Презентация "О разрешимости кубических уравнений в радикалах"

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА С УГЛУБЛЁННЫМ ИЗУЧЕНИЕ ИНОСТРАННЫХ ЯЗЫКОВ №1373

• Исследовательский проект
• «О РАЗРЕШИМОСТИ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ»
• Авторы проекта:
• Быкова Екатерина Андреевна,
• Пучкова Анастасия Николаевна,
• Романова Наталья Алексеевна.
• Руководитель проекта –
• Романова Татьяна Витеславовна,
• учитель математики.

Цели работы: популяризация математических знаний, нахождение наиболее простых способов решения уравнений 2-ой и 3-ей степеней

• Задачи работы:
• проведение конкурса рефератов «Знаменитые математики, внёсшие значительный вклад в решение кубических уравнений»;
• расширение знаний учащихся о множествах чисел, знакомство с мнимой единицей и множеством комплексных чисел;
• проведение обобщающего урока по теме «Решение уравнений 1-ой и 2-ой степеней по формулам»;
• проведение семинара «Вывод формулы для решения уравнений 3-ей степени» с привлечением выпускников школы, обучающихся в технических вузах;
• выяснение прикладного значения формулы Кардано;
• разрешение вопроса о возможности решения уравнений 4-ой и 5-ой степеней по формулам

Папирус Райнда и Московский папирус

• Оба папируса относятся к XVIII веку до н. э. В них даны примеры элементарных арифметических расчётов, задачи отвлечённого и конкретного содержания “по разделу хлебов”, вычислению площадей полей, вместимости круглых и прямоугольных корзин, вычислению пирамид. В папирусах даётся лишь ход решения задач; правил, обоснований и обобщений нет.

Вавилонская математика

• II тысячелетие до н.э. В математических текстах, выполненных клинописью на глиняных пластинках, есть квадратные и биквадратные уравнения, системы уравнений с двумя неизвестными и даже простейшие кубические уравнения. Задачи носили учебный характер, не было обобщений и доказательств.

Геометрическая алгебра греков

• Создана математическая теория, в математику включены логические доказательства, отдельные её части стали строиться как дедуктивный метод.

Мухаммед ал-Хорезми, Омар Хайям

• 1048 – 1131 гг.

• Трактат ”Китаб аль-джебр валь-мукабала”.
• Общие правила для решения уравнений первой степени, квадратные уравнения различных видов, правила алгебраических преобразований.
• “Трактат о доказательстве задач алгебры”.
• Дано определение алгебры как науки о решении уравнений.

Линейные уравнения

• Уравнение вида ax = b, где х – переменная, a и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
• Линейное уравнение ax = b, при a ≠ 0 имеет один корень, при a = 0 и b ≠ 0 не имеет корней, а = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

Задача Метродора

• Здесь погребен Диофант, и камень могильный
• При счёте искусном расскажет нам, сколь долог был его век.
• Велением бога он мальчиком был шестую часть своей жизни;
• В двенадцатой части затем прошла его светлая юность.
• Седьмую часть жизни прибавим – перед нами очаг Гименея .
• Пять лет протекли; и прислал Гименей ему сына.
• Но горе ребёнку! Едва половину он прожил
• Тех лет, что отец, как скончался несчастный.
• Четыре года страдал Диофант от утраты такой тяжёлой
• И умер, прожив для науки. Скажи мне,
• Скольких лет достигнув, смерть восприял Диофант?

Квадратные уравнения

• Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида
• ах² + bx + c = 0, где а ≠0.
• Выражение D = b² - 4ac называют дискриминантом квадратного трёхчлена ax² + bx + c.
• Уравнение имеет два корня: х = , х = ,
• а для уравнения с четным коэффициентом при х формула принимает вид
• х = , x = , где к = , D1 = к2 – ас.

Сципион дель Ферро

• Итальянский математик, открывший общий метод решения неполного кубического уравнения.
• Дель Ферро закончил Болонский университет, после чего работал там профессором математики до конца жизни.

• 1465 – 1526 гг.

Николо Тарталья

• Итальянский математик, родился в Брешии. В 1512 году, во время взятия Брешии французами, он получил рану в нижнюю часть лица, вследствие которой произношение его стало неправильным.

• Поэтому товарищи прозвали его заикой (по-итальянски «tartaglia») и прозвище это сделалось его фамилией. Настоящая фамилия Фонтана.

• 1500 – 1557 гг.

Математический турнир между Тартальей и Фиоре

• Для участников алгебраических диспутов было важно обладать неизвестной ещё для других формулой решения того или иного типа уравнений, алгоритмом, с помощью которого можно было решить значительное количество задач.

Джероламо Кардано

• Итальянский математик, инженер, философ, медик и астролог.

• Учился в университетах Павии и Падуи. Сначала занимался только медициной, но в 1534 году стал профессором математики в Милане, позже – в Болонье. Однако, Кардано не бросил врачебное занятие.

• 1501 – 1576 гг.

Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического уравнения.

• Кардано внёс значительный вклад в развитие алгебры: его имя носит формула Кардано для нахождения корней кубического уравнения.
• Согласно легенде, Кардано предсказал дату своей смерти и, чтобы оправдать свое предсказание, сам уморил себя голодом.

Лодовико (Луиджи) Феррари

• Родился в Болонье. Итальянский математик, нашел общее решение уравнения четвертой степени.
• Уже в восемнадцать лет Феррари стал профессором Миланского университета, однако потом вернулся в родной город, где также стал профессором математики.

• 1522 – 1565 гг.

Вывод формулы Кардано

• Рассмотрим уравнение x³ + px + q = 0
• Введем новые неизвестные x = u + v; получим
• u³ + v³ + (3uv + p)(u + v) +q = 0
• Приравняем 3uv + p нулю
• u³ + v³ + q = 0.
• Тогда
• uv = -
• u³v³ = -
• u³ + v³ = - q.
• Выражения u и v можно принять за корни квадратного уравнения z² + qz - = 0. Решая его, получим
• z = -
• Таким образом,
• x = u + v = +

Комплексные числа

• Комплексными числами называются числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, а i – число особого рода, квадрат которого равен -1, т. е. i² = -1. Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами, при этом i² заменяют на -1.
• z = a + bi
• a – действительная часть («reel» - реальный, действительный)
• Re z = a
• b – мнимая часть («imaginaire» – мнимый, воображаемый)
• Im z = b

Нахождение формулы для решения уравнений 5-ой степени

• Ж.Лагранж, П. Руффини, Н. Абель
• Не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-ой степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней.

Эварист Галуа

• Выдающийся французский математик, основатель современной алгебры.

• В возрасте 12 лет Эварист покинул родительский дом и поступил в Королевский коллеж Луи-ле-Гран (ныне лицей), где читал серьёзные математические сочинения. В числе прочих ему попался мемуар Нильса Абеля о решении уравнений произвольной степени. Тема захватила Галуа, и он начинает собственные исследования.

• 1811 – 1832 гг.

• 1. C помощью формулы Кардано верно решили 5 человек.

• 3. Графическим способом верно решили 21 человек.

• 2. С помощью разложения на множители верно решили 19 человек.

Выводы

• В ходе работы над проектом мы провели конкурс рефератов «Знаменитые математики, внесшие значительный вклад в решение кубических уравнений» для учеников нашего класса. Авторы лучших рефератов представили свои работы учащимся седьмых классов.
• Усилиями нашей творческой группы был проведен урок «Решение квадратных уравнений на множестве комплексных чисел». На этом уроке мы познакомили наших одноклассников с комплексными числами, показали, что любое квадратное уравнение имеет два корня на множестве комплексных чисел.
• В рамках проведения недели математики мы организовали такой урок в параллели девятых классов, показали презентацию нашего проекта учащимся десятых и одиннадцатых классов.

Спасибо за внимание