Построение графиков функций содержащих знак модуля для учащихся гуманитарного класса

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Построение графиков функций содержащих знак модуля для учащихся гуманитарного класса.

Учитель математики
Восточной гимназии
Дудрова И. А.

График функции у = |х|
а) Если х≥0, то |х| = х функция у = х, т.е. график
совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
б) Если х<0, то |х| = - х и у = - х. При отрицательных
значениях аргумента х график данной функции – прямая
у = -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.

у = |х|

График функции у = - |х|
Получается симметричным отображением графика у = |х| относительно оси х.

у = - |х|

График функции у=|х|+а получается параллельным переносом графика у=|х| в положительном направлении оси у на а единиц отрезка при а>0 и в отрицательном направлении на а единиц при а<0.

График функции у = |х| + а

у = |х| + а

у = |х| - а

у = |х|

График функции у=а|х| получается
растяжением графика у=|х| вдоль оси у в а раз при а>1 и
сжатием вдоль этой оси в 1\а раз при 0<a<1.

График функции у = а|х|

у = а|х|

у = а|х|

у = |х|

График функции у = |x+a| получается параллельным
переносом графика y=|x|
в отрицательном направлении от оси х на |а| при а>0 и
в положительном направлении на |a| при a<0.

График функции у = |х+а|

- а

у = |х+а|

у = |х - а|

у = |х|

Построить график функции у = х² - 4|х| + 3.
1 способ.
Раскрываем |х| = х при х≥0, получаем график у = х² - 4х + 3.
При х<0, |х|= - х, получаем график у = х² + 4х + 3.
Строим кусочно – заданную функцию по алгоритму:
Находим вершину параболы для каждой функции.
Находим точки пересечения каждой параболы с осью х.
Строим параболы по заданным условиям.

2 способ.

2 способ.
Если рассмотрим график у = х² - 4х + 3 при х≥0 и
отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же
самый график.

Для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:

Для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:
1.Построить график функции у = f(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где
f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс.

Построить график функции у = |х² - х -6|

1.Построим график функции
у =х² - х -6

2. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ.

Построить график функции у = |х + 3| + |2x + 1| - x
Строить график будем с помощью раскрытия модуля.
Алгоритм построения:
Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и находим точки, в которых подмодульные выражения, входящие в уравнение функции меняют знак.
Наносим эти точки на ось х и выделяем промежутки, в которых подмодульные выражения сохраняют знак.
Раскрываем модуль на каждом промежутке и получаем соответствующие уравнения функции.
Строим график на каждом промежутке.

Приравниваем каждое подмодульное выражение к нулю и находим точки, в которых происходит смена знака:

у = |х + 3| + |2x + 1| - x

Приравниваем каждое подмодульное выражение к нулю и находим точки, в которых происходит смена знака:
Наносим точки на ось х:

3. При

у = |х + 3| + |2x + 1| - x Построить график функции у = | 2|х | - 3|

Построить график функции у = | 2|х | - 3|
1. Построить у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , |х |>1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5
а) у = 2х - 3 , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
2. Построить у = -2 |х| + 3 , для 2|х | - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5
а)у = -2х + 3 , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

у = | 2|х | - 3|

у = | 2|х | - 3|
1) Построить у = 2х-3, для х>0.
2) Построить прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.
3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые.

у = | х² – 5|х| |

у = | х² – 5|х| |
Построим у = х² – 5 х, для х>0. Вершина параболы в (2,5; -6,25)
Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаем симметрично относительно оси ОХ.
3. Для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

Найти корни уравнения ||x-2|-5| = 3.

Выполняем построение первого (внутреннего) модуля y = |x-2|
Параллельно переносим линии вниз на 5, чтобы получить график функции y = |x-2|- 5
Отражаем все что находится ниже оси абсцисс. Это и будет искомая функция y=||x-2|-5|. Также выполняем построение прямой у=3

Найти корни уравнения ||x-2|-5|=3.

Нетрудно определить по графику, что решениями уравнения с модулями будут значения x = - 6; x = 0; x = 4; x = 10.

Построить график функции у = | (|х| - 2) 2 – 3 |

Строим график функции у = (х - 2) 2 – 3
Совершаем преобразование: для этого часть графика, расположенную левее оси оу стираем.

Построить график функции у = | (|х| - 2) 2 – 3 |

Часть графика, расположенную правее оси оу достраиваем симметрично относительно этой оси. Получаем график функции у = (|х| - 2) 2 – 3

Построить график функции у = | (|х| - 2) 2 – 3 |

Часть графика, расположенную ниже оси ох отображаем симметрично относительно этой оси.

График неравенства | у - 2х -1| + 2|х| ≤ 3

Задача. Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства.
Раскроем модули. Для этого каждое подмодульное выражение приравняем к нулю: у – 2х – 1 = 0; у = 2х + 1
х = 0
Подмодульные выражения меняют знак при переходе через прямые у = 2х + 1 и х = 0.

Выводы:

Для построения графика функции у = f |(х)|:
1.Построить график функции у = f(х) для х>0;
2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.
Для построения графика функции у = | f(х) |
1.Построить график функции у = f(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.
Для построения графика функции у = | f |(х)| |
1. Построить график функции у = f(х) для х>0.
2. Строим вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражаем относительно ОУ
3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.