Конспект урока "Основные методы решения задач на смешивание растворов" 9 класс
Основные методы решения задач на смешивание растворов
Борздун Ольга Владимировна, учитель математики
Статья отнесена к разделам: Преподавание математики | Преподавание химии
“Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи.”
Антуан Де Сент-Экзюпери
Математика многообразна и многогранна. Существует ряд ситуаций в образовательном процессе,
когда при изучении какой-либо темы по физике, химии, биологии и т.д. затрагиваются понятия
математики, например, существуют задачи, которые решают как на уроках математики, так и на
уроках химии. Способы решения задач представляют и учителя химии, и математики, но есть
проблема: математики знают математику, а химики - химию. И не всегда способы совпадают.
В данной статье приводятся рекомендации по решению химических задач на смешение растворов
разными способами: с помощью расчетной формулы, “Правила смешения”, “Правила креста”,
графического метода, алгебраического метода. Приведены примеры решения задач.
1. Основные химические понятия
Приведем некоторые указания к решению задач на растворы.
Основными компонентами этого типа задач являются:
а) массовая доля растворенного вещества в растворе;
б) масса растворенного вещества в растворе;
в) масса раствора.
Предполагают, что:
а) все получившиеся смеси и сплавы являются однородными;
б) смешивание различных растворов происходит мгновенно;
в) объем смеси равен сумме объемов смешиваемых растворов;
г) объемы растворов и массы сплавов не могут быть отрицательными.
Определения и обозначения.
Массовая доля растворенного вещества в растворе - это отношение массы этого вещества к массе
раствора.
где - массовая доля растворенного вещества в растворе;
- масса растворенного вещества в растворе;
- масса раствора.
Следствия формулы (1):
Введем обозначения:
- массовая доля растворенного вещества в первом растворе;
- массовая доля растворенного вещества во втором растворе;
- массовая доля растворенного вещества в новом растворе, полученном при смешивании
первого и второго растворов;
m
1
(в-ва), m
2
(в-ва), m(в-ва) - массы растворенных веществ в соответствующих растворах;
m
1
(р-ра), m
2
(р-ра), m(р-ра) - массы соответствующих растворов.
Основными методами решения задач на смешивание растворов являются: с помощью расчетной
формулы, “Правило смешения”, “Правило креста”, графический метод, алгебраический метод.
Приведем описание указанных методов.
1.1. С помощью расчетной формулы
В наших обозначениях, получим формулу для вычисления массовой доли вещества (?) в смеси.
1. Масса полученного при смешивании раствора равна:
m(р-ра) = m
1
(р-ра) + m
2
(р-ра).
2. Определим массы растворенных веществ в первом и втором растворах:
m
1
(в-ва)= •m
1
(р-ра), m
2
(в-ва)= •m
2
(р-ра).
3. Следовательно, масса растворенного вещества в полученном растворе вычисляется как сумма
масс веществ в исходных растворах:
m(в-ва) = m
1
(в-ва) + m
2
(в-ва) = •m
1
(р-ра) + •m
2
(р-ра).
4. Таким образом, массовая доля растворенного вещества в полученном растворе равна:
или
или
где - массы соответствующих растворов.
Замечание: При решении задач удобно составлять следующую таблицу.
1-й
раствор
2-й раствор
Смесь двух
растворов
Масса растворов
m
1
m
2
m
1
+ m
2
Массовая доля
растворенного вещества
Масса вещества в
растворе
m
1
m
2
(m
1
+ m
2
)
1.2. “Правило смешения”
Воспользуемся формулой (4):
тогда
Отсюда
Таким образом, отношение массы первого раствора к массе второго равно отношению
разности массовых долей смеси и второго раствора к разности массовых долей первого
раствора и смеси.
Аналогично получаем, что при
Замечание: Формула (5) удобна тем, что на практике, как правило, массы веществ не
отвешиваются, а берутся в определенном отношении.
1.3. “Правило креста”
“Правилом креста” называют диагональную схему правила смешения для случаев с двумя
растворами.
Слева на концах отрезков записывают исходные массовые доли растворов (обычно слева вверху-
большая), на пересечении отрезков - заданная, а справа на их концах записываются разности
между исходными и заданной массовыми долями. Получаемые массовые части показывают в
каком отношении надо слить исходные растворы.
1.4. Графический метод
Отрезок прямой (основание графика) представляет собой массу смеси, а на осях ординат
откладывают точки, соответствующие массовым долям растворенного вещества в исходных
растворах. Соединив прямой точки на осях ординат, получают прямую, которая отображает
функциональную зависимость массовой доли растворенного вещества в смеси от массы
смешанных растворов в обратной пропорциональной зависимости
Полученная функциональная прямая позволяет решать задачи по определению массы смешанных
растворов и обратные, по массе смешанных растворов находить массовую долю полученной
смеси.
Построим график зависимости массовой доли растворенного вещества от массы смешанных
растворов. На одной из осей ординат откладывают точку, соответствующую массовой доли , а
на другой - . Обозначим на оси абсцисс точки А и В с координатами (0,0) и (m
1
+ m
2
,0),
соответственно. На графике точка А(0,0) показывает, что массовая доля всего раствора равна ,
а точка В(m
1
+ m
2
,0) - массовая доля всего раствора равна . В направлении от точки А к точке В
возрастает содержание в смеси 2-го раствора от 0 до m
1
+ m
2
и убывает содержание 1-го раствора
от m
1
+ m
2
до 0. Таким образом, любая точка на отрезке АВ будет представлять собой смесь,
имеющую одну и ту же массу с определенным содержанием каждого раствора, которое влияет на
массовую долю растворенного вещества в смеси.
Замечание: Данный способ является наглядным и дает приближенное решение. При
использовании миллиметровой бумаги можно получить достаточно точный ответ.
1.5. Алгебраический метод
Задачи на смешивание растворов решают с помощью составления уравнения или системы
уравнений.
2. Примеры решения задач
Задача 1. (№1.43, [1])
В 100 г 20%-ного раствора соли добавили 300 г её 10%-ного раствора. Определите процентную
концентрацию раствора.
Решение:
1. C помощью расчетной формулы
2. Графический
Ответ: 12,5%
3. Путем последовательных вычислений
o Сколько растворенного вещества содержится:
а) в 100 г 20%-ного раствора; [100•0,2 = 20(г)]
б) в 300 г 10%-ного раствора? [300•0,1 = 30(г)]
o Сколько вещества содержится в образовавшемся растворе?
20 г + 30 г = 50 г
o Чему равна масса образовавшегося раствора?
100 г + 300 г = 400 г
o Какова процентная концентрация полученного раствора?
(50/400)100 = 12,5(%)
Ответ: 12,5%
4. Алгебраический
Пусть х - процентная концентрация полученного раствора. В первом растворе содержится
0,2•100(г) соли, а во втором 0,1•300(г), а в полученном растворе х•(100 + 300)(г) соли.
Составим уравнение:
0,2•100 + 0,1•300 = х•(100 + 300);
х = 0,125 (12,5%)
Ответ: 12,5%
Задача 2. u(№10.26, [1])
Смешали 10%-ный и 25%-ный растворы соли и получили 3 кг 20%-ного раствора. Какое количество
каждого раствора в килограммах было использовано?
Решение:
1. Алгебраический
а) C помощью уравнения:
Пусть х (кг) - масса 1-го раствора, тогда 3-х (кг) -масса 2-го раствора.
0,1•х (кг) содержится соли в 1-ом растворе,
0,25•(3-х) (кг) содержится соли в 2-ом растворе,
0,2•3 (кг) содержится соли в смеси.
Учитывая, что масса соли в 1-ом и 2-ом растворах равна массе соли в смеси, составим и
решим уравнение:
0,1•х + 0,25•(3-х) = 0,2•3;
0,15х = 0,15;
х = 1, 1кг-масса 1-го раствора
3 - х = 3 - 1 =2 (кг) - масса 2-го раствора.
Ответ: 1 кг, 2 кг.
б) С помощью системы уравнений
Пусть х (кг) - количество первого раствора, у (кг) - количество второго раствора. Система
уравнений имеет вид:
Ответ: 1 кг, 2 кг.
2. Графический.
Ответ: 1кг, 2кг.
3. “Правило смешения”
4. “Правило креста”
Составим диагональную схему
Ответ: 1кг, 2кг.
Задача 3 ([2])
Сосуд емкостью 5 л содержит 2 л р%-ного (по объёму) раствора соли. Сколько литров 20%-ного
раствора такой же соли надо налить в сосуд, чтобы процентное содержание соли в сосуде стало
наибольшим?
Решение (графический способ)
Заметим, что по условию, объём второго раствора не превышает трёх литров.
1. Ели р < 20, то для того, чтобы получить максимальную массовую долю вещества в
растворе, необходимо добавить 3 л 20% - ного раствора соли;
2. Если р = 20, то при добавлении 2-го раствора, процентное содержание соли в растворе не
изменится, следовательно, можно прилить от 0 л до 3 л 20% - ного раствора соли;
3. Если р > 20, то при добавлении 2-го раствора, процентное содержание соли будет
уменьшаться, т.е. прилить нужно 0 л.
Ответ: 3 л, если 0 < р < 20, [0,3], если р = 20, 0л, если 20 < р 100.
Задача 4 (работа 5, №2, [1])
В двух сосудах по 5л каждый содержится раствор соли. Первый сосуд содержит 3л р% - ного
раствора, а второй - 4л 2р% - ного раствора одной и той же соли. Сколько литров надо перелить из
второго сосуда в первый, чтобы получить в нем 10% - ный раствор соли? При каких значениях р
задача имеет решение?
Решение
Найдем, при каких значениях р задача имеет решение. По условию задачи 5-ти литровый сосуд
содержит 3л первого раствора, следовательно, к нему можно прилить от 0 до 2л второго раствора.
Имеем, Решая неравенство, получаем
Ответ:
3. Заключение
Данные рекомендации предназначены учителям математики, желающим организовать элективные
курсы, как в девятых, так и в десятых и одиннадцатых классах. Цель создаваемых курсов: научить
учащихся пользоваться математическим аппаратом при решении химических задач.
Список литературы
1. Галицкий и др. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для учащихся
шк. и классов с углубл. изуч. математики / М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич.-2-е
изд. - М.: Просвещение,1994. - 271с.
2. Сборник задач по математике для поступающих в вузы: Учебное пособие/ П.Т.Дыбов,
А.И.Забоев, А.С. Иванов и др.; Под ред. А.И. Прилепко. - М.:Высш. школа, 1983. - 239 с.
3. Ерыгин Д.П., Шишкин Е.А. Методика решения задач по химии: Учебное пособие для
студентов пед. ин-тов по биол. и хим. спец. - М.: Просвещение,1989. - 176с.
4. Хомченко Г.П., Хомченко И.Г. Задачи по химии для поступающих в вузы: Учебное пособие.
- 2-е изд.. исправ. и доп. - М.: Высш. школа, 1993. - 302 с.
