Ученики на Учителя.com


Построение многоуровневой системы задач по теме "Линейная функция в основной школе"

государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской
области основная общеобразовательная школа № 21 города
Новокуйбышевска городского округа Новокуйбышевск Самарской области
Методическая разработка
по теме:
«Построение многоуровневой системы задач по теме: Линейная
функция в основной школе»
Выполнила:
Дмитриева Людмила
Владимировна,
учитель математики
ГБОУ ООШ № 21
г.Новокуйбышевск
Самара 2015 г.
Формируемые УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:
№
Этапы решения задач
Формируемые УУД
1.
Анализ условия (введение
буквенных обозначений)
целеполагание;
выделение существенной информации;
формулирование задачи и прогнозирование
способов решения;
абстрагирование;
аналогия;
классификация (типологизация);
знакосимволические действия.
2.
Схематическая запись
условия задачи в виде
таблицы, схемы, графа с
введенными буквенными
обозначениями
планирование;
систематизация;
знакосимволические действия;
моделирование.
3.
Составление модели (поиск
аналога, привлечение из
математики или физики
известного закона)
создание способа решения залачи;
корректировка условия;
моделирование в графическом виде.
4.
Решение уравнения, системы
и т.д. (поиск неизвестного)
анализ и выявление существенной информации;
выведение следствий;
построение цепи рассуждений;
выдвижение и проверка гипотез;
преобразование модели.
5.
Интерпретация модели
(проверка и оценка решений,
корней)
анализ;
выведение следствий;
конкретизация;
знакосимволическое действие (интерпретация).
6.
Исследование (обобщение
задачи или способа её
решения для видоизмененных
условий, другие подходы к
решению)
анализ;
синтез;
поиск аналогов;
построение цепи рассуждений;
умение сжато передать содержание;
умение применять схемы, символы, модели;
создание способов решения проблем поискового,
творческого характера.
7.
Рефлексия
смыслообразование;
планирование;
контроль;
коррекция;
оценка;
волевая саморегуляция;
готовность к саморазвитию, к самообразованию;
умение самостоятельно определять цели своего
обучения;
ставить и формулировать для себя новые задачи;
развивать мотивы и интересы своей
образовательной деятельности.
Базовые задачи
1. а) Постройте график линейной функции у=-4х+8. Найдите: координаты точек
пересечения графика с осями координат;
б) значение у, соответствующее значению х, равному 0; 1; 2;3;
в) значение х, которому соответствует значение у, равное 0; 4; 8;
2. Постройте график линейной функции у=х+5 и с его помощью найдите:
а) координаты точек пересечения графика с осями координат;
б) все значения аргумента , при которых выполняется неравенство у<0;
в) отрезок оси х , на котором выполняется неравенство 0 < y<5
г) наименьшее и наибольшее значения линейной функции на отрезке [-4; 1]
3. Постройте график функций у = -0,5х+2 и прямую у=4.
а) Найдите координаты точки пересечения прямых.
б) Выделите ту часть графика функции у= -0,5х+2, которая расположена ниже прямой у=4.
Какие значения у соответствуют выделенной части графика ? Какие значения при этом
принимает выражение -0,5х+2?
в) Определите , какие значения х соответствуют выделенной части графика линейной
функции.
г) Найдите, при каких значениях х выполняется неравенство -0,5х+2>4.
4. а) Решить уравнение относительно х ах=-2
б) Решить уравнение: (а-1)х+2=а+1
в) Решить уравнение:
г) Решить уравнение: 4 + mx = 3x
+ 1
д) При каком значении а уравнение 2ах+5=3х имеет корень равный -1.
е) При каком значении коэффициента а прямая у=2ах-3 проходит через точку А(1,-6).
ж) Найдите значение коэффициента а в уравнении 2х+ау=8, если известно, решением этого
уравнения является пара чисел (2,1).
5. Не выполняя построения графиков , найдите координаты точки пересечения прямых:
а) у=х+5 и у=1,5х+4
6. Задайте линейную функцию , график который параллелен графику данной линейной
функции и проходит через данную точку М:
а) у=3х, М(0;-2);
8. Решить уравнение
:
.1 ax
Примеры решения базовых задач
Пример 1. Решить уравнение относительно х: (а-1)х+2=а+1.
Решение. Запишем уравнение в стандартном виде (а-1)х=а-1.
1. Если а-1=0, т.е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0, т.е. х – любое число.
2. Если а-1≠0, т.е. а≠1, то х=1.
Ответ: при а=1, х – любое число; при а≠1, х=1.
Пример 2. Решить уравнение:
Решение.
Преобразуем данное уравнение: ;
;
;
1. Если , т.е. , то ;
2. Если , то ;
;
, нет корней.
Ответ: 1) , ;
2) , нет корней.
Пример 3. Решить уравнение:
Решение.
После преобразования получаем равносильное данному уравнение:
.
1. Если , то
2. Если , т.е . , то нет корней
Ответ: Если , то ;
Если , т.е , то нет корней
Пример 4. Решить уравнение
:
Решение.
При
0a
уравнение не имеет решения. Рассмотрим случай
0a
и построим графики двух
функций
xy 1
и
ay
.
Рис. 5.
Из графиков видим, что при
0a
,
1x
уравнение имеет один корень. При
0a
графики пересекаются в двух точках, значит уравнение имеет два корня:
,1
,1
ax
ax
ax 1
1
и
1
1
ax
.
Задачи модифицированного типа
1. а) Постройте график функции у=(5-х)/4. При каких значениях аргумента выполняется
неравенство 0<у<0,25?
б) Постройте график функции у=-(х+3)/4. Сколько целых значений принимает данная
функция, если -5<х<6?
2. Постройте график функции (х
2
-4)/(8-4х)и найдите её область значений.
3.Постройте график линейной функции у= -2х+3 и с его помощью решите неравенство -2х+3
>1.
4. а) Решить уравнение a
2
x - 1 = x + a
б) При каких значениях а уравнение (а
2
-1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный
корень.
в) Решить уравнение: (a
2
-1)x = a
2
-3a+2.
г) График функции 7х-4у-с=0 пересекает ось ординат в точке с ординатой 2. Найдите
значение с.
д) График функции 3х+ву=с проходит через точки А(15,-7), В(-6,2). Чему равны значения в
и с.
е) Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными 1/4х-1/2у+1=0 к виду линейной
функции у=кх+в.
ж) Найдите все натуральные значения а, при которых корень уравнения (а-2)х=15 является
правильной дробью.
5. а) Прямые 6х-5у=-2, 6х+у=22 и у=-2, попарно пересекаясь, образуют треугольник.
Вычислите координаты вершин этого треугольника.
б) Выясните , проходят ли прямые 3х-у=4,2х+у=6 и 2х-у=2 через одну точку.
6. Запишите уравнение прямой, которая параллельная прямой у= - 1,5х+4 и проходит через
точку С(7;-2,5).
7. Решите уравнение |5x-3|=а
Примеры решения модифицированных задач
Пример 1. Решить уравнение a
2
x - 1 = x + a
Решение: После элементарных преобразований получим:
a
2
x - 1 = x + a ; a
2
x - x = a + 1 ; x(a
2
- 1) = a + 1.
Отсюда:
1. если a
2
-1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1, то или
2. если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;
3. если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное
число является решением этого уравнения.
Ответ: если a ≠ ±1, то или
если a = 1, то уравнение не имеет решений;
если a = -1, то любое действительное число является решением этого уравнения.
Пример 2. При каких значениях а уравнение (а
2
-1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный
корень.
Решение:
а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а
выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то
есть
При а=1 уравнение не имеет решений.
б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если
коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается
в нуль, то есть
При а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение, при а2-1≠0, то есть (а-1)(а+1)≠0, т.е. а≠±1.
Ответ:
1. Уравнение не имеет решений, при а=1.
2. Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.
3. Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.
Пример 3. Решить уравнение: (a
2
-1)x = a
2
-3a+2.
Решение. Это уравнение является линейным относительно переменной x, значит, здесь
контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в
0. То есть рассмотрим случаи a
2
-1=0 и a
2
-1
0 (удобнее разложить обе части уравнения на
множители, привести к виду
(a-1)(a+1)x = (a-1)(a-2)
При a = 1 заданное уравнение принимает вид 0*x=0, значит x-любое действительное число.
При а = -1 заданное уравнение принимает вид 0*х=6, значит корней нет.
При а
1 можно разделить обе части уравнения на а
2
-1
0:
х =
;
)1)(1(
)2)(1(
аа
аа
х =
.
1
2
а
а
Ответ: при а = 1, х – любое действительное число; при а = -1 нет корней; при а
1, х
=
.
1
2
а
а
Задачи нестандартного типа
1) При каких значениях а прямая у=7х-2а образует с осями координат треугольник,
площадь которого равна 14.
2) При каких значениях а прямая у=7х-2а образует с осями координат треугольник,
площадь которого равна 14.
3) Построив графики линейных функций у=2х-3 и у =3х-7, решите заданное
неравенство 2х-3<3x-7;
3)Найдите все значения параметра а, при которых точка пересечения
прямых у=2х+3 и у=2а-3х лежит выше прямой у=х.
4. а) Решите уравнение:
.
3
72
1
113
)3)(1(
53
x
x
b
b
xb
bx
б) При каком значении а графики функций 3х+5у=10 и 2х+ау=6 пересекаются в точке,
принадлежащей оси ординат.
в) При каком значении к прямые 2х+3у=4 и кх-5у=13 пересекаются в точке,
принадлежащей оси абсцисс.
г) Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых 3х+ау+1=0 и 2х-
3у-4=0 находится в третьей координатной четверти.
5) При каких значениях а прямая у=7х-2а образует с осями координат
треугольник, площадь которого равна 14.
6) Найдите все значения параметра а, при которых точки А(1,2), В(3,а+1), С(а,4)
лежат на одной прямой.
7) При всех значениях параметра а решить уравнение:
|х + 3| - a|x – 1| = 4
Примеры решения нестандартных задач
Пример 1. Решите уравнение:
.
3
72
1
113
)3)(1(
53
x
x
b
b
xb
bx
Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b-1)(x+3)
0, то есть
b
1, x
-3.
Умножив обе части уравнения на (b-1)(x+3)
0, получаем уравнение:
3bx-5+(3b-11)(x+3) = (2x+7)(b-1),
(4b – 9)x = 31-2b.
Это уравнение является линейным относительно переменной х.
При 4b-9=0, то есть b=2,25 уравнение принимает вид:0*х = 26,5.
При 4b-9
0, то есть b
2,25 корень уравнения х =
.
92
231
b
b
Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение x равно
-3.
.4,0
,2712231
,3
94
231
b
bb
b
b
Таким образом, при b
1, b
2,25, b
-0,4 уравнение имеет единственный корень x
=
.
92
231
b
b
Ответ: при b
1, b
2,25, b
-0,4 х =
92
231
b
b
; при b = 2,25, b = -0,4 решений нет; при b = 1
уравнение не имеет смысла.
Пример 2. При всех значениях параметра а решить уравнение:
|х + 3| - a|x – 1| = 4.
Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под
знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:
1) , если .
Найденный будет решением, если .
2) , если .
Найденный удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением
при . Если же
, то решением является любой .
3) , если .
Найденный не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является
решением при . Если же
, то решением является любой .
Ответ: при ; при ;
при ; является также решением при всех .
ЛИТЕРАТУРА
1. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами.
Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
2. В.С. Высоцкий, Задачи с параметрами для подготовки к ЕГЭ
3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА "Текст";
МП "ОКО", 1992. -290 с.
4. Качалова Г. А. О необходимости включения содержательно-методической линии
«Задачи с параметрами» в учебный модуль «Основы математики» // Materiały
Międzynarodowej Naukowi-Praktycznej konferencji Postępów w nauce. Nowe poglądy,
problemy, innowacje. 29.07.2012. — 31.07.2012. Część 2. — Łódź, 2012. — С. 67–70.
5. Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача
С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО,
2011.-144 с.
6. Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995
7. Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия
«Математика. Проверь себя». М.: ООО «Русское слово – учебна
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: