Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла"

Тема: «Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного
интеграла»
Тип урока: комбинированный.
Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.
Задачи:
• закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических
фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
• познакомиться с понятием объемной фигуры;
• научиться вычислять объемы тел вращения;
• способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи,
аккуратности при построении чертежей;
• воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и
образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении
конечного результата.
Ход урока
I. Организационный момент.
Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.
– Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все.
Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он
спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам
думает: “Скажет живая – я ее у мертвлю, скажет мертвая – выпущу”. Мудрец, подумав,
ответил: “Все в твоих руках”.
– Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и
полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической
деятельности. “Все в Ваших руках”.
II. Повторение ранее изученного материала.
– Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним
задание “Исключите лишнее слово”.
(Студенты говорят лишнее слово.)
– Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим
словом. (Интегральное исчисление.)
– Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..
Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает маркером
необходимые слова.)
Работа в тетрадях.
– Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и
немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь
математика – язык, на котором говорит сама природа.
– Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.
Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение: Построим на координатной плоскости графики функций .
Выделим площадь фигуры, которую надо найти.
III. Изучение нового материала.
– Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (На рисунке
представлена плоская фигура.)
– Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (На рисунке
представлена объемная фигура.)
– В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими
фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например: объем
планеты, кометы, метеорита, и т.д.
– Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой.
Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько
они были точны и обоснованы.
1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном
Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки
и хотели знать, как практически определить их объёмы.
– Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку
исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И.
Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика
переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических
знаний.
– Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,
Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного
интеграла”.
– Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.
“Лабиринт”.
Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.
IV Вычисление объемов.
При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в
частности, тела вращения.
Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг
ее основания (рис. 1, 2)
Объем тела вращения вычисляется по одной из формул:
1. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОХ.
2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.
Студенты записывают основные формулы в тетрадь..
– Преподаватель объясняет решение примеров на доске.
1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной
трапеции, ограниченной линиями: x
2
+ y
2
= 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Решение.
Ответ : 1163 cm
3
.
2. Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси
абсцисс y = , x = 4, y = 0.
Решение .
V. Математический тренажер.
2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется
А) неопределенным интегралом,
Б) функцией,
В) дифференциацией.
7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной
трапеции, ограниченной линиями:
Д/З. Закрепление нового материала
Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y =
x
2
, y
2
= x.
Решение:
Построим графики функции. y = x
2
, y
2
= x. График y
2
= x преобразуем к виду y = .
Имеем V = V
1
– V
2
Вычислим объем каждой функции:
Вывод:
• Определенный интеграл – это некоторый фундамент для изучения математики,
которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.
• Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией,
экономикой и техникой.
• Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с
этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального
образования!
VI. Выставление оценок. (С комментированием.)
Великий Омар Хайям – математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами
своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:
Ты скажешь, эта жизнь – одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она – твоё творенье.
Скачать материал

Педагогика - еще материалы к урокам: