Презентация "Окружность и ее элементы" 9 класс
Подписи к слайдам:
Геометрия 9 класс
- Окружность и ее элементы
- Основные понятия
- Свойства вписанных углов
- Углы, связанные с окружностью
- Отрезки, связанные с окружностью
- Теорема Птолемея
- Окружность, вписанная в многоугольник
- Окружность, описанная около многоугольника
- Вневписанная окружность
- Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние от заданной точки (центра).
- Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.
- Радиус — отрезок, соединяющий точку окружности с центром.
- Содержание
- Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.
- Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.
- Секущая — прямая, проходящая через две произвольные точки окружности.
- Содержание
- Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются ее хордами.
- Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.
- Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.
- Содержание
- 1. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
- — вписанный угол, BA и BC — хорды, OA — радиус.
- Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник OAB:
- Следовательно, он равнобедренный и
- Угол AOC — внешний, следовательно,
- Следовательно,
- Угол AOC измеряется дугой AC, следовательно, его половина измеряется половиной дуги AC.
- Что и требовалось доказать.
- Доказательство.
- 1) Центр на одной из сторон.
- Содержание
- 2) Центр лежит внутри угла ABC.
- — вписанный угол, BD — диаметр,
- По свойству 1:
- Следовательно,
- Что и требовалось доказать.
- 3) Центр лежит вне угла.
- — вписанный угол, BD — диаметр.
- Что и требовалось доказать.
- Содержание
- 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Доказательство.
- и
- — вписанные углы, KL — дуга.
- Следовательно,
- Что и требовалось доказать.
- По свойству 1:
- Содержание
- 3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
- Доказательство.
- — внутренний угол, BC — диаметр.
- Так как BC — полуокружность, следовательно,
- Таким образом,
- Что и требовалось доказать.
- По свойству 1:
- Содержание
- 4. Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.
- Доказательство.
- , AB и CD — хорды.
- 2. Треугольники OAB и OCD равны, т.к.
- (радиусы).
- и
- Следовательно,
- В равных треугольниках против соответственно равных углов лежат равные стороны, следовательно,
- Что и требовалось доказать.
- 1. Проведем радиусы
- Содержание
- Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
- Доказательство.
- — внешний угол треугольника DOB.
- Что и требовалось доказать.
- Угол
- Содержание
- Углы, связанные с окружностью
- Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
- По теореме о внешнем угле треугольника MBC:
- Что и требовалось доказать.
- Доказательство.
- Содержание
- Углы, связанные с окружностью
- Доказательство.
- Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.
- опирается на дугу
- Тогда,
- Что и требовалось доказать.
- 2. Угол
- 1. Проведем диаметр.
- Содержание
- Аналогично для тупого угла
- Углы, связанные с окружностью
- Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг.
- По теореме о вписанных углах:
- По теореме об угле между касательной и хордой
- .
- — внешний угол треугольника ABM.
- Что и требовалось доказать.
- Доказательство.
- Содержание
- Углы, связанные с окружностью
- Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.
- Доказательство.
- Проведем радиусы в точки касания, они перпендикулярны касательным.
- Примечание.
- Тогда
- Что и требовалось доказать.
- Содержание
- Углы, связанные с окружностью
- Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны.
- Доказательство.
- , так как гипотенуза OA — общая,
- — радиусы.
- .
- Следовательно,
- Что и требовалось доказать.
- Содержание
- Отрезки, связанные с окружностью
- Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная.
- Доказательство.
- Пусть AB и CD — данные хорды, O — точка пересечения.
- Проведем хорды AC и BD.
- ~
- , так как
- — вертикальные,
- — опираются на дугу CB.
- Что и требовалось доказать.
- Тогда
- Содержание
- Отрезки, связанные с окружностью
- Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная.
- Доказательство.
- Проведем хорды AC и BD.
- ~
- (по двум углам):
- — общий,
- — опираются на дугу BC.
- Что и требовалось доказать.
- Тогда
- Содержание
- Отрезки, связанные с окружностью
- Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
- Доказательство.
- ~
- , так как
- — общий,
- Тогда
- Что и требовалось доказать.
- Содержание
- Отрезки, связанные с окружностью
- Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов).
- Доказательство.
- , так как они опираются на одну дугу BC.
- Что и требовалось доказать.
- Содержание
- Отрезки, связанные с окружностью
- Теорема. Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
- Доказательство.
- 1. Проведем диагонали AC и BD.
- 3. Тогда треугольники KBA и ACD подобны (по равному по построению углу и по углу, опирающемуся на дугу AD); треугольники AKD и ABC подобны (по двум углам:
- 2. Выберем на диагонали BD точку K так, чтобы
- (по построению) и
- ).
- Что и требовалось доказать.
- 4. Тогда:
- Содержание
- Теорема Птолемея
- Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.
- 1) В любой треугольник можно вписать окружность.
- , где p — полупериметр.
- Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис.
- Содержание
- Окружность, вписанная в многоугольник
- 2) В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
- , так как AK и AL — касательные к окружности, проведенные из одной точки.
- Тогда сумма противоположных сторон есть для данного четырехугольника величина постоянная.
- Аналогично с остальными отрезками.
- Содержание
- Окружность, вписанная в многоугольник
- 3) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
- Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.
- Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон.
- Содержание
- Окружность, вписанная в многоугольник
- Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.
- 1) Около любого треугольника можно описать окружность.
- ;
- Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
- Содержание
- Окружность, описанная около многоугольника
- 2) В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
- Тогда
- Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.
- Содержание
- Окружность, описанная около многоугольника
- Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его периметр пополам:
- Доказательство.
- 1.
- Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон.
- Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно полупериметру p.
- — отрезки касательных, исходящих из одной точки.
- 2.
- Таким образом,
- Следствие:
- .
- ,
- Содержание
- Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле:
- Доказательство.
- 1. Площадь четырехугольника ONAM:
- 2. Площадь четырехугольника ONAM:
- 3. Таким образом,
- Что и требовалось доказать.
- .
- Содержание
- Теорема. Площадь треугольника можно вычислить по формуле:
- Доказательство.
- Что и требовалось доказать.
- Содержание
- Конец
- Начать заново
- Завершить показ
Математика - еще материалы к урокам:
- Презентация "Задачи - расчеты из моей жизни"
- Презентация "Применение производной в науке и в жизни"
- Презентация "Решение экономических задач. Задача №17 ЕГЭ"
- Презентация "Тригонометричні функції в житті людини"
- Презентация "Математика на службе у экологии" 6 класс
- Презентация "Магические квадраты" 5 класс