x) = x
2
– 2x + 2;
8)
- 1, 4 и 6 уравнения.
- Объясните, почему 2-е уравнение нельзя решить методом оценки?
- Функция у = х + 1 неограниченна.
- Почему 5-е уравнение нельзя решить методом оценки?
- Функция у = log
1/3
x неограниченна.
- А вот уравнения (3) и (7) можно попробовать решить этим способом, т.к. их
можно свести к виду f(x) = g(x) , где f(x) и g(x) – ограниченные функции.
Попробуйте!
- В самом деле:
3)
7) cos x + sin = 1 ; cos x = - sin + 1.
- Кстати, неравенство (8), тоже можно решить данным методом. Кто желает
поработать у доски?
- Решите самостоятельно уравнение (4). Проверим:
4) cos(2 x) = x
2
– 2x + 2 , модель: f(x) = g(x) , где f(x)= cos(2 x) и g(x) = x
2
–
2x + 2.
f(x)= cos(2 x) - определена и непрерывна на R, Е( f ) = ;
g(x) = x
2
– 2x + 2- определена и непрерывна на R, ;
наибольшее значение f(x )= 1 и наименьшее значение g(x) = 1, значит исходное
уравнение равносильно системе уравнений: корнем второго
уравнения является значение х=1, подставим данное число в первое уравнение:
cos(2π∙1) = 1, cos(2π) = 1 – верно, значит х = 1 является решением системы, а
следовательно и исходного уравнения.
Ответ: 1.
- Кто попробует решить уравнения (3) и (6)?
Примерный вариант решения:
3) составим упрощенную
модель уравнения: . Очевидно, что и при
всех допустимых значениях переменной х, т.е. наибольшее значение левой
части равно нулю и равно наименьшему значению правой части, значит,
уравнение равносильно системе уравнений:
х = 1 является решением второго уравнения. Проверкой
убеждаемся, что х =1 –корень и второго уравнения.
Ответ: 1
(6)
Модель: рассмотрим функции и f = 3 + log
1
4
/2
(g).
E(y) = [0;3], E(f) [3; + ) , т.к. E(log
1
4
/2
( g ) ) [0; + ) (в данном случае можно
не находить правую границу множества значений функции f(g) ). Наибольшее
значение левой части равно трем и равно наименьшему значению правой части,
следовательно, исходное уравнение равносильно системе
уравнений:
Решим второе уравнение: log
1/2
(x
2
–x + 1) = 0, x
2
– x + 1 = 1, x
2
– x = 0, x( x – 1) =
0,
Подставим найденные значения в первое уравнение:
х = 0, не является корнем исходного
уравнения;
х = 1, - верно, значит, х = 1 – корень исходного
уравнения.
Ответ: 1
Выводы урока: Итак, уравнения следует решать методом оценки, если:
•
В уравнении присутствуют функции разной природы
(тригонометрические и показательные, показательные и логарифмические
и т.п.);
•
Эти функции ограничены;
•
На ОДЗ наибольшее значение одной из них равно наименьшему значению
другой.
Примерная схема решения уравнений методом оценки:
•
Свести уравнение к виду f(x) = g(x);
•
Найти множества значений данных функций на ОДЗ уравнения;
•
Если наибольшее значение одной из них равно А и равно наименьшему
значению другой, то составить систему уравнений
•
Решить наиболее простое из них и подставить полученные корни во
второе уравнение, те значения переменной х , которые являются корнями
двух уравнений одновременно и будут решениями исходного уравнения.
Домашнее задание:
Решить уравнения: 1)
2)
3)
4)
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: