Конспект урока "Построение сечений призмы"


Тема урока: Построение сечений призмы.
Цель: ввести общее понятие сечения многогранника, разобрать
примеры построения сечения призмы.
Как милости вашей будет угодно, -
отвечал на все согласный Селифан, - коли
посечь, то и посечь; я ничуть не прочь от
того… Оно нужно посечь, потому что…
Порядок нужно соблюдать.
Н.Гоголь. мертвые души
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
Повторение изученного из планиметрии:
- понятие правильного многоугольника;
- понятие плоской фигуры;
из стереометрии:
- правила параллельного проектирования;
- расстояние между плоскостями;
- определение прямой, перпендикулярной плоскости.
III. Изучение нового материала. Построение сечений.
Многогранник и плоскость могут:
1. Не иметь общих точек;
2. Иметь единственную общую точку;
3. Пересекаться по отрезку.
Сечением пространственного тела (например, многогранника) называется
фигура, получающая в пересечении тела с плоскостью.
Прежде всего, заметим, что сечение выпуклого многогранника есть
выпуклый многоугольник, вершины которого в общем случае являются
точками пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а
стороны – с его гранями.
С
I.
Для построения сечения нужно найти прямые, по которым плоскость
сечения пересекается с плоскостью граней многогранника.
С
II.
Для построения прямой пересечения плоскостей, как правило, находят
две точки, через них и проводят прямую пересечения.
С
III.
Точки прямой пересечения (из С
II.
) отыскиваются как точки
пересечения известной прямой, лежащей в одной плоскости, со второй
плоскостью.
С
IV.
Для построения такой точки пересечения (из С
III.
) данных прямой и
плоскости находят прямую, пересекающую данную, - точка получается в
пересечении этих прямых (на проекционном чертеже).
Вопросы и задания для закрепления:
1. Может ли плоскость пересекать все ребра многогранника? (Нет).
2. Может ли плоскость пересекать все грани многогранника? (Да).
Рассмотрим возможные сечения на изображениях призмы.
3. Что представляют собой сечения призмы плоскостями,
параллельными основаниям и пересекающими боковые ребра?
4. Что представляют собой сечения призмы плоскостями,
параллельными боковым ребрам?
Диагональные сечения это сечения плоскостями,
проходящими через два боковых ребра, не принадлежащих одной
грани.
5. Как можно задать плоскость сечения?
Известны четыре способа:
1) двумя пересекающими прямыми;
2) прямой и не лежащей на ней точкой;
3) тремя не лежащими на одной прямой точками;
4) двумя параллельными прямыми.
Следовательно, плоскость сечения может быть задана одним из этих
способов.
Рассмотрим примеры построения сечений.
Мы видим, что проведенное построение сечения во всех случаях было
основано на нахождении линий пересечения секущей плоскости с
плоскостями граней многогранника – так называемых следов секущей
плоскости на плоскостях граней. Отсюда и происходит название метода
построения сечений, который мы только что проиллюстрировали, - метод
следов.
Следом сечения на плоскости грани называется прямая, по которой
секущая плоскость пересекает плоскость грани.
Метод следов, как мы видим универсален, но у него имеется пожалуй один
серьезный недостаток: построения следов занимают довольно много места на
листе бумаги, а в некоторых случаях точки пересечения прямых вообще
выходят за его пределы. От этого недостатка свободен другой метод – метод
внутреннего проектирования, который мы сейчас рассмотрим.
Как видно из примера, все построения мы проводили, не выходя за пределы
изображения данного многогранника. Отсюда и происходит название
описанного метода.
IV. Итог урока.
Вопросы учащимся.
- Что называется сечением многогранника?
- Какими фигурами могут быть сечения выпуклых многогранников?
V. Домашнее задание.
Постройте сечение призмы ABCA
1
B
1
C
1
плоскостью, проходящей через точки
K и L параллельно прямой АВ, где К (BB
1
C), L (AA
1
C).