Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Угол между прямой и плоскостью. Решение задач"

Тема: Угол между прямой и плоскостью. Решение задач.
Тип урока: урок применения и закрепления знаний.
Цели урока:
повторить понятия перпендикуляр, наклонная и ее проекция и
основные теоремы курса планиметрии, отражающие соотношения в
прямоугольном треугольнике;
продолжить формирование умений находить угол между прямой и
плоскостью;
продолжить формирование умений обосновывать или опровергать
выдвигаемые предположения;
развивать пространственное мышление, самостоятельность и умение
преодолевать трудности в учении;
воспитывать интерес к предмету.
Оборудование: ПК, проектор, презентации к уроку, учебники геометрии,
таблица Брадиса, таблица значений тригонометрических функций некоторых
углов, чертежные инструменты, микрокалькулятор.
Ход занятия:
1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний. Тема нашего сегодняшнего занятия «Угол
между прямой и плоскостью. Решение задач». В течение занятия мы
повторим понятие угла между прямой и плоскостью и рассмотрим, как
данная тема применяется при решении геометрических задач, а также
при решении, так называемых, задач практического содержания. А
начнем мы с повторения тех сведений, которые могут нам при этом
пригодиться.
Устные упражнения:
Задача 1. В треугольнике АВС катеты равны 16 и 12 см. Найдите
длину гипотенузы.
Решение:



;

 


  см.
Задача 2. В треугольнике АВС длина ВС рана 2 см, а длина
гипотенузы АВ – 4 см. Определите градусные меры углов В и А.
Решение: Так как гипотенуза в два раза длиннее катета, то угол А равен
30 градусов, а угол В 60 градусов.
Задача 3. Длина катета b треугольника АВС равна 6, а катета а - 6√
см. Вычислите тангенс угла А.
Решение: 
Задача 4. Медианна правильного треугольника АВС равна 33 см.
Найдите длину отрезка АО. Чем является этот отрезок для
треугольника АВС?
Отрезок АО является радиусом
описанной окружности.
Длина этого отрезка равна
     . ой и плоскостью.
Вопрос 1. Как можно вычислить радиус окружности, описанной около
правильного треугольника? Предложите несколько способов нахождения.
Ответ:


    
. В формулах АВ длина стороны
треугольника, ОС – радиус.
Для дальнейшей работы повторим основные
понятия, которые необходимы для определения
угла между прямой и плоскостью.
Задача 5. Из точки А к плоскости проведен перпендикуляр АН и
наклонная АМ длиной 17 см. Длина ее проекции МН на эту плоскость
8 см. Вычислите синус и косинус угла между наклонной и ее
проекцией.
Решение:
По теореме Пифагора длина перпендикуляра 15 см.
Косинус угла




.
Тригонометрические функции острого угла прямоугольного
треугольника – это один из основных методов решения задач. Кому же
впервые пришло в голову использовать соотношение между сторонами и
углами прямоугольного треугольника? Об этом нам расскажет _______.
Один из студентов представляет доклад с презентацией о возникновении
тригонометрии.
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников.
Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом. С
помощью тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника можно
вычислить ширину реки, высоту дерева. С их помощью были составлены таблицы, по которым
вычисляются расстояния между космическими объектами, длины трасс авиа портов.
Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и
углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. до н. э.) и
Клавдием Птолемеем (2 в. н. э.). Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника
и его углами начали называть тригонометрическими функциями. С 17 века тригонометрические
функции стали глубоко исследоваться и сыграли важную роль в математике. Своим
становлением тригонометрия обязана арабским учёным Аль-Батани, Абу-ль-Вафа, Мухамед-бен
Мухамед, индийскому учёному Бхаскара и азербайджанскому астроному и математику
Насиреддин Туси Мухамед, который в своих трудах обозначил тригонометрию как
самостоятельную дисциплину.
И только в 18 веке знаменитый математик, член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер
провел блестящий математический анализ и первым ввел известные всем определения
тригонометрических функций. С именем этого ученого связано возникновение
тригонометрических формул, которые в свою очередь позволили сделать более лаконичными и
простыми доказательства различных фактов. Математика продвинулась на большой шаг
вперёд. Новые формулы значительно облегчили исследования в области механики, оптики,
электричества, радиотехники, астрономии и т. п.
Запись тригонометрических формул происходит с использованием понятий: синус, косинус,
тангенс, котангенс, которые также имеют свою историю возникновения.
Синус (изгиб) встречался в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты и имел
название - архаджива, затем слово было сокращено на джива, и лишь в 19 веке слово было
заменено арабами на джаб, перевод которого и означал современный термин.
Косинус (дополнительный синус) очень молод по сравнению с другими, так как появился совсем
недавно.
Тангенс и котангенс возникли ещё в 10 веке, благодаря арабскому математику Абу-ль-Вафойно.
Но понятие было забыто и заново открыто лишь в XIV веке немецким математиком,
астрономом Регимонтаном.
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая
Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и
Иогана Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603),
который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического
треугольника по трем данным.
Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач
механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов,
распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного
электрического тока и т. д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко
исследовались, и приобрели важное значение для всей математики.
Позднее часть тригонометрии, которая изучает свойства тригонометрических функций и
зависимости между ними, начали называть гониометрией (в переводе – наука об измерении углов,
от греческого gwnia - угол, metrew- измеряю). Термин гониометрия в последнее время практически
не употребляется.
Итак повторим как определяется угол между прямой и плоскостью.
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не
перпендикулярную к ней, называют угол между прямой и её проекцией на
плоскость .
При решении задач углом между прямой и плоскостью будет служить угол
между наклонной и её проекцией. Наибольшее затруднение при построении
такого угла вызывает построение перпендикуляра от точки до плоскости.
Считают также, что прямая, перпендикулярная плоскости, образует с этой
плоскостью прямой угол.
Задача 6. В кубе A…D
1
найдите угол между прямой AA
1
и плоскостью ABC.
Решение: Ребро АА
1
перпендикулярно плоскости АВС, поэтому искомый
угол равен 90 градусов.
Задача 7. В кубе A…D
1
найдите угол между прямой AB
1
и плоскостью BCC
1
.
Из равнобедренного треугольника АВВ
1
угол АВ
1
В
равен 45 градусов.
Задача 8. № 163. Задача решается по вариантам: 1-а, 2-б, 3-в. Решение
комментируется представителем студента решавшего задание варианта.
Задача 9. Каждое боковое ребро тетраэдра равно 4 см и образует с
плоскостью основания угол равный 30 градусам. Вычислите расстояние от
вершины А тетраэдра до плоскости основания и длину ребра его основания.
Решение: Опустим из вершины тетраэдра А на плоскость ВСД
перпендикуляр АН. Треугольники АВН, АСН, АДН равны по гипотенузе и
острому углу, следовательно ВН=СН=ДН=R. АН=2(свойство
прямоугольного треугольника), по теореме Пифагора ВН=2
R=2
ВС=2
Понятие угла между прямой и плоскостью довольно часто приходится
использовать при решении задач практического содержания. На слайдах вы
можете видеть некоторые из них. Предлагаю вам решить по одной задаче,
объединившись для работы в группы. Решение задач старший группы
представит для проверки вместе с оценкой степени вложения каждого
представителя группы при решении задачи.
Подведем итог занятия. Какие основные понятия были повторены в течении
урока? Ответы студентов.
Задание на дом: Раздать распечатки с заданиями для домашней работы.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: