Презентация "Невероятное вероятно (теория вероятностей)" 9 класс


Подписи к слайдам:
Теория вероятности и комбинаторные правила для решение задачи ЕГЭ В10

Невероятное вероятно

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья дух,

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг!

  • Здесь не будет такой математической строгости, как в учебнике;
  • Многие понятия дадим на интуитивном уровне;
  • Самое главное – это практика (т.е. решение задач)

События и их вероятности

(Решение задач по теме: «Классическая вероятность»)

Немного теории

  • Есть такие опыты, у которых заранее нельзя предугадать их результаты. Результаты такого опыта называются событиями.
  • Пример: выбрасывается игральный кубик (опыт); выпадает двойка (событие).

Событие, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Есть ещё случайные.

Пример: В мешке лежат три картофелины.

Опыт – взять овощ из мешка.

Достоверное событие – изъятие картофелины.

Невозможное событие – изъятие кабачка.

Свойства вероятности

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице: Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю: Р(А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей: 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

Как определить вероятность события?

Р – вероятность

n – число всевозможных исходов

m – число благоприятных исходов

Р =

n

m

В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, 5 − из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Решение.

Всего участвует 20 спортсменок,

из которых 5 спортсменок из Китая.

Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая, равна

20

5

В случайном эксперименте монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение.

Всего 4 варианта:  о; о    о; р    р; р    р; о.    

Благоприятных 2:   о; р  и р; о.  

Вероятность равна

2

1

В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение:

1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.

Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна

995/1000 = 0,995.

Ответ: 0,995.

Решение:

100 + 8 = 108 – сумок всего (качественных и со скрытыми дефектами).

Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 100/108 = 0,(925) ≈ 0,93.

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,93.

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов − первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Ответ: 0,16.

Решение:

В последний день конференции запланировано

(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.

Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Ответ: 0,36.

Решение:

Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.

Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза.

«О» – орел, «Р» – решка.

Итак, всего исходов получилось 8,

нужных нам – 1, следовательно,

вероятность выпадения нужного

исхода 1/8 = 0,125.

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"?

Ответ: 0,125.

«Марс»

«Юпитер»

«Уран»

О

О

О

О

О

Р

О

Р

О

О

Р

Р

Р

О

О

Р

О

Р

Р

Р

О

Р

Р

Р

Решение.

В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:

2 и 6

6 и 2

3 и 5

5 и 3

4 и 4

Всего 5 вариантов. Подсчитаем количество исходов (вариантов), в которых при первом броске выпало 2 очка.

Такой вариант 1.

Найдем вероятность:   1/5 = 0,2.

Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

Ответ: 0,2.

Решение.

При условии, что у Тоши выпало 3 очка, возможны следующие варианты:

3 и 1

3 и 2

3 и 3

3 и 4

3 и 5

3 и 6

Всего 6 вариантов. Подсчитаем количество исходов, в которых Гоша не выиграет, т.е. наберет 1, 2 или 3 очка.

Таких вариантов 3.

Найдем вероятность:   3/6 = 0,5.

Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет.

Ответ: 0,5.

Решение:

Всего команд 20, групп – 5.

В каждой группе – 4 команды.

Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам – 4, значит, вероятность выпадения нужного исхода 4/20 = 0,2.

В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:     

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе.   

Ответ: 0,2.

Решение: Обозначим право владения первой мячом команды «Физик" в матче с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Решка». Итак, запишем все возможные исходы бросания монеты три раза в таблице:

«О» – орел, «Р» – решка.

Итак, всего исходов получилось 23 = 8, нужных нам – 3,

следовательно, вероятность выпадения нужного исхода равна:

3/8 = 0,375.

Ответ: 0,375.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

Ф/1

ОР

ОР

ОР

ОР

РО

РО

РО

РО

Ф/2

ОР

ОР

РО

РО

ОР

ОР

РО

РО

Ф/3

ОР

РО

ОР

РО

ОР

РО

ОР

РО

Решение:

В сумме должно выпасть 5 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации:

1 и 4

4 и 1

2 и 3

3 и 2

Всего 4 варианта.

Ответ: 4.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

Решение:

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (Д – Дания, Ш –Швеция, Н – Норвегия):

Д − Ш − Н

Д − Н − Ш

Ш − Н − Д

Ш − Д − Н

Н − Д − Ш

Н − Ш − Д

Дания находится после Швеции и Норвегии в двух случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна

Р = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33

Ответ: 0,33.

На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

Решение:

Из 5000 тысяч новорожденных 5000 − 2512 = 2488 девочек. Поэтому частота рождения девочек равна:

2488/5000 = 0,4976 ≈ 0,498

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Ответ: 0,498.

Решение:

Пусть один из близнецов находится в некоторой группе.

Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников.

Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна

P = 12 : 25 = 0,48.

В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Ответ: 0,48.

Решение:

Частота (относительная частота) события «гарантийный ремонт» равна

51 : 1000  = 0,051.

Она отличается от предсказанной вероятности на

0,051 – 0,045 = 0,006.

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Ответ: 0,006.

Решение:

На циферблате между десятью часами и одним часом три часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.

Поэтому искомая вероятность равна:

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Ответ: 0,25.

Методы теории вероятностей нашли своё отражение в жизни:

  • Рассчитать количество машин скорой помощи и врачей в условиях мегаполиса;
  • При расчётах всяких рисков (прибыль, потери, азартные игры);
  • При подсчитывании популяции животных
  • …………………

Итог, пожалуй, очевиден!

Он виден вам и мне он виден:

Среди хитросплетений разных

Найти вероятность – это праздник.

Не бойся совершать ошибки,

Они - познания улыбки.

Исправив их, пойдешь вперед,

А впереди - удача ждет.

И если смог вас научить,

Себя могу я похвалить.

А научились вы чему–то,

Не зря потрачены минуты

Используемые материалы

  • http://mathege.ru/or/ege/Main.html − Материалы открытого банка заданий по математике
  • http://reshuege.ru/ − Сайт Дмитрия Гущина