Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Геометрические приложения определённого интеграла"

Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
1
Конспект учебного занятия по дисциплине ЕН.01. Математика
специальности 080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)
Тема занятия «Геометрические приложения определённого интеграла»
Вид занятия комбинированный урок, 2 часа
Цели и задачи занятия:
Ознакомить студентов с геометрическими приложениями определённого
интеграла, научить применять введённые понятия и формулы при решении практических
задач, закрепить умение построения графиков элементарных функций и вычисления
определённого интеграла при нахождении площадей плоских фигур.
Способствовать развитию умения сравнивать, анализировать, обобщать, делать
выводы. Развивать навыки поисково-исследовательской деятельности при решении
практических задач, самоконтроля и взаимоконтроля, отрабатывать навыки работы в малой
группе.
Формировать общие и профессиональные компетенции по данной специальности
согласно ФГОС.
Воспитывать познавательную активность, чувство коллективизма, поддерживать
интерес к предмету, в частности при выполнении домашнего задания по группам.
Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, частично – поисковый.
Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная,
самопроверка, групповая.
Оборудование: компьютер, медиапроектор, экран.
Наглядный материал: слайд вычисления определённых интегралов для проверки
домашнего задания, слайды теоретического материала по теме, раздаточный материал для
выполнения самостоятельных заданий, карточки для выполнения домашнего задания по
группам, индивидуальные оценочные листы.
I. Организационный момент - проверка готовности группы к занятию.
II. Объявление целей и задач урока.
Вступительное слово преподавателя: Мы продолжаем изучение темы «Интегральное
исчисление функции одной действительной переменной». Вы знакомы с понятиями
первообразной, неопределённого и определённого интеграла; с методами вычисления
интегралов: табличным, заменой переменной интегрирования, интегрированием по частям;
формулой Ньютона-Лейбница. Сегодня на занятии мы рассмотрим приложения
определенного интеграла в геометрии, научимся находить площади плоских фигур с
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
2
помощью определённого интеграла. Спектр применения определённого интеграла
значительно шире, о его применении в физике и технике вы узнаете, получая высшее
образование. Прежде чем приступить к изучению нового материала, проверим домашнее
задание.
III. Проверка домашнего задания.
На экране демонстрируются выполненные преподавателем задания домашней работы
на слайдах 2-6. Студенты проверяют в своих тетрадях правильность выполнения и в
оценочном листе за домашнюю работу ставят себе объективную оценку. (8, 9 правильно
вычисленных интегралов - оценка 3; 10,11 интегралов - оценка 4; 12 интегралов - оценка 5).
Преподаватель отвечает на возникающие при проверке домашнего задания вопросы.
Задание 1. Вычислить определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.
1)
.
5
1
5
1
0
1
0
5
4
x
dxx
4)
.
2
1
2
0
1
2
0
1
2
2
ee
dxe
x
x
2)
5)
.2lnln
2
1
2
1
x
x
dx
3)
4
1
4
1
3
3
2
4
3
2 x
dxx
6)
2
0
2
0
04cos
4
1
4sin
xxdx
Задание 2. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной
интегрирования.
1)
3
2
8
3
1
9
32
1
2
7
7
4
22
9
1
3
9
1
2
2
t
dtt
xdxdt
xt
dxxx
2)
9
1
6
1
18
1
2
1
2
1
4
12
)12(
2
2
1
9
3
9
3
2
2
22
t
t
dt
dtxdx
tx
x
xdx
3)
2
1
)1
2
1
(
2
1
cos
sin
)(sin
cos
2
4
1
2
2
2
1
2
2
33
tt
dt
xdxdt
xt
x
xdx
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
3
Задание 3. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям.
1)
9
12
9
1
939
ln
33
ln
3
3
ln
ln
333
1
3
1
3
1 1
2
1
3
3
2
2
eeex
x
x
dx
x
x
x
x
v
x
dx
du
dxxdv
xu
xdxx
ee
e e
e
e e
e
dxxx
x
v
x
dx
xdu
dxdv
xu
xdx
1 1
1
2
3
2
2
ln2ln
3
ln2
ln
ln)2
e
e
e
eeedxxx
xv
x
dx
du
dxdv
xu
xdx
1
1
1
1)1()1ln1ln(ln
ln
ln
22)1ln1ln(
22
eee
8
1
8
1
8
1
8
1
13
3
2
13
3
2
13
3
2
13
3
2
3
1
3
13
13
13
13
)3 x
x
dxxx
x
x
t
dt
dxdt
xt
x
dx
v
dxdu
x
dx
dv
xu
x
xdx
8
27
216
27
32
125
27
4
3
4
5
3
16
)13(
27
4
8
1
3
x
IV. Изложение нового материала.
Изложение материала сопровождается показом слайдов. Студенты записывают
основные понятия и формулы в тетрадь, делают чертежи.
1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
Как уже было установлено при рассмотрении на последнем занятии геометрического
смысла определённого интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
4
непрерывной и неотрицательной на [а; в] функцией y=f(x) равна соответствующему
определённому интегралу
S=
b
a
dxxf )(
(слайд 7).
Отметим, что при условии y= f(x) непрерывная
функция, f(x)<0 на [а; в],
площадь криволинейной трапеции может быть
найдена по формуле
S=
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
(слайд 8).
Если y= f(x) непрерывная функция на [а; с], y= g(x)
непрерывная функция на [с; в], где с є [а; в], то
S=
с
a
b
c
dxxgdxxf )()(
(слайд 9).
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой
2
xy
, прямыми
x=1, x=3 и осью Ох.
Студенты самостоятельно делают чертёж в тетрадях, затем проверяют по слайду 10.
Вычисляют по формуле площадь получившейся криволинейной трапеции. Ответ
проверяется при опросе.
S=
3
3
3
1
2
x
dxx
3
1
=
=
3
2
8
3
26
3
1
3
27
(кв.ед.)
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
5
2. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f(x)и y=g(x), прямыми x=a, x=b при
условии f(x)≥g(x) по формуле
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfS ))()(()()(
(слайд11)
Если y=f(x), y= g(x) непрерывные
функции на [а; в], f(x)≥g(x) на [с; в], где с є [а;
в], f(x)≤ g(x) на [а; с], то
dxxgxfdxxfxgS
b
c
c
a
))()(())()((
(слайд
12).
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1,3
2
xyxy
При фронтальном опросе выясняем: графиком функции y=x+3 является прямая,
проходящая через точки (-3;0), (0;3); графиком функции
1
2
xy
является парабола,
полученная из параболы
2
xy
переносом вдоль оси Оу на один ед. отрезок вверх.
Студенты самостоятельно делают чертёж в тетрадях, затем проверяют по слайду 13.
Обсуждается алгоритм нахождения площади полученной фигуры. При нахождении пределов
интегрирования возникает проблема: как записать точные значения, если чертёж может быть
выполнен неточно. Студенты приходят к выводу: необходимо найти абсциссы точек
пересечения графиков функций
1,3
2
xyxy
, самостоятельно находят их в тетрадях.
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
6
02
31
2
2
xx
xx
x
1+
x
2
=1 x
1=
-1
x
1
x
2=
-2 x
2
=2
К доске для нахождения площади вызывается студент.
)2
23
()2()13())1()3((
23
2
1
2
1
2
2
1
22
x
xx
dxxxdxxxdxxxS
2
1
=
5,4
2
1
832
2
1
3
1
6
3
8
)2
2
1
3
1
()42
3
8
(
(кв.ед.).
3.Вычисление объёмов тел вращения.
Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная
трапеция, ограниченная непрерывной линией
y=f(x), f(x)>0, отрезком [а; в] и прямыми x=a,
x=b. Полученная от вращения фигура называется телом
вращения. Объём тела вычисляется по формуле
b
a
dxyV
2
(слайд 14).
Пример3. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох плоской фигуры,
ограниченной линиями
1,
2
xxy
. Решение показывает на доске преподаватель, при
обсуждении алгоритма решения со студентами (чертёж на слайде 15).
1
0
2
2
x
xdxV
1
0
=
2
(куб. ед.)
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
7
В дальнейшем на занятии мы будем вычислять площади плоских фигур, а формула
объёма показана в ознакомительном порядке.
V. Закрепление изученного материала.
№1.Используя свойства функций найти площади изображённых фигур.
Выдаётся раздаточный материал.
1)
2)
3)
4)
Обсуждается алгоритм решения каждой задачи, указывается какое свойство функции
необходимо применить для рационального решения задачи:
1) Если функция чётная, то
a
a
a
dxxfdxxfS
0
)(2)(
, f(x)>0
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
8
2) Если функция нечётная или фигуры в другом случае на чертеже равны, то
S=2S
1
=
b
a
xfdxxf )(,)(2
>0
3) При вычислении площадей необходимо строго соблюдать правило знаков, и
прежде чем интегрировать, убедится, что на отрезке интегрирования функция сохраняет
знак.
4) При вычислении необходимо разбить фигуру на части и сложить площади каждой
из полученных фигур. Обращается внимание студентов на необязательное применение
определённого интеграла для вычисления площадей некоторых фигур. В частности
прямоугольника в данной задачи, или прямоугольного треугольника и трапеции в других
задачах. Студенты вспоминают формулы вычисления площади прямоугольника,
прямоугольного треугольника и трапеции.
Студенты самостоятельно записывают формулы в тетрадях, проводят вычисления.
Затем проверяют ответы с преподавателем (ответ: 1)
3
1
5
; 2) 4; 3) 2; 4) 4ln4e)
и в оценочный лист выставляют оценку за решение этой задачи (2 правильных ответа
- оценка 3; 3 правильных ответа - оценка 4; 4 правильных ответа - оценка 5). После проверки
ответов преподаватель с помощью слайдов 16-19 демонстрирует правильное решение.
Решение:
1)
3
1
5
3
16
3
22
2
0
3
2
0
2
x
dxxS
2)
0
22 CosxSinxdxS
0
=-2(Cos
-Cos0)=
= -2 (-1-1)=4
3) S=
)
3
()1()1(
2
1
3
2
1
0
2
x
x
dxxdxx
1
0
+
+
)
3
(
3
x
x
2
1
21
3
1
2
3
8
1
3
1
ee
xdx
x
S
4ln4)4ln(ln44ln4
)1ln4(ln4ln4
4
4)4
4
1
4
1
№2. Используя геометрический смысл интеграла, вычислить интеграл
dxx
1
1
2
1
К доске приглашается студент. Работа вместе со всей группой.
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
9
Решение. Алгоритм решения рассказывает студент, в случае затруднения вопросы
задаются группе.
Функция под знаком интеграла
2
1 xy
определена при xє [-1;1].
1,1
2222
yxxy
-уравнение окружности с
центром в точке О(0;0) и радиусом R=1. Тогда
данный интеграл представляет собой площадь
полукруга с центром в точке О(0;0) и радиусом
R=1. S=
22
1
,
2
22
S
R
(кв. ед.)
Ответ:
2
(кв. ед.)
№3. Составить с помощью определённого интеграла формулы для нахождения
площадей фигур, изображённых на рисунке.
Студенты получают задание по вариантам, в тетрадях записывают формулы. Затем
меняются тетрадями и осуществляют взаимопроверку. Далее вместе по парам проверяют
правильность выполнения I варианта (слайд 20), затем II варианта (слайд 21) и в оценочный
лист выставляют оценку за решение этой задачи (2 правильных ответа - оценка 3; 3
правильных ответа - оценка 4; 4 правильных ответа - оценка 5). Подробно разбирается
решение задач №4 из двух вариантов (слайды 22, 23).
I вариант
1)
2)
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
10
3)
4)
II вариант
1)
2)
3)
4)
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
11
Ответ: I вариант
1)
1
0
22
)2)3(( dxxxS
2)
3
2
0
3
2
0
5)23(
SinxdxdxSinxSinxS
3)
0
2
4
0
2
)4()2( dxxdxxS
4)
dxxdxxdxxS
4
1
4
2
2
1
2
)6(
II вариант
1)
dxxxS ))2()4((
2
2
0
2
2)
2
0
4
2
2
)4(2 dxxxdxS
3)
4
0
4
0
2
1
2)2
2
1
(
CosxdxdxCosxCosxS
4)
dxxdxxS )11()2(
1
2
0
1
2
VI. Подведение итогов занятия.
Преподаватель отмечает, в какой мере достигнуты цели; называет активных на
занятии студентов, сообщает оценки за устную работу на уроке, включая работу у доски.
Студенты выставляют в оценочных листах оценку за урок как среднюю арифметическую
всех полученных оценок. Оценочный лист сдаётся преподавателю. Студент имеет право
улучшить полученную оценку без выставления её в журнал на следующем уроке – уроке
обобщения темы «Интегральное исчисление функции одной действительной переменной».
Преподаватель обращает внимание студентов на необходимость повторения дома
элементарных функций, их свойств и графиков; указывает на важность выполнения
домашнего задания, так как через занятие контрольная работа по теме, где одно из заданий –
задача на вычисление площади плоской фигуры, ограниченной заданными линиями.
VII. Домашнее задание
Группа дифференцированно делится на 6 подгрупп. Каждая подгруппа получает по 4
задачи и до следующего занятия каждый студент подгруппы записывает решение в тетради,
сверяясь с другими студентами своей подгруппы. Решив все задачи и внеся по номеру
карточки ответы в таблицу, используя ключ к расшифровке (выдаётся старосте группы),
группа прочитает высказывание О.Бальзака. Ответы студентам не выдаются.
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
12
I подгруппа
№
Задание
Ответ
3
22
2, xyxy
3
2
2
10
xyxy ,2
2
4,5
1
0,2, yxyxy
6
1
1
12
3,0,2
2
xyxxy
3
2
2
II подгруппа
№
Задание
Ответ
7
9,2, xyxy
3
2
2
4
1
,0,1,2
22
x
xxyxy
3
2
1
6
41
,1,0,4
2
x
xyxxy
9
21
2,4
2
xyxy
4,5
III подгруппа
№
Задание
Ответ
16
xyxy 1,)1(
2
4,5
23
1,0,4,
2
xxyxy
3
2
3
17
4
3
,
4
,0,
xxySinxy
2
11
xxyxy 2,4
22
9
IV подгруппа
№
Задание
Ответ
8
xyxy ,
2
3
1
13
2,,
1
xxy
x
y
2ln
2
1
1
19
0,1,24
2
yxxxy
9
20
2
)2( xy
и осями
координат
3
2
2
V подгруппа
№
Задание
Ответ
14
3,0,
1
,
2
xy
x
yxy
3ln
3
1
24
1,1
2
yxxy
4,5
9
xyxyxy 6,,
2
3
2
3
22
104
2
xxy
,
касательной к графику в
точке х
о
=3 и прямой х=0
9
VI подгруппа
№
Задание
Ответ
18
2,
1
, y
x
yxy
2ln
3
1
2
15
xyxyxy 2,,
3
1,5
2
6,,
2
xyxyxy
3
2
3
5
график функции
xy 4
пересекает график своей
первообразной F(x) в точках,
одна из которых (-1;-4). Найти
площадь фигуры,
ограниченной графиками f(x) и
F(x)
3
1
21
Рыжкина Галина Анатольевна
ГБОУ СПО ТСЭК
13
Ключ к расшифровке
А
Б
Д
Е
И
Й
Л
2ln
3
1
2
3
2
1
9
3ln
3
1
4,5
3
1
1,5
Н
О
Т
Ц
Ч
Ы
2
3
2
2
3
2
3
2ln
2
1
1
6
1
1
3
1
21
Высказывание:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
,
17
18
19
20
21
22
23
24
(О. Бальзак)
Ответ:
(О.Бальзак)
Приложение 1.
Оценочный лист
Тема «Геометрические приложения определённого интеграла»
Группа Э-21 Ф.И.О. студента
Задание
Оценка
1
Домашнее задание
2
Самостоятельная работа на уроке:
№1. Нахождение площади изображённой фигуры.
№2. Составление формулы для нахождения площади
изображённой фигуры.
3
Работа на уроке при устном опросе или у доски
Итоговая оценка
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ч
Т
О
Б
Ы
Д
О
Й
Т
И
Д
О
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Ц
Е
Л
И
,
Н
А
Д
О
И
Д
Т
И
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: