Исследовательская работа "Решение задач на доказательство с неопределённым условием"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №11»

Исследовательская работа

на тему:

«РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

С НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ УСЛОВИЕМ»

Автор работы:

Разумов Ю.А., учитель математики

Саранск, 2022

Введение

В настоящее время проблема математической, а особенно

геометрической «грамотности» стоит очень остро. Ведь обществу требуется

личность, способная логически мыслить, быстро принимать решение,

анализировать, аргументировать, доказывать, отличать верное утверждение

от неверного. Ничто другое, кроме геометрии, не способно решить данную

проблему.

Актуальность. В настоящее время проблема математической, а

особенно геометрической «грамотности» стоит очень остро. Ведь обществу

требуется личность, способная логически мыслить, быстро принимать

решение, анализировать, аргументировать, доказывать, отличать верное

утверждение от неверного. Ничто другое, кроме геометрии, не способно

решить данную проблему.

Гипотеза: Способствует применение в урочной и неурочной

деятельности данного вида заданий повышению уровня геометрической

«грамотности».

Объектисследования:геометрические представления и знания учащихся.

Предмет исследования – применение «признаков» равенства

треугольников для повышения уровня геометрической «грамотности»,

развитию интуиции, логического мышления.

Цель исследования: выявить влияет ли использование «признаков»

равенства треугольников на повышение уровня геометрической

«грамотности» учащихся; способствует ли более глубокому освоению

изучаемогоматериала, развитию способностей отличать верное утверждение

от неверного, рассуждать, анализировать, аргументировать, доказывать.

Задачи:

- изучить литературу по данному вопросу;

- рассмотреть признаки равенства треугольников;

- определить способствует ли применение «признаков» равенства

треугольников повышению уровня геометрической «грамотности», развитию

интуиции, логического мышления;

- разработать комплекс «задач-признаков» для применения на уроках

геометрии;

- сформировать у учащихся способности отличать верное утверждение

от неверного, рассуждать, анализировать, аргументировать, доказывать,

приводить конкретные примеры.

- обработать результаты и сделать выводы.

Проанализировав литературу по данной проблеме, были сделаны

следующие выводы.

1. В настоящее время в России проблема геометрической

«грамотности» стоит очень остро. Учащиеся плохо справляются с

геометрическими заданиями, а особенно с задачами на доказательство;

2. Применение на уроках геометрии данного вида упражнений

способствует более глубокому освоению изучаемогоматериала, развитию

способностей отличать верное утверждение от неверного, рассуждать,

анализировать, аргументировать, доказывать.

3. Задачи с подобным неопределенным условиемтруднее, чем просто

задачи на доказательство. Отсутствие уверенности в справедливости

предложения, сформулированного вусловии задачи, накладывает

дополнительную, психологическуютрудность поиска решения. Но из этого

не следует, что решениемтаких задач не следует заниматься на уроках

математики. Наоборот, внедрение таких заданий просто необходимо!

В данной работе представлено в первой главе 30 задач,

сформулированных в виде признаков равенстватреугольников по трем

элементам, включающим стороны, углы, высоты, медианы или биссектрисы

треугольника. При этом используются обычные признаки равенства

треугольников.

Во второй главе приведена практическая значимость данной работы,

сделаны выводы и приведены рекомендации.

Особенностью предлагаемых заданий является то, что это непросто

задачи на доказательство. В них нужно самому выяснить,верно ли

сформулированное утверждение. Если верно, то привести доказательство,

если нет - дать контрпример.

Именно такие задачи характерны для исследовательской, творческой

деятельности человека не только в математике, но и других различных

областях знания. Не случайно, что многие научные проблемы

формулируются в терминах задач с неопределенным условием.

Как правило, задачи с подобным неопределенным условиемтруднее,

чем просто задачи на доказательство. Отсутствие уверенности в

справедливости предложения, сформулированного вусловии задачи,

накладывает дополнительную, психологическуютрудность поиска решения.

Но из этого не следует, что решениемтаких задач не следует заниматься на

уроках математики. Наоборот, в них заложен большой образовательный и

воспитательныйпотенциал. Они помогают более глубокому освоению

изучаемогоматериала, учат отличать верное утверждение от неверного,

развивают интуицию, логическое мышление, учат рассуждать,

анализировать, аргументировать, доказывать.

