Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Построение сечений многогранников" 10 класс

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЛИЦЕЙ «ПОЛИТЭК» Г.ВОЛГОДОНСКА
Урок геометрии в 10 классе на тему:
« Построение сечений многогранников»
учитель математики
Дубинина Виктория Анатольевна
г.Волгодонск
2015г.
Цель урока:
Образовательная - формирование у обучающихся навыков решения
задач на построение сечений; обобщить, систематизировать и
закрепить полученные знания на предыдущих уроках; ознакомиться с
методами построений сечений многогранников;
Развивающая – развитие у учащихся пространственного и образного
мышления и воображения развитие мыслительных операций -
обобщение, классификация и анализ;
Воспитательная – Формирование у обучающихся графической
Культуры, воспитывать активность и самостоятельность, аккуратность
учащихся, ответственность, уметь применять знания на практике,
интерес к предмету;
Задачи урока:
Формировании мотивации к изучению данной темы.
Умение пользоваться опорными знаниями при решении задач.
Формирование и развитие у обучающихся пространственного воображения.
Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и
навыки исследовательской работы над задачей.
Оборудование и материалы для урока: компьютер, мультимедийный
проектор, экран, презентация «Построение сечений многогранников» для
сопровождения урока.
Тип урока: Урок открытия новых знаний.
Форма урока: Урок - практикум с элементами развивающего обучения.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемно-поисковый.
Этапы урока:
1. Организационный момент.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Постановка задачи.
4. Изучение нового материала.
5. Закрепление материала.
6. Самостоятельная работа.
7. Подведение итогов урока.
Ход урока
I этап. Организационный.
Приветствие учителя, проверка готовности обучающихся к уроку, сообщение
темы урока.
II этап. Актуализация опорных знаний.
Задача 1. Дать описание взаимного расположения точек АВСD и плоскости
α, изображения которых представлены на иллюстративном чертеже
(Чертеж1а), дополнить иллюстративный чертеж до проекционного и дать
описание взаимного расположения
точек для него (Чертеж 1б)(Слайд 3)
Чертеж1а Чертеж 1б
Задача 2. Начертить различные случаи изображения прямых на
проекционном чертеже(чертеж 2).(слайд 4)
α
A
B
C
D
α
А
1
А
1
В(В
1
))
С
1
С
D
1
D
Задача 3. Построить изображение точки, принадлежащей заданной прямой
а(а1)(слайд 5)
-Дайте определение следа прямой на плоскости?
Определение. Следом заданной прямой (плоскости) на основной плоскости
называется точка (прямая) пересечения прямой (плоскости) с основной плос-
костью.
Задача 4 . Построить точку пересечения данной прямой AB(A1B1) с
основной плоскостью (Чертеж 4).(слайд 5)
Чертеж 4
Решением этой задачи является точка пересечения (если она
существует) прямыхAB и А
1
В
1
, так как в оригинале эти прямые лежат в
одной и той же проектирующей плоскости.
а
1
А
В
1
В
Х
α
А
1
Задача 5. Построить прямую, по которой плоскость β (β1), заданная тремя
точками А(А1), В(B1) и С(С1), пересекается с основной плоскостью (чертеж
5,6).( слайд 6).
Учащимся сообщается, что для построения линии пересечения двух
плоскостей достаточно знать две точки, принадлежащие обеим плоскостям,
или одну точку и направление линии пересечения этих плоскостей.
Для решения задачи по первой схеме (чертеж5) строятся две прямые,
например АС(А
1
С
1
) и АВ(А
1
В
1
), принадлежащие плоскости β (β
1
), и после
этого строятся точки пересечения этих прямых с плоскостью α (задача 5).
Прямая ХУ—искомая, так как точки X и У принадлежат и плоскости β (β
1
) и
плоскости α.
Решение задач по второй схеме становится возможным, если
известны какие-либо дополнительные условия. Пусть, например, для чертежа
на чертеже 6 определено, что прямая АВ(А
1
В
1
) параллельна плоскости α,
тогда и линия пересечения плоскостей β (β
1
) и α должна быть параллельна
АВ(А
1
В
1
). Одна точка, через которую проходит прямая пересечения
плоскостей, определится как точка пересечения произвольной прямой,
принадлежащей плоскости β (β
1
) с основной плоскостью. На чертеже 6
такой точкой является точка X, а прямая ХУ, параллельная АВ(А
1
В
1
),—
искомая.
Задача 6. Дано изображение призмы и прямой а (чертеж 8, а, б и в).
Построить точку встречи прямой, а с плоскостью основания призмы.
Учащиеся убеждаются, что в случае в можно построить единственную
точку, в случае а и б - за изображение точки встречи прямой а и плоскости
основания может быть принята любая точка прямой а.( слайд 7)
а) б ) в )
Чертеж 7
Ш этап. Постановка задачи.
Вопросы к классу:
- Что значит построить сечение многогранника плоскостью?
- Как могут располагаться относительно друг друга многогранник и
плоскость?
- Как задается плоскость?
- Когда задача на построение сечения многогранника плоскостью
считается решенной?
IV этап. Изучение нового материала.
А) Итак, задача состоит в построении пересечения двух фигур:
многогранника и плоскости ( чертеж 8). Это могут быть: пустая фигура
(а), точка (б), отрезок (в), многоугольник (г). Если пересечение
многогранника и плоскости есть многоугольник, то этот многоугольник
называется сечением многогранника плоскостью.(слайд 8)
а
а
а
Чертеж 8
Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает
многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной
плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким
образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым
плоскость пересекает грани многогранника.
Исследуйте сечения куба (чертеж 9) и ответьте на следующие вопросы(слайд
9):
Чертеж 9
- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно
число сторон многоугольника);
[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник,
шестиугольник.]
- может ли в сечении куба плоскостью получиться семиугольник? А
восьмиугольник и т.д.? Почему?
Давайте рассмотрим призму и ее возможные сечения плоскостью ( на
модели). Какие многоугольники получаются?
Какой можно сделать вывод? Чему равно наибольшее число сторон
многоугольника, полученного сечением многогранника с плоскостью?
[ Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении
многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.]
Б) а) Способ следов состоит в следующем. Вначале строят на основной
плоскости след секущей плоскости (причем за основную плоскость
принимают большей частью плоскость основания геометрического тела). За-
тем, используя след секущей плоскости, находят точки встречи ребер
многогранника с секущей плоскостью. Используя полученные (и данные)
точки, получают следы секущей плоскости на гранях многогранника.
Рассмотрим решение задачи на построение сечения призмы
плоскостью, используя ее след.( слайд 10)
Задача 7. Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, заданной
тремя точками Р, К и М на ее боковых ребрах (чертеж 10).
A
/
A
D
/
B
/
C
/
D
B
C
T
P
M
K
F
E
X
Чертеж 10
Анализ. Если соединим точку Р с К и точку К с М, то получим линии
пересечения граней АDD
/
А
/
и DCC
/
D
/
с секущей плоскостью. Для построения
сечения достаточно найти линию пересечения секущей плоскости с гранью
АВВ'А' или с гранью ВСС'В' (или точку встречи ребра ВВ' с секущей
плоскостью). Будем искать прямую пересечения секущей плоскости с гранью
ВСС'В'. Точка М принадлежит этой прямой. Если бы мы сумели найти еще
одну точку, принадлежащую этой прямой, то построили бы эту прямую.
Отрезки РК и КМ, принадлежащие плоскости сечения, говорят о том, что
искомая линия пройдет наклонно к основной плоскости и, следовательно,
пересечет ее. Нельзя ли найти точку их встречи? Такие задачи решали. Точку
встречи прямой с основной плоскостью находили как общую точку прямой и
ее проекции на основную плоскость. Если принять направление внутреннего
проектирования параллельно боковым ребрам призмы, то прямую В
/
С
/
можно рассматривать как проекцию искомой прямой на основной плоскости.
Тогда точка встречи х искомой прямой с основной плоскостью будет
располагаться на прямой В
/
С
/
. Но прямая В
/
С
/
принадлежит основной плоско-
сти, а искомая прямая — секущей плоскости, следовательно, точка х будет
общей для секущей и основной плоскости, т. е. будет принадлежать линии их
пересечения. Если построим линию пересечения, то найдем и точку х. Линию
пересечения (след секущей плоскости) отыщем, используя прямые РК и КМ,
принадлежащие секущей плоскости, и их проекции А
/
D
/
и D
/
C
/
на основной
плоскости.
Построение. Находим точки Е и F— следы прямых PК и КМ на
основной плоскости. Строим след плоскости ЕF. Продолжаем В
/
С
/
до
пересечения со следом плоскости. Получаем точку х пересечения искомой
прямой с основной плоскостью. Проводим прямую хМ. МТ — линия
пересечения грани ВСС'В' с секущей плоскостью.
Доказательство. Необходимо доказать, что точка Т принадлежит секущей
плоскости Q.
EF Є Q — по построению. Следовательно, и х Є Q.
M Є Q и x Є Q
1 ,
T Є xM→T Є Q.
Исследование. Так как точки Р, К и М не лежат на одной прямой и,
следовательно, определяют единственную плоскость, то существует
единственное решение.
б) Сущность метода внутреннего проектирования состоит в следующем.
Имея три точки, определяющие плоскость сечения, находят их проекции
на основную плоскость, а также проекцию еще не построенной точки. По
трем данным точкам и четырем проекциям отыскивают четвертую
точку, принадлежащую плоскости сечения. Таким же образом, если это
необходимо, получают пятую, шестую и т. д. точки, принадлежащие
поверхности геометрического тела и плоскости сечения, т. е. сечению.
(слайд11)
Задача 8.Дано изображение четырехугольной призмы. Построить ее сечение
плоскостью, проходящей через точки А, В, С, лежащие на ребрах призмы
(чертеж 11).
Чертеж 11
Решение. Выбираем боковые ребра призмы в качестве проектирующих, а
плоскость ее основания — в качестве основной плоскости. Тогда точки
А
1,
В
1,
С
1
будут соответственно параллельными проекциями точек А, В, С.
Строим диагонали основания призмы. М
1
— точка их пересечения. Через М
1
проводим прямую, параллельную боковым ребрам призмы. Эта прямая
A
A
1
D
1
B
1
C
1
D
C
B
M
M
1
пересекает прямую АС в точке М. Точку М
1
рассматриваем как проекцию
точки М. Точки М, В, В
1
, М
1
, D
1
лежат в одной плоскости, которая
пересекается с плоскостью АВС по прямой ВМ. Строим прямую ВМ. В
пересечении ее с четвертым боковым ребром призмы получаем точку D,
лежащую в плоскости АВС. Поэтому четырехугольник АВCD — искомое
сечение.
в) Сущность метода параллельных прямых заключается в том, что
вместо отыскания следов данной плоскости на гранях данного
многогранника строятся прямые пересечения ее с поверхностью некоторого
параллелепипеда. В основу этого метода положено то свойство
параллелепипеда, что всякая плоскость в пересечении с его боковой
поверхностью образует параллелограмм.( слайд 12)
Задача 9. Дано изображение призмы АВСDA
1
B
1
C
1
D
1
. На ее боковых ребрах
АА
1
, ВВ
1
,
СС
1
даны точки К, Р, М. Построить сечение призмы плоскостью
КРМ.
Чертеж 12
A
D
E
F
H
D
1
A
1
M
C
1
B
1
B
C
К
Р
Решение. В плоскости ABC через точку D проводим прямую, параллельную
ВА, до встречи с прямой ВС в точке Е (чертеж 12).
Через точку Е в плоскости ВСС
1
проводим прямую, параллельную ВВ
1
до встречи с прямой РМ в точке F.
Точки F, Е и D определяют плоскость, параллельную плоскости ВАА
1
.
Поэтому секущая плоскость КРМ пересечет плоскость FED по прямой FH,
параллельной РК. Точка Н лежит на ребре DD
1
, и получается после
построения прямой, параллельной РК и проходящей через точку F.
Четырехугольник РКНМ — искомое сечение.
г) Метод параллельного переноса секущей плоскости. (слайд 13-14)
Суть этого метода состоит в следующем: строится такое вспомогательное
сечение данного многогранника, которое удовлетворяет следующим
требованиям:
1) оно должно быть параллельно секущей плоскости;
2) в пересечении с поверхностью данного многогранника образуется
треугольник.
После этого искомое сечение строится на основании свойств прямых, по
которым две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью.
Задача 10. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE (чертеж 13).
На ее боковых ребрах SA, SB, SE отмечены соответственно точки К, М, Р.
Построить сечение этой пирамиды плоскостью КМР.
Чертеж 13.
Решение. Проводим ВТ || КМ и TR || КР. Получим треугольник TRB,
плоскость которого параллельна плоскости КМР. Строим диагонали AD и АС
основания пирамиды. Получаем точки H = BR X AD и X = BR X АС. Строим
отрезки ТН и ТХ. Через точку К проводим прямые, параллельные
соответственно прямым ТН и ТХ. В пересечении с ребрами SD и SC
получаем точки F и Y, принадлежащие секущей плоскости РМК .
Пятиугольник KPFYM— искомое сечение.
Примечание. При построении сечения методом параллельного переноса
секущей плоскости фактически нет необходимости в построении ряда
прямых. Так, например, достаточно отметить только точки Т, R, Н, X, Y и F
на соответствующих прямых, а проводить прямые ТВ, RT, AD, АС, ТН, НХ,
KY, KF нет никакой практической необходимости.
A
T
B
X
H
R
S
C
D
K
M
Y
F
P
E
V этап. Закрепление материала.
Задача11. Дано изображение призмы АВСDА
1
В
1
С
1
D
1
. На ее ребрах АD, DС и
В
1
С
1
даны соответственно точки К, Р и Н. (чертеж 14). Построить сечение
призмы плоскостью, проходящей через точки К, Р и Н.( методом
следов)(слайд 15)
Чертеж 14.
Решение. В плоскости АВС продолжаем отрезок К.Р до встречи в точках Е и
Р с прямыми ВС и АВ. Точка Е является общей точкой плоскостей АВС,
ВВ
1
С
1
и КРН. Точка F — общая точка плоскостей АВС, АА
1
В
1
и КРН. В
плоскости ВВ
1
С
1
строим прямую ЕН, которая пересекает ребро С
1
С в точке
М, а продолжение B
1
B— в точке Y, которая является общей точкой
плоскостей АА
1
В
1
, ВВ
1
С
1
и КРН. После этого в плоскости АА
1
В
1
строим
прямую YF, которая пересекает ребро А
1
В
1
в точке X, а ребро АА
1
— в точке
Т. Соединяем отрезками точки К, Р, М, Н, X, Т. Получаем искомое сечение
КРМНХТ.
Задача 12.Дано изображение пятиугольной пирамиды SA
1
B
1
C
1
D
1
E
1.
На ее
боковых ребрах A
1
S, B
1
S, C
1
S даны точки А, В, С. Построить сечение
пирамиды плоскостью ABC (чертеж 14). (методом внутреннего
проектирования)(слайд 16)
D
C
C
1
B
1
A
1
D
1
B
A
К
Р
Н
Е
F
Y
Решение. Строим диагонали А
1
С
1
и B
1
D
1
основания пирамиды.
Получаем точку О
1
их
пересечения. Строим прямую SO
1
.
Она пересекает отрезок АС (в
точке О), так как АС и SO
1
лежат в
одной плоскости SA
1
C
1
. Кроме
того, точка О принадлежит
плоскостям ABC и SB
1
D
1
. Поэтому
прямая ВО, принадлежащая тем
же плоскостям, пересекает ребро
SD
1
в точке D, лежащей в
плоскости ABC. Аналогично
строим точку Е пересечения плос-
кости ABC о. ребром E
1
S.
Пятиугольник ABCDE — искомое
сечение.
Чертеж 15
Задача 13. Дано изображение пятиугольной пирамиды SABCDE. На ее
боковых ребрах SA, SB, SC отмечены соответственно точки Р, К и М.
Построить сечение данной пирамиды плоскостью РК.М (чертеж 16).(
методом параллельных прямых)(слайд 17)
чертеж 16
B
1
D
1
B
A
1
C
1
D
O
1
K
1
A
S
E
E
1
O
K
C
R
A
D
C
H
E
L
S
Y
X
B
T
P
M
K
O
F
Решение. В плоскости ABC строим EF || АВ и DH || АВ (точки F и Н лежат на
прямой ВС). Через точки F и Н проводим прямые, параллельные ВS. В
пересечении с прямой КМ получаем соответственно точки Т и О. Строим
параллелограммы RTFE (по вершинам Т, F и Е) и OHDL (по вершинам О, Н,
D). Прямые SB , SE и ER лежат в плоскости, которая пересекается с плос-
костью КРМ по прямой KR. Построив прямую KR, получим точку X, в
которой секущая плоскость пересекается с ребром SE.
Аналогично находим точку Y на ребре SD.
Пятиугольник KPXYM — искомое сечение.
Задача 14. Дано изображение призмы ABCDEA
1
B
1
C
1
D
1
E
1
(чертеж 17). На ее
гранях АВВ
1
А
1
, ВСС
1
В
1
, DEE
1
D
1
даны точки К, Р, М. Построить сечение
призмы плоскостью К.РМ.(методом параллельного переноса секущей
плоскости)(слайд 18)
Чертеж 17
Решение. Строим параллельные проекции К
0
, Р
0
, M
0
данных точек К, Р, М, на
плоскость ABC. Через точку Р
0
проводим прямую, параллельную РМ. Через
полученную точку М
1
(на прямой ММ
0
) проводим прямую, параллельную
A
K
0
B
C
D
L
K
A
1
B
1
X
M
0
M
1
E
1
O
D
1
R
M
P
Y
T
G
E
МК. Она пересекает плоскость ABC в точке G, лежащей на прямой К
0
М
0
(в
качестве точки Р
0
можно было взять любую из точек К
0
, Р
0
, М
0
). Строим
прямую GP
0.
Для построения сечения нам необходимо получить, кроме данных
точек К, Р, М, еще две точки, например, на ребрах ЕЕ
1
и АА
1
. Для этого
строим точки
О = ЕМ
0
X GPо и Т = M
0
A X GP
0
.
Через точку М проводим прямые, параллельные 0М
1
и ТМ
1
,, которые
в пересечении соответственно с ребрами ЕЕ
1
и АА
1
дают точки X и L,
принадлежащие секущей плоскости РКМ. В результате получаем
пятиугольник LYSRX — искомое сечение.
VI этап. Самостоятельная работа.
Ответьте на вопрос: являются ли закрашенные фигуры сечениями
изображенных многогранников плоскостью PQR? И выполните правильное
построение (рис. 6).
Вариант 1.
а) б)
в) г)
д)
Вариант 2.
VII этап. Подведение итогов урока.
Что нового вы узнали на уроке?
Каким образом строятся сечения многогранников?
В чем сущность метода следов ?
В чем сущность метода внутреннего проектирования?
В чем сущность метода параллельных прямых ?
В чем сущность метода переноса секущей плоскости?
VIII этап. Домашнее задание.
Составить четыре задачи на построение сечений многогранников с
использованием полученных знаний.
Список используемой литературы.
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Геометрия, 10-11: учебное пособие для
общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровень. -
М., Просвещение, 2008;
2. Зив Б. Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – М.,
Просвещение, 1997;
3. Мордкович А. Г., Смирнова И. М. Математика, 10 класс.: учебник для
общеобразовательных учреждений. – М., Мнемозина, 2004;
4. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»;
5. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия для 8-9
классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч.
математики. - М.: Просвещение, 1991.
6. Аргунов Б. И. Преобразования плоскости. - М.: Просвещение, 1976.
7. Атаносян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. 1 . Учебное
пособие для физико-математических факультетов педагогических
институтов. - М.: Просвещение, 1986.
8. Бескин Н. М. Изображение пространственных фигур.
9. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Книга для учителя. - М.:
Просвещение, 1985.
10. Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач:
Учеб. пособие для пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1979.
11. Полякова Т.С. Методика обучения геометрии в основной школе:
Учебное пособие для студентов педвузов и педколледжей. - Ростов н/Д:
РГПУ, 2000.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: