Исследовательская работа "Решение задач на доказательство с неопределённым условием"

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №11»
Исследовательская работа
на тему:
«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
С НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ УСЛОВИЕМ»
Автор работы:
Разумов Ю.А., учитель математики
Саранск, 2022
Введение
В настоящее время проблема математической, а особенно
геометрической «грамотности» стоит очень остро. Ведь обществу требуется
личность, способная логически мыслить, быстро принимать решение,
анализировать, аргументировать, доказывать, отличать верное утверждение
от неверного. Ничто другое, кроме геометрии, не способно решить данную
проблему.
Актуальность. В настоящее время проблема математической, а
особенно геометрической «грамотности» стоит очень остро. Ведь обществу
требуется личность, способная логически мыслить, быстро принимать
решение, анализировать, аргументировать, доказывать, отличать верное
утверждение от неверного. Ничто другое, кроме геометрии, не способно
решить данную проблему.
Гипотеза: Способствует применение в урочной и неурочной
деятельности данного вида заданий повышению уровня геометрической
«грамотности».
Объектисследования:геометрические представления и знания учащихся.
Предмет исследования применение «признаков» равенства
треугольников для повышения уровня геометрической «грамотности»,
развитию интуиции, логического мышления.
Цель исследования: выявить влияет ли использование «признаков»
равенства треугольников на повышение уровня геометрической
«грамотности» учащихся; способствует ли более глубокому освоению
изучаемогоматериала, развитию способностей отличать верное утверждение
от неверного, рассуждать, анализировать, аргументировать, доказывать.
Задачи:
- изучить литературу по данному вопросу;
- рассмотреть признаки равенства треугольников;
- определить способствует ли применение «признаков» равенства
треугольников повышению уровня геометрической «грамотности», развитию
интуиции, логического мышления;
- разработать комплекс «задач-признаков» для применения на уроках
геометрии;
- сформировать у учащихся способности отличать верное утверждение
от неверного, рассуждать, анализировать, аргументировать, доказывать,
приводить конкретные примеры.
- обработать результаты и сделать выводы.
Проанализировав литературу по данной проблеме, были сделаны
следующие выводы.
1. В настоящее время в России проблема геометрической
«грамотности» стоит очень остро. Учащиеся плохо справляются с
геометрическими заданиями, а особенно с задачами на доказательство;
2. Применение на уроках геометрии данного вида упражнений
способствует более глубокому освоению изучаемогоматериала, развитию
способностей отличать верное утверждение от неверного, рассуждать,
анализировать, аргументировать, доказывать.
3. Задачи с подобным неопределенным условиемтруднее, чем просто
задачи на доказательство. Отсутствие уверенности в справедливости
предложения, сформулированного вусловии задачи, накладывает
дополнительную, психологическуютрудность поиска решения. Но из этого
не следует, что решениемтаких задач не следует заниматься на уроках
математики. Наоборот, внедрение таких заданий просто необходимо!
В данной работе представлено в первой главе 30 задач,
сформулированных в виде признаков равенстватреугольников по трем
элементам, включающим стороны, углы, высоты, медианы или биссектрисы
треугольника. При этом используются обычные признаки равенства
треугольников.
Во второй главе приведена практическая значимость данной работы,
сделаны выводы и приведены рекомендации.
Особенностью предлагаемых заданий является то, что это непросто
задачи на доказательство. В них нужно самому выяснить,верно ли
сформулированное утверждение. Если верно, то привести доказательство,
если нет - дать контрпример.
Именно такие задачи характерны для исследовательской, творческой
деятельности человека не только в математике, но и других различных
областях знания. Не случайно, что многие научные проблемы
формулируются в терминах задач с неопределенным условием.
Как правило, задачи с подобным неопределенным условиемтруднее,
чем просто задачи на доказательство. Отсутствие уверенности в
справедливости предложения, сформулированного вусловии задачи,
накладывает дополнительную, психологическуютрудность поиска решения.
Но из этого не следует, что решениемтаких задач не следует заниматься на
уроках математики. Наоборот, в них заложен большой образовательный и
воспитательныйпотенциал. Они помогают более глубокому освоению
изучаемогоматериала, учат отличать верное утверждение от неверного,
развивают интуицию, логическое мышление, учат рассуждать,
анализировать, аргументировать, доказывать.
Глава I. Теоретическая часть.
Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа - это разум. Высшее
проявление разума - это геометрия. Клетка геометрии - треугольник. Он так
же неисчерпаем, как и Вселенная». Треугольник - уникальная единица
познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих
исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к
многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник -
геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной
прямой, соединенных отрезками.
Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение
в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к
доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством
признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По
словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому
доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону
и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега
до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не
известно.
На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор
полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач,
с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков
спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа
геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения,
поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства.
Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии,
содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали
человечество на протяжении всей истории существования. Решения
отдельных старинных задач практического характера могут найти
применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.
Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол
между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и
углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к
ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим
к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного
треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то
такие треугольники равны.
В данной главе нами будут рассмотрены 30 практических заданий.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:
1. Два треугольника равны, если две стороны и угол одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника.
Решение:
Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче
элементов треугольников ΔABC иΔA
1
B
1
C
1
недостаточно для равенства самих
треугольников.
1. Рассмотрим окружность и ее хорду AB. С центром в точке A проведем
другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых
точках C и C
1
. Тогда в треугольниках ABC и ABC
1
: AB - общая
сторона, AC=AC
1
, C=C
1
, однако треугольники ABC и ABC
1
не
равны.
2. Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на
одну из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам
и высоте другого треугольника.
Дано:ΔABC и ΔA
1
B
1
C
1
, AB=A
1
B
1
,
AC=A
1
C
1
, CH=C
1
H
1
________________________________
Доказать, что ΔABC=ΔA
1
B
1
C
1
Доказательство:
1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
:
ΔACH=ΔA
1
C
1
H
1
(по катету и гипотенузе). Значит, A=A
1
. Таким
образом, в треугольниках ΔABC и ΔA
1
B
1
C
1
, AB=A
1
B
1
,
AC=A
1
C
1
,A=A
1
. Следовательно, ΔABC = ΔA
1
B
1
C
1
(по двум
сторонам и углу между ними).
3. Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на
третью сторону, одного треугольника соответственно равны двум
сторонам и высоте другого треугольника.
Дано: ΔABC и ΔA
1
B
1
C
1
, BC=B
1
C
1
,
AC=A
1
C
1
, CH=C
1
H
1
________________________________
Доказать, что ΔABC=ΔA
1
B
1
C
1
Доказательство:
1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACH и A
1
C
1
H
1
:
ΔACH=ΔA
1
C
1
H
1
(по катету и гипотенузе). Значит, ACH=A
1
C
1
H
1
.
2.