Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Построение графиков функций" 9 класс

1
Юдин Андрей Борисович
учитель информатики МКОУ Плесской СОШ
Приволжского р-на, Ивановской обл.
Урок информатики в 9 классе «Построение графиков функций»
После рассмотрения темы «Движение по окружности» целесообразно, на мой
взгляд, рассмотреть вопрос о построении графиков функций. А так же совершить
небольшой экскурс в мир приближенных вычислений, показать, как можно решать
уравнения и системы уравнений составив программу на языке PascalABC.
На эту тему я отвожу два урока:
1. Построение графика функции при помощи программы на языке PascalABC.
2. Использование программы строящей график для решения уравнений и систем
уравнений.
При рассмотрении вопроса о построении графиков при помощи системы
программирования PascalABC необходимо начать с математической модели. У учащихся
должно сложиться четкое понимание того, как компьютер строит график. Сам алгоритм
здесь не сложный, это цикл с предусловием и процедуры (даже без параметров).
Сложность возникает при построении математической модели. Так что часть слайдов в
презентации пришлось посвятить именно математической модели построения графика.
Урок № 1.
Построение графика функции при помощи программы на языке PascalABC.
Слайд 1. Вопрос о построении графика начнем с того, что график будет строиться по
точкам. Мы будем брать при помощи цикла координату Х и вычислять по формуле Y.
Здесь возникает небольшая проблема: размеры формы 640х400 (стандартные), у меня
800х600, а область значений функции косинуса или синуса [-1 ; 1]. Так, что график
просто сольется с осью ОХ. Что и показано на этом слайде. Эту проблему можно решить,
увеличив график. Возникает необходимость вспомнить или изучить материал о
преобразованиях графиков. К сожалению, в учебнике Ю.Н. Макарычева «Алгебра 9
класс: учебник для общеобразовательных учреждении» данный материал рассматривается
не полностью, основная часть остается на 10 класс. Поэтому на первых слайдах
презентации будет подробно рассмотрены вопросы преобразования графиков.
Слайд 2. Показан график функции y=cos x, увеличенный в 50 раз. То есть один
единичный отрезок на экране состоит из 50 пикселей.
Слайд 3. Показан график функции y=cos x, увеличенный в 100 раз. То есть один
единичный отрезок на экране состоит из 100 пикселей.
Слайд 4. Показан пример преобразования графика y=cos x, (Рассмотрены
xy cos
2
1
и y=3 cos x) . Построение выполнено в программе Advanced Grapher 2.2. На этом слайде
хорошо видно, что происходит с графиком при умножении функции на число большее 1 и
меньшее 1. Нам в дальнейшем предстоит растягивать (увеличивать) график по оси ОХ.
Слайд 5. Показано правило: Для построения графика функции y = k f(x) необходимо
график функции y = f(x) растянуть в k раз вдоль оси ОY для k >1 или сжать в 1/k раз
вдоль оси OY для k<1.
Слайд 6. Показан пример преобразования графика y=cos x, (Рассмотрены
xy
2
1
cos
2
и y=cos 3x) . Построение выполнено в программе Advanced Grapher 2.2. На этом слайде
хорошо видно, что происходит с графиком при умножении аргумента на число большее 1
и меньшее 1. Нам в дальнейшем предстоит растягивать (увеличивать) график по оси ОY.
Слайд 7. Показано правило: Для построения графика функции y = f(k x) необходимо
график функции y = f(x) сжать в k раз вдоль оси ОХ для k >1 или растянуть в 1/k раз вдоль
оси OХ для k<1
Слайд 8. Так как ось OY, графического окна, направлена вниз. То график окажется
«перевернутым». Что бы вернуть его в нормальное, как мы привыкли видеть, состояние,
необходимо напомнить еще одно правило из математики: умножение функции на -1
отражает график симметрично относительно оси ОХ.
Слайд 9. Показан вид формулы, которую мы будем использовать при вычислении Y.
Умножение всей функции на некоторое число –m растянет (увеличит в m раз) по оси OY и
отразит (перевернет) график относительно оси OX. Деление на m или умножение на
m
1
аргумента функции растянет (увеличит в m раз) график по оси OX.
Слайд 10. На слайде показана необходимость выполнения параллельного переноса начала
координат и формулы для этого. Так как графическое окно среды PascalABC первая
четверть прямоугольной системы координат, ось Y которой направлена в низ.
Слайд 11. На данном слайде показано как создаются вертикальные линии сетки. Если бы
в программе не было предусмотрено увеличение графика на некоторое число m, или это
число было постоянным, то линии можно было рисовать с лева на право, используя цикл с
параметром. При этом одна из линий совпала бы с осью OY.Если m будет изменяться, то
может случиться, так что шаг вертикальных линий не совпадет с осью OY. Можно
подвинуть саму ось, но тогда она будет не по центру графического окна. Я предлагаю,
несколько усложнив алгоритм, рисовать линии от центра одновременно в лево и в право.
Для этого используем цикл с предусловием, повторять до края графического окна. И в нем
будем изменять две переменные. Какой бы m мы не брали ось OY будет всегда в центре
графического окна.
Слайд 12. На том же самом принципе основано и рисование горизонтальных линий. Их
рисуем так же от середины графического окна вниз и вверх одновременно.
Слайд 13. С этого слайда мы начинаем разбирать программу рисования графика. На
данном слайде показана описательная часть программы (раздел описания переменных и
подключение дополнительных модулей). А так же показана процедура рисования линий
сетки. В нее нужно вставить фрагменты, разобранные на слайдах 11, 12. Учащиеся могут
сделать это самостоятельно.
Слайд 14. Показаны процедура рисования осей и функция, график которой будем
строить.
Слайд 15. Показана процедура, в которой изменяется Х, вычисляется Y. Преобразуются
для новой системы координат, и рисуется точка графика красным цветом.
Слайд 16. Показана основная часть программы. В ней блок команд для подготовки
графического окна. Вызываются процедуры рисования сетки и осей координат.
Устанавливаются начальные значения Х и шага. Организуется цикл с предусловием, в
котором вызывается процедура вычисления и рисования точки графика.
Слайд 17. Показаны различные графики, построенные при помощи этой программы.
Урок № 2.
Программа, иллюстрирующая решение уравнений и систем уравнений
графическим способом.
Слайд 18. Иллюстрируется математический факт, что при переходе через ось OX, знак
функции (значение Y) меняется на противоположный. Его мы будем использовать для
3
приближенного решения уравнений. Собственно идея решения заключается в следующем.
Мы запоминаем предшествующую точку (значение Y) и сравниваем ее знак с очередной
точкой. Если они разного знака, то это означает, что мы перешли через ось ОХ. И это
значение Х – приближенно корень данного уравнения. Приближение в данном случае
будет зависеть от шага с которым будет изменяться Х.
Слайд 19. Показано, какие изменения нужно внести в программу, что бы она решала
уравнения.
Слайд 20. Показан пример решения неполного квадратного уравнения аналитически и
при помощи этой программы. Здесь необходимо рассказать учащимся что результаты,
полученные при помощи такой программы, будут почти всегда приближенными. Но
бывают случаи, когда уравнение трудно решить аналитически и на помощь приходят
приближенные методы вычисления корней уравнения.
Слайд 21. Показано как в одной программе описать две функции.
Слайд 22. Показаны изменения, которые нужно внести во вторую процедуру вычисления
значений Х и Y. (Отключим при помощи знака комментарий ( // ) строку изменения Х во
второй процедуре)
Слайд 23. Показано как в нутрии цикла разместить две процедуры вычисления значений
Х и Y
Слайд 24. Показан скриншот работающей программы и какие изменения нужно внести в
программу, для запоминания предшествующего значения Y.
Слайд 25. Показано условие, в котором сравниваются значения Y, рисуются точки
пересечения и их проекции на оси координат.
Слайд 26. Скриншот программы изображающей точки пересечения двух графиков.
Слайд 27. Список используемой литературы и интернет источников.
В качестве заключения…
Сразу нужно предупредить детей, какой класс задач (типы уравнений и неравенств)
можно решать при помощи этой программы. Например, система:
42
7
yx
yx
не имеет целых решений.
Решив систему сложением, получим:
3
2
3
113
42
7
x
x
yx
yx
Найдем y:
, отсюда
3
1
3
3
2
3
y
x
Это точный ответ.
Если записать десятичной дробью, то получим х=3,66666666….
Переведем в десятичную дробь y=3,33333333…
4
3,3
7,3
y
x
Это приближенный ответ.
Решим эту систему на компьютере, при помощи нашей программы.
Для начала выразим в обоих уравнениях y.
42
7
xy
xy
Получили две функции, где зависимой переменной будет y, а независимой x. Подставим
их в нашу программу и получим следующий результат.
Если в вычислениях точность особой роли не играет, то можно записать ответы:
4,3
7,3
y
x
В данном примере уравнение определяет функцию. Но можно привести пример, когда при
помощи этой программы решить систему невозможно.
456
5
22
yx
yx
График первого уравнения – окружность. И построить ее при помощи нашей программы
невозможно.
В качестве дополнительного задания можно дать творческую работу «Чем отличается
уравнение от функции» или что-то в этом роде…
В качестве начала к исследованию, предлагаю посмотреть ролик на Youtube в котором
наглядно объясняется различие между уравнением и функцией
http://www.youtube.com/watch?v=pju8Ny4cSEg
.
5
Список используемой литературы.
1. А.Н. Адаменко. Pascal на примерах из математики. БХВ-Петербург, 2005 г
2. С. В. Филичев. Занимательный Basic. Москва: ЭКОМ. 1997 год.
3. М.В. Мозговой Занимательное программирование. Самоучитель. Издательский
дом Питер. 2005. (Книгу можно читать on-line по ссылке:
http://padabum.com/d.php?id=35055)
4. А.В. Погорелов. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных
учреждений. М: Просвещение, 2000 г.
5. Ю.Н. Макарычев. Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразовательных
учреждении. М:Просвещение, 2007 г.
Скачать материал

Информатика - еще материалы к урокам: