Методическая разработка "Решение логарифмических уравнений с параметрами" 11 класс
1
Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических
уравнений с параметрами»
Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую
человечество употребило тысячелетие. Однако его
следует вести к цели не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать истину, не как
готовый результат, а должен ее открывать. Учитель
должен руководить этой экспедицией открытий,
следовательно, также присутствовать не только в
качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать
свои силы; ему ничто не должно доставаться даром.
Дается только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)
Данная методическая разработка «Решение логарифмических уравнений с
параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и
расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие
учебные заведения. Кто понимает, что математику надо учить потому, что она «ум в
порядок приводит», и без нее невозможно стать специалистом в любой отрасли знаний.
К сожалению, изучению логарифмических уравнений с параметрами в программе
общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. а подобные
уравнения входят в сложную группу заданий, предлагаемых в рамках ЕГЭ, для решения
которых необходима хорошая теоретическая подготовка учащихся и уверенное владение
технологиями решения математических задач. Выпускник должен не только знать
обязательные этапы решения логарифмических уравнений с параметрами, но и хорошо
понимать их смысл и назначение, так как многие учащиеся понимают параметр как
«обычное число». Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать
постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения.
Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой
постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения
параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все
значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства
удовлетворяют заданным условиям». Соответственно
И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого
типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для
каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач
с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия
задачи.
Основная цель данной методической разработки: показать различные методы
решения нестандартных логарифмических уравнений с параметром, сделать
использование этих методов глубоко осмысленным.
2
При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо
придерживаться следующей схемы:
1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить через ).
3. Сделать перебор параметра с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.
Задача 1.
В зависимости от значений параметра решить уравнение
.
Решение.
.
.
,
.
0
x
a
1
3
Ответ:
, при 0 при ,
.
Задача 2
При каких значениях сумма
и
будет равна 1 хотя бы при
одном значении? (ЕГЭ 2002г.)
Решение.
По условию уравнение
должно иметь хотя бы один
корень. Заметим, что для любых действительных значений
ОДЗ:
,
2
+ 5+ 6 – =0.
Пусть
. Тогда получим уравнение
, дискриминант
которого . Заметим, что при всех
Функция
задает семейство парабол, пересекающих ось абсцисс в
двух точках (ветви параболы направлены вверх). Абсцисса вершин парабол
.
Легко видеть, что только больший корень квадратного трехчлена может удовлетворять
условию
.
4
Задача3
При каких значениях параметра все корни уравнения
+2(
меньше 3?
Решение.
Область допустимых значений переменной х это . А так как по условию все корни
уравнения должны быть меньше 3, т.е. то . Значит,
.
Если обозначить
, то уравнение перепишется в виде равносильной
системы
При уравнение принимает вид , и т. о.
. Но это значение
противоречит условию.
Пусть . Тогда корни квадратного трехчлена
будут меньше 0, если совместна система
Ответ: .
Задача 4.
При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения
больше 1.
Решение.
.
.
.
5
1).
, (
2).
, (
.
Уравнение имеет два корня, если
(*)
Учитывая, что
,
=
=
.
.(**)
Пересечем множества * и **, получим ответ.
Ответ:
.
Задача 5
При каких значениях параметра уравнение
имеет единственное решение.
Решение.
.
1)
2)
6
Ответ: .
Задача 6
При каких значениях параметра уравнение
имеет единственное решение?
Решение.
Рассматриваем систему, равносильную данному уравнению
.
1).
2).
{3,5}.
Ответ:
{3,5}.
Задача 7
Найти все значения , удовлетворяющие уравнению
при любом значении параметра .
Решение.
Так как уравнение должно иметь решения при любом значении параметра , то оно должно иметь
решения и при . Но при этом значении исходное уравнение принимает вид
3
3,5
2
7
.
.
.
, 5
,
2
,
.
Если подставить
в уравнение, получим
=2
, 1=1- верно для R.
Если же подставить
, то получим
,
.
То есть соотношение (*) справедливо не для всех значений параметра , только для .
Ответ: x=1.
Задача 8
Найти все значения , удовлетворяющие уравнению
при любом значении
Решение.
Если такое значение х существует, то оно будет удовлетворять уравнению при любом R, в том
числе и при .
Тогда при получим
, 1=2
,
,
,
. Оба найденные значения являются корнями уравнения (*).
Подставим теперь
в данное уравнение:
, 5
.
Но при выражение
, являющееся основанием логарифма, равно 0.
Значит,
не является корнем данного уравнения, ни при каких значениях
Подставим
в данное уравнение
,
.
Это равенство верно при любом R.
Ответ: .
8
Задача 9.
Найти все значения , для каждого из которых уравнение
имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1).
Решение.
Ответ:
.
Задача 10.
Найти все значения , для каждого из которых уравнение
имеет
хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (-1;2)
Решение.
.
1
-1
1
- 1
9
Ответ:
.
Задача 11
При каких значениях параметра уравнение
-2=0 имеет два
корня, расстояние между которыми больше
.
Решение.
ОДЗ:
Предполагая, что эти условия выполнены и переходя к логарифмам по основанию 5,
преобразуем уравнение к виду
,
,
или
Если , то
Если то о дно из чисел
равно
.
Поэтому значения ,не удовлетворяют условию задачи.
Пусть , тогда уравнение может иметь два различных корня.
По условию
, т. е.
, ;-0,5)
Учитывая, что и ;-0,5)
, получаем ответ.
Ответ: ;-0,5)
.
2
-1
3
10
Задача 12
При каких значениях уравнение
0 имеет два корня,
расстояние между которыми больше 8?
Решение.
ОДЗ:
.
.
.
.
Если
Если
, что не удовлетворяет ОДЗ.
Пусть , тогда уравнение имеет два корня.
по условию.
,
∞
∞
Учитывая, что получим ответ.
Ответ:
.
Мы рассмотрели разные способы решения задач. Однако предлагаемые способы решения
уравнений не сказочный ключ к решению любой задачи. Но они направляют мысль,
сокращают время поиска, формируют навыки решения.
Но «чтобы получить ощутимую пользу, ученик должен идти к цели не с завязанными
глазами, а зрячим: он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её
открывать. Ученик должен напрягать свои силы, ему ничто не должно доставаться даром.
Дается только тому, кто стремится». (А. Дистервег)
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Конспект урока "Линейное уравнение с одной переменной" 7 класс
- План-конспект урока "Деление многочлена на одночлен" 7 класс
- Презентация "Применение показательной функции"
- План-конспект урока "Решение простейших тригонометрических уравнений" 10 класс
- Конспект зачётного урока "Параллельные плоскости" 10 класс
- Технологическая карта урока "Правило сложения рациональных чисел с разными знаками" 6 класс
