Методическая разработка "Решение логарифмических уравнений с параметрами" 11 класс

1
Методическая разработка для учащихся 11-го класса «Решение логарифмических
уравнений с параметрами»
Ученик проходит в несколько лет дорогу, на которую
человечество употребило тысячелетие. Однако его
следует вести к цели не с завязанными глазами, а
зрячим: он должен воспринимать истину, не как
готовый результат, а должен ее открывать. Учитель
должен руководить этой экспедицией открытий,
следовательно, также присутствовать не только в
качестве простого зрителя. Но ученик должен напрягать
свои силы; ему ничто не должно доставаться даром.
Дается только тому, кто стремится.
(А. Дистервег)
Данная методическая разработка «Решение логарифмических уравнений с
параметрами» предназначена для учащихся 11-х классов, желающих углубить и
расширить свои знания по математике. Для тех, кто готовится к поступлению в высшие
учебные заведения. Кто понимает, что математику надо учить потому, что она «ум в
порядок приводит», и без нее невозможно стать специалистом в любой отрасли знаний.
К сожалению, изучению логарифмических уравнений с параметрами в программе
общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. а подобные
уравнения входят в сложную группу заданий, предлагаемых в рамках ЕГЭ, для решения
которых необходима хорошая теоретическая подготовка учащихся и уверенное владение
технологиями решения математических задач. Выпускник должен не только знать
обязательные этапы решения логарифмических уравнений с параметрами, но и хорошо
понимать их смысл и назначение, так как многие учащиеся понимают параметр как
«обычное число». Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать
постоянной величиной, но эта постоянная величина принимает неизвестные значения.
Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой
постоянной. В других задачах параметром бывает удобно объявить одну из неизвестных.
На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения
параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все
значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства
удовлетворяют заданным условиям». Соответственно
И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого
типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для
каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач
с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия
задачи.
Основная цель данной методической разработки: показать различные методы
решения нестандартных логарифмических уравнений с параметром, сделать
использование этих методов глубоко осмысленным.
2
При решении логарифмических уравнений с параметрами необходимо
придерживаться следующей схемы:
1. Найти область допустимых значений.
2. Решить уравнение (чаще всего выразить через ).
3. Сделать перебор параметра с учетом ОДЗ.
4. Проверить, удовлетворяют ли найденные корни уравнения условиям ОДЗ.
5. Записать ответ.
Задача 1.
В зависимости от значений параметра решить уравнение


.
Решение.


.
.
,



.




0
x
a
1
3
Ответ: 


, при 0 при ,
 


.
Задача 2
При каких значениях сумма 

и 

будет равна 1 хотя бы при
одном значении? (ЕГЭ 2002г.)
Решение.
По условию уравнение 



должно иметь хотя бы один
корень. Заметим, что  для любых действительных значений
ОДЗ:





,





2
+ 5+ 6 =0.
Пусть

. Тогда получим уравнение
, дискриминант
которого . Заметим, что  при всех 
Функция
 задает семейство парабол, пересекающих ось абсцисс в
двух точках (ветви параболы направлены вверх). Абсцисса вершин парабол
.
Легко видеть, что только больший корень квадратного трехчлена может удовлетворять
условию

.
4







Задача3
При каких значениях параметра все корни уравнения

 +2(
меньше 3?
Решение.
Область допустимых значений переменной х это . А так как по условию все корни
уравнения должны быть меньше 3, т.е. то . Значит, 
.
Если обозначить 
, то уравнение перепишется в виде равносильной
системы
При уравнение принимает вид , и т. о.
. Но это значение
противоречит условию.
Пусть . Тогда корни квадратного трехчлена

будут меньше 0, если совместна система





Ответ: .
Задача 4.
При каких значениях параметра сумма квадратов корней уравнения






больше 1.
Решение.





.









.

.
5
1).
, (




2).
, (



.
Уравнение имеет два корня, если


(*)
Учитывая, что
,



=
=
.




.(**)
Пересечем множества * и **, получим ответ.
Ответ:

.
Задача 5
При каких значениях параметра уравнение




имеет единственное решение.
Решение.









.
1) 








2)


6



Ответ: . 

Задача 6
При каких значениях параметра уравнение






 имеет единственное решение?
Решение.
Рассматриваем систему, равносильную данному уравнению











.
1).




2).





{3,5}.
Ответ: 

{3,5}.
Задача 7
Найти все значения , удовлетворяющие уравнению







 при любом значении параметра .
Решение.
Так как уравнение должно иметь решения при любом значении параметра , то оно должно иметь
решения и при . Но при этом значении исходное уравнение принимает вид
3
3,5
2

7





.



.




.




, 5
,
2
,

.
Если подставить
в уравнение, получим



=2
, 1=1- верно для R.
Если же подставить
, то получим




, 




.
То есть соотношение (*) справедливо не для всех значений параметра , только для .
Ответ: x=1.
Задача 8
Найти все значения , удовлетворяющие уравнению






при любом значении
Решение.
Если такое значение х существует, то оно будет удовлетворять уравнению при любом R, в том
числе и при .
Тогда при получим




, 1=2


, 
,
,

. Оба найденные значения являются корнями уравнения (*).
Подставим теперь
 в данное уравнение: 



, 5
.
Но при  выражение
, являющееся основанием логарифма, равно 0.
Значит,
 не является корнем данного уравнения, ни при каких значениях
Подставим
в данное уравнение 



, 


.
Это равенство верно при любом R.
Ответ: .
8
Задача 9.
Найти все значения , для каждого из которых уравнение


 имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1).
Решение.




Ответ: 
.
Задача 10.
Найти все значения , для каждого из которых уравнение 

 имеет
хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (-1;2)
Решение.







.
1
-1
1
- 1
9
Ответ: 

.
Задача 11
При каких значениях параметра уравнение 



-2=0 имеет два
корня, расстояние между которыми больше

.
Решение.
ОДЗ:

Предполагая, что эти условия выполнены и переходя к логарифмам по основанию 5,
преобразуем уравнение к виду



, 

,

 или 



Если , то
Если  то о дно из чисел
равно

.
Поэтому значения ,не удовлетворяют условию задачи.
Пусть , тогда уравнение может иметь два различных корня.
По условию

, т. е.



, ;-0,5)

Учитывая, что  и ;-0,5)

, получаем ответ.
Ответ: ;-0,5)

.
2
-1


3
10
Задача 12
При каких значениях уравнение 


0 имеет два корня,
расстояние между которыми больше 8?
Решение.
ОДЗ:



.


.
.


.
Если 

Если 
, что не удовлетворяет ОДЗ.
Пусть , тогда уравнение имеет два корня.
по условию.


,


Учитывая, что  получим ответ.
Ответ:

.
Мы рассмотрели разные способы решения задач. Однако предлагаемые способы решения
уравнений не сказочный ключ к решению любой задачи. Но они направляют мысль,
сокращают время поиска, формируют навыки решения.
Но «чтобы получить ощутимую пользу, ученик должен идти к цели не с завязанными
глазами, а зрячим: он должен воспринимать истину, не как готовый результат, а должен её
открывать. Ученик должен напрягать свои силы, ему ничто не должно доставаться даром.
Дается только тому, кто стремится». (А. Дистервег)