Глава I. Теоретическая часть.

Один мудрец сказал: «Высшее проявление духа - это разум. Высшее

проявление разума - это геометрия. Клетка геометрии - треугольник. Он так

же неисчерпаем, как и Вселенная». Треугольник - уникальная единица

познания геометрии. Он обладает множеством свойств, присущих

исключительно ему, и одновременно его исследование привело ученых к

многочисленным обобщениям для многоугольников. Треугольник -

геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной

прямой, соединенных отрезками.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение

в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к

доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством

признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По

словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому

доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону

и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега

до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не

известно.

На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор

полезных, но не связанных между собой правил, формул для решения задач,

с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков

спустя учеными Древней Греции была создана теоретическая основа

геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила своего значения,

поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства.

Таким образом, написанные в древности, руководства по геометрии,

содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали

человечество на протяжении всей истории существования. Решения

отдельных старинных задач практического характера могут найти

применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол

между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и

углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и прилежащие к

ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим

к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного

треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то

такие треугольники равны.

В данной главе нами будут рассмотрены 30 практических заданий.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ:

1. Два треугольника равны, если две стороны и угол одного треугольника

соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников ΔABC иΔA

недостаточно для равенства самих

треугольников.

1. Рассмотрим окружность и ее хорду AB. С центром в точке A проведем

другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых

точках C и C

. Тогда в треугольниках ABC и ABC

: AB - общая

сторона, AC=AC

, ∠C=∠C

, однако треугольники ABC и ABC

не

равны.

2. Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на

одну из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам

и высоте другого треугольника.

Дано:ΔABC и ΔA

, AB=A

AC=A

, CH=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACH и A

ΔACH=ΔA

(по катету и гипотенузе). Значит, ∠A=∠A

. Таким

образом, в треугольниках ΔABC и ΔA

, AB=A

AC=A

,∠A=∠A

. Следовательно, ΔABC = ΔA

(по двум

сторонам и углу между ними).

3. Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на

третью сторону, одного треугольника соответственно равны двум

сторонам и высоте другого треугольника.

Дано: ΔABC и ΔA

, BC=B

AC=A

, CH=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACH и A

ΔACH=ΔA

(по катету и гипотенузе). Значит, ∠ACH=∠A

2. Аналогично, ΔBCH=ΔB

(по катету и гипотенузе). Значит,

∠BCH=∠B

.Таким образом, ∠C=∠C

,следовательно, ΔABC =

ΔA

по двум сторонам и углу между ними, т.е. по первому

признаку равенства треугольников.

4. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на эту

сторону, одного треугольника соответственно равны углу,стороне и высоте

другого треугольника, то эти треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

, AB=A

∠A=∠A

, CH=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACH и A

ΔACH=ΔA

(по катету и острому углу: ∠A=∠A

, CH=C

). Значит,

AC=A

.Следовательно, ΔABC = ΔA

по двум сторонам и углу между

ними (AB=A

, ∠A=∠A

, AC=A

), т.е. по первому признаку равенства

треугольников.

5. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на

сторону, противоположную данному углу, одного треугольника

соответственно равны углу, стороне и высоте другоготреугольника, то эти

треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

, AB=A

∠A=∠A

, AH=A

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A

ΔABH=ΔA

(по катету и гипотенузе: AB=A

, AH=A

). Значит,

∠B=∠B

.Таким образом, AB=A

,∠A=∠A

,∠B=∠B

.Следовательно, ΔABC =

ΔA

по стороне и двум прилежащим к ней углам. (AB=A

, ∠A=∠A

∠B=∠B

), т.е. по второму признаку равенства треугольников.

6. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота,опущенная на

другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и

высоте другого треугольника, то эти треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

, AB=A

∠С=∠С

, AH=A

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A

ΔABH=ΔA

(по катету и гипотенузе: AB=A

, AH=A

). Значит,

∠B=∠B

, откуда ∠A=∠A

.Таким образом,

AB=A

,∠A=∠A

,∠B=∠B

.Следовательно, ΔABC = ΔA

по стороне и

двум прилежащим к ней углам. (AB=A

, ∠A=∠A

, ∠B=∠B

), т.е. по

второму признаку равенства треугольников.

7. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на

другую сторону, прилежащую к данному углу, одноготреугольника

соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти

треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников ΔABC иΔA

недостаточно для равенства самих

треугольников.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A

, в которых

∠H=∠H

=90

, AB=A

, AH=A

. На продолжениях сторон

BH=B

отложим неравные отрезки HC и H

. Тогда в треугольниках

ΔABC иΔA

, AB=A

,∠B=∠B

, AH=A

, однако сами треугольники не

равны.

8. Два треугольника равны, если два угла и высота, проведенная из вершины

одного из них, соответственно равны двум углами высоте другого

треугольника.

Дано: ΔABC и ΔA

, ∠A=∠A

∠B=∠B

AH=A

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A

ΔABH=ΔA

(по катету и острому углу: ∠B=∠B

, AH=A

). Значит,

AB=A

.Следовательно, ΔABC = ΔA

по стороне и двум прилежащим к

ней углам. (AB=A

, ∠A=∠A

, ∠B=∠B

), т.е. по второму признаку равенства

треугольников.

9. Два треугольника равны, если два угла и высота, проведенная из вершины

третьего угла, соответственно равны двум углам и высоте другого

треугольника.

Дано: ΔABC и ΔA

, ∠A=∠A

∠B=∠B

CH=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACH и A

ΔACH=ΔA

(по катету и острому углу: ∠A=∠A

, CH=C

). Значит,

AC=A

.Кроме того, из равенства углов ∠A=∠A

, ∠B=∠B

, следует,

∠С=∠С

. Таким образом, ΔABC = ΔA

по стороне и двум прилежащим к

ней углам (AС=A

, ∠A=∠A

, ∠С=∠С

), т.е. по второму признаку равенства

треугольников.

10. Если сторона и две высоты, опущенные на две другие стороны, одного

треугольника соответственно равны стороне и двумвысотам другого

треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

, AB=A

AH=A

, BG=B

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABGи A

ΔABG=ΔA

(по катету и гипотенузе: AB=A

, BG=B

). Значит,

∠A=∠A

. Аналогично из равенства треугольников ΔABH и ΔA

следует,

что ∠B=∠B

.Таким образом, в треугольниках ΔABCиΔA

: AB=A

∠A=∠A

, ∠B=∠B

. Следовательно, ΔABC=ΔA

по стороне и двум

прилежащим к ней углам, т.е. по второму признаку равенства треугольников.

11. Если сторона и две высоты, одна из которых опущена на данную сторону,

одного треугольника соответственно равны стороне идвум высотам другого

треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

, AB=A

AH=A

, CG=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABHи A

ΔABH=ΔA

(по катету и гипотенузе: AB=A

, AH=A

). Значит,

∠B=∠B

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔBCGиΔB

ΔBCG=ΔB

– они равны по катету и острому углу (CG=C

∠B=∠B

). Значит BC=B

3. Таким образом, в треугольниках ΔABCиΔA

: AB=A

, BC=B

∠B=∠B

. Следовательно, ΔABC=ΔA

по двум сторонам и углу

между ними, т.е. по первому признаку равенства треугольников.

12. Если угол и две высоты, опущенные на его стороны, одноготреугольника

соответственно равны углу и двум высотам другоготреугольника, то такие

треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; ∠A=∠A

CH=C

, BG=B

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABGи A

ΔABG=ΔA

(по катету и острому углу: BG=B

, ∠A=∠A

). Значит,

AB=A

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔACHиΔA

ΔACH=ΔA

– они равны по катету и острому углу (CH=C

∠A=∠A

). Значит AC=A

3. Таким образом, в треугольниках ΔABCиΔA

: AB=A

, AC=A

∠A=∠A

. Следовательно, ΔABC=ΔA

по двум сторонам и углу

между ними, т.е. по первому признаку равенства треугольников.

13. Если угол и две высоты, одна из которых проведена из данного угла,

одного треугольника, соответственно равны углу и двумвысотам другого

треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; ∠C=∠C

, CH=C

AG=A

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACGи A

ΔACG=ΔA

(по катету и острому углу: AG=A

, ∠C=∠C

). Значит,

AC=A

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники ΔACHиΔA

ΔACH=ΔA

– они равны по катету и гипотенузе

(CH=C

,AC=A

). Значит ∠A=∠A

3. Таким образом, в треугольниках ΔABCиΔA

: AC=A

, ∠A=∠A

∠C=∠C

). Следовательно, ΔABC=ΔA

по стороне и двум

прилежащим к ней углам, т.е. по второму признаку равенства

треугольников.

14. Если две стороны и медиана, проведенная к одной из них,одного

треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого

треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; AB=A

AC=A

, CM=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники ACMи A

ΔACM=ΔA

(по трём сторонам: AM=A

, AC=A

, CM=C

. Значит

∠A=∠A

2. Таким образом, в треугольниках ΔABCиΔA

: AB=A

, AC=A

∠A=∠A

. Следовательно, ΔABC=ΔA

по двум сторонам и углу между

ними, т.е. по первому признаку равенства треугольников.

15. Если две стороны и медиана, заключенная между ними,одного

треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого

треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; AC=A

BC=B

, CM=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Продолжим медианы и отложим отрезки MD=CM, M

, тогда

четырёхугольники ABCD и A

– параллелограммы.

2. Рассмотрим треугольники ACDи A

:ΔACD=ΔA

(по трём

сторонам). Следовательно, ∠ACD=∠A

3. Аналогично, треугольники BCD и B

: ΔBCD=ΔB

(по трём

сторонам). Следовательно, ∠BCD=∠B

4. Значит, ∠C=∠C

и ΔABC=ΔA

по двум сторонам и углу между

ними, т.е. по первому признаку равенства треугольников.

16. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана,проведенная к

этой стороне, одного треугольника соответственноравны углу, стороне и

медиане другого треугольника, то эти треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

1. Рассмотрим окружность с центром в точке M. Проведем два диаметра

AB и A

2. Через точки A, A

, Mпроведём ещё одну окружность и выберем на ней

точку C. В треугольниках ΔABC и ΔA

C: AB=A

, ∠A=∠A

, медиана

CM – общая. Однако треугольники ΔABC и ΔA

C не равны.

17. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана,проведенная к

стороне, противоположной данному углу, одноготреугольника

соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти

треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

Для этого рассмотрим угол и окружность с центром в вершине A этого

угла. На одной стороне угла отложим отрезок AB и через его середину K

проведем прямую, параллельную другой стороне и пересекающую

окружность в точках M и M

. Через точку B проведем прямые BM и BM

пересекающие сторону угла соответственно в точках C и C

. В треугольниках

ΔABC и ΔABC

: ∠A – общий угол, AB – общая сторона, медианы АM и AM

– равны. Однако треугольники ΔABC и ΔA

C не равны.

18. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и медиана, проведенная

к другой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и

медиане другого треугольника, тоэти треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

1. Рассмотрим окружность с центром в точке O и окружность в два раза

меньшего радиуса, касающуюся первой окружности внутренним образом в

точке B. Напомним, что эта окружность без точки B является

геометрическим местом середин хорд первой окружности, проходящих через

точку B.

2. Проведем хорду AB и окружность с центром в точке A, пересекающую

вторую окружность в точках M и M

. Проведем прямыеBM и BM

пересекающие первую окружность соответственно в точках C и C

3. В треугольниках ABC и ABC

сторона AB - общая, ∠C=∠C

, медианы

AM и AM

равны. Однако треугольники ΔABC и ΔA

C не равны.

19. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана,проведенная к

другой стороне, прилежащей к данному углу, одного треугольника

соответственно равны углу, стороне и медианедругого треугольника, то эти

треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

1. Рассмотрим окружность и проведем равные хорды AB и AB

. Через

точку Mокружности проведем прямые BM и B

M и отложим на них

отрезки MC и MC

соответственно равные BM и B

2. В треугольниках ABC и AB

: AB=AB

, ∠B=∠B

, медиана AM -

общая, однако треугольники ABC и AB

не равны.

20. Два треугольника равны, если два угла и медиана, проведенная из

вершины одного из них, соответственно равны двумуглам и медиане другого

треугольника.

Дано: ΔABC и ΔA

; ∠A=∠A

∠B=∠B

, AM=A

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Так как ∠A=∠A

, ∠B=∠B

, то ΔABC и ΔA

подобны. Известно, что

преобразование подобия переводит медиану в медиану. Если бы

AB≠A

,то AM≠A

, что противоречