Ученики на Учителя.com


Открытый урок "Применение определенного интеграла для вычисления геометрических и физических величин" 11 класс

1
ОТКРЫТЫЙ УРОК
В 11 КЛАССЕ
Тема:
«Применение определенного интеграла для вычисления
геометрических и физических величин»
Цель урока:
Показать применение интеграла в решении задач на
нахождение объемов тел вращения, решении
физических задач.
Ход урока.
1. Организационный момент. Класс разбивают на группы. Каждая группа получает
текст с задачами.
2. Повторение ранее изученного.
а) Вычисление объемов тел
Пусть задано тело объемом V,
причем имеется такая прямая, что,
какую бы плоскость,
перпендикулярную этой прямой, мы
ни взяли, нам известна площадьS
сечения тела этой плоскостью. Но
плоскость, перпендикулярная оси Ох
пересекает ее в некоторой точке х.
Следовательно, каждому числу
x
[a;b] поставлено в соответствие
единственное число S(x) – площадь
сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [a;b] задана функция
S(x).Если функция S непрерывна на отрезке [a;b], то справедлива
формула
b
a
dxxSV )(
Разобьем отрезок [a;b] на n отрезков равной длины точками
x = a
x
1
x
2
…
x
n-1
b = x
n
, и пусть
x =
,
k = 1, 2, …,n
Через каждую точку x
k
проведем плоскость, перпендикулярную оси 0х. Эти плоскости
разрезают заданное тело на слои.
2
Объем слоя, заключенного между плоскостями
1k
и
k
, при достаточно больших n
приближенно равен площади S(x
k-1
) сечения, умноженной на «толщину слоя» x, и
поэтому V
nno
VxxSxxSxxS
)(...)()(
11
Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые
порезано тело, т.е. чем больше n. Поэтому V
n
V при n

. По определению интеграла
V
n
b
a
dxxS )(
при n

.
Пример 1.
Доказать, что объем усеченной пирамиды с высотой Н и с площадями оснований S
и s равен
)(
3
1
SssSHV
Доказательство.
Пусть точка О – вершина «полной»
пирамиды. Ось 0х перпендикулярна
основанию пирамиды. Основания
усеченной пирамиды пересекают ось 0х
в точках a и b. Каждая плоскость,
перпендикулярная оси 0х и
пересекающая отрезок [a;b]этой оси в
точке х дает в сечении многоугольник,
подобный многоугольнику – основанию
пирамиды. Поэтому площадь сечения
S(x) = kx
2
S = S(a) = ka
2
и S = S(b) = kb
2
)(
3
)(
3
)(
33
2233
3
2
SSsS
H
kakabkb
ab
ab
kkx
dxkxV
b
a
b
a
.
Пример 2.
Пусть криволинейная трапеция опирается на отрезок [a;b] оси 0х и ограничена
сверху графиком функции f, неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b].
При вращении этой криволинейной
трапеции вокруг оси 0х получаем тело,
объем которого находится по формуле
dxxfV
b
a
)(
2
Действительно, каждая
плоскость, перпендикулярная оси 0х и
пересекающая отрезок [a;b] этой оси в
точке х, дает в сечении с телом круг радиуса
f(x)и площади S(x) =
f
2
(x) . Отсюда по
формуле
dxxfVdxxSV
b
a
b
a
)()(
2
3
б) Работа переменной силы
Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием силы P по прямой.
Если действующая сила постоянна и направлена вдоль прямой, а перемещении равно S, то
работа А этой силы равна произведению Ps.
Выведем формулу для подсчета работы, совершаемой переменной силой.
Пусть точка движется по оси 0х под действием силы, проекция которой на ось 0х
есть функция f от х. При этом будем полагать, что f есть непрерывная функция. Под
действием этой силы материальная точка переместилась из точки М(а) в точку М(b).
Покажем, что в этом случае работа А подсчитывается по формуле
dxxfA
b
a
)(
. Разобьем
отрезок [a;b] на n отрезков одинаковой длины x =
n
ab
Это отрезки
[a;x
1
]; [x
1
;x
2
];…; [x
n-1
;b]
Работа силы на всем отрезке [a;b] равна сумме работ этой силы на полученных
отрезках. Так как f есть непрерывная функция от х, при достаточно малом отрезке[a;x
1
]
работа силы на этом отрезке приблизительно равна f(a) [x
1
-a] . Мы пренебрегли тем, что f
на отрезке меняется. Аналогично работа силы на втором отрезке [x
1;
x
2
] приближенно
равна f(x
1
)( x
1
-x
2
) и т.д.; работа силы на отрезке приближенно равна. Следовательно,
работа силы на n-м отрезке приближенна равна f(x
n-1
)( b-x
n-1
). Следовательно, работа силы
на всем отрезке [a;b] приближенно равна:
))(...)()(()(...)()(
1111
nnn
xfxfaf
n
ab
xxfxxfxafAA
и точность приближенного равенства тем выше, чем короче отрезки, на которые
разбит отрезок[a;b]. Это равенство переходит в точное, если считать, что n

.
Аxfxfaf
n
ab
A
nn
))(...)()((
11
Т.к.
b
a
n
n
dxxfA )(lim
, то формула выведена.
0 а b х
М(а) М(b)
0 а
=
х
о
х
1
х
2
х
n-1
b
=
х
n
М(а) М(b)
х
4
Пример 3
Сила упругости пружины, растянутой на 5 см, равна 3Н. Какую работу надо
произвести, чтобы растянуть пружину на 5 см?
Решение.
По закону Гука сила F , растягивающая пружину на величину х, вычисляется по
формуле F = kx, где k – постоянный коэффициент пропорциональности, точка 0
соответствует свободному положению пружины.
Из условия задачи следует, что 3 = k
.
0,05
k=60 и F=60х.
.075,03060
05,0
0
05,0
0
2
ДжxхdxA
в) Центр масс.
При нахождении центра масс пользуются следующими правилами:
1) Координата х
центра масс системы материальных точек А
1
, А
2
. …, А
n
с массами
m
1
, m
2
, …, m
n
, расположенных на прямой в точках с координатами х
1
, х
2
, …, х
n
,
находится по формуле:
х
=
111
n2211
m...mm
m...mm
n
xxx
2) При вычислении координаты центра масс можно любую часть фигуры заменить на
материальную точку, поместив ее в центр масс этой части, и приписать ей массу,
равную массе рассматриваемой части фигуры.
Пример 4.
Пусть вдоль стержня – отрезка [a;b].оси 0х – распределена масса плотностью
(х), где
(х) непрерывная функция. Покажем, что:
а) суммарная масса стержня
b
a
dxxM )(
б) координата центра масс х
=
b
a
dxxx
M
)(
1
Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками a=x
о
x
1
x
2
…
x
n
= b
На каждом из n этих отрезков плотность можно считать при больших n постоянной
и примерно равной
(х
k-1
) на k-м отрезке (в силу непрерывности
(х)).
Тогда масса k-го отрезка примерно равна
0
х
0
х
х
0 а=х
о
х
1
х
2
х
n-1
b- х
n
М(а) М(b)
х
5
)(
1
kk
x
n
ab
m
, а масса всего стержня равна
n
ab
(
(х
о
)+
(х
1
)+…+
(х
n+1
))
Считая каждый из n маленьких отрезков материальной точкой массы
k
m
,
помещенной в точке
1k
x
, получим по формуле, что координата центра масс
приближенно находится так:
))(...)()((
))(...)()((
11
1111
no
nnoo
n
xxx
n
ab
xxxxxx
n
ab
x
При n

. Числитель стремится к
b
a
dxxx )(
, а знаменатель (выражающий массу
всего стержня) к интегралу
b
a
dxx)(
.
Решение задач по группам.
Каждая группа получает 2 задачи: одну по физике и одну по геометрии.
Затем идет обзор решений задач. Оценивается работа групп.
Подводится итог урока.
Задачи по геометрии.
1) Найти объем конуса, имеющего радиус основания R и высоту H.
Решение.
f(x) = kx
k = tg =
H
R
H
Rx
xf )(
HR
H
xR
dx
H
xR
dxxfV
HHH
2
0
2
32
0
2
22
0
2
3
1
3
)(
2) Найти объем шара радиуса R.
F(x) =
22
xR
33
3
3
3
3
3
2
22
2
22
4
3
3
4
)
33
(
)
3
(
)()(
RR
R
R
R
R
x
xR
dxxRdxxRV
R
R
R
R
R
R
6
3) Найти объем усеченного конуса высотой H и с радиусами оснований R и r.
f(x) = kx+b; b=r
k =
H
rR
rx
H
rR
xf
)(
)(
3
)3332(
3
)
3
2
()
3
)(
)2)(()()(
22222
2
223
2
22
0
22
3
2
2
0
22
0
2
0
2
rRrR
H
rrRrrRrR
H
HrHr
H
rR
H
H
rRrR
xrxr
H
rRx
H
rR
dxrxr
H
rR
x
H
rR
dxrx
H
rR
dxxfV
H
HHH
4) Найти формулу объема шарового сегмента радиуса R и высоты H.
Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
F(x) =
22
xR
)3(
3
)
3
(
)
33
3
3
3
33
(
)
3
)(
)(
3
(
)
3
()(
23
2
3223
23
3
3
3
2
3
3
3
222
HR
HH
RH
HRHHRR
HRR
R
R
HR
HRR
R
R
x
xRdxxRV
R
HR
R
HR
5) Найти объем цилиндра с высотой Н и радиусом основания R.
f(x) =R
V =
HRxRdxR
b
a
2
4
0
22
f (x)
R
H
x
7
Список групп
1 группа
2 группа
3 группа
4 группа
5 группа
Задачи для групп по физике
№1
Скорость поезда, движущегося под уклон, задана уравнением v(t) = 15+0,2t.
Вычислите длину уклона, если поезд прошел его за 15 секунд.
№2
Материальная точка движется по прямой со скоростью, обратно пропорциональной
пройденному пути. В начальный момент времени она находилась на расстоянии 4м
от начала отсчета и имела скорость 2 м/с. Чему равен пройденный ею путь за 6 с
после начала движения и какова его скорость в конце этого пути?
№3
Сила в 2Н растягивает пружину на 6 см. Какую работу нужно произвести, чтобы
растянуть эту пружину на 10 см?
№4
Скорость автомобиля при торможении выражается формулой v(t) = 18-1,2t.
Вычислите путь, пройденный автомобилем, если он останавливается через 15
секунд после начала торможения.
№5
Сила в 4 Н сжимает пружину на 4 см. Какую работу нужно произвести, чтобы
сжать пружину на 2 см?
№6
Какую работу надо затратить, чтобы переместить отрицательный единичный заряд
из т.В в т.С? В точке А расположен положительный заряд 260 Кл. АВ = 5 см, ВС =
8 см.
№7
Однородный стержень длиной l = 20 см вращается в горизонтальной плоскости
вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец. Угловая скорость вращения
w = 10
c
-1
. площадь поперечного сечения стержня S = 4 см
2
, плотность материала,
из которого изготовлен стержень, равна
3
3
108,7
м
кг
. Найдите кинетическую
энергию стержня.
№8
А В С
8
Какую работу надо затратить на сжатие пружины на 4 см, если известно, что сила в
2Н сжимает эту пружину на 1 см?
№9
Под действием электрического заряда величиной q электрон перемещается по
прямой с расстояния а до расстояния b . найти работу силы взаимодействия
зарядов. Коэффициент пропорциональности в законе Кулона k=
2
2
9
109
Кл
нм
Задачи для групп по геометрии
№1
Найти объем конуса, имеющего радиус основания R и высоту Н.
№2.
Найти объем шара радиуса R.
№3
Найти объем усеченного конуса с высотой Н и радиусами оснований R и r.
№4.
Найти объем шарового сегмента радиуса R и высотой Н. (Шаровым сегментом
называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью).
№5.
Найти объем цилиндра с высотой Н и радиусом основания R.
Скачать материал

Геометрия - еще материалы к урокам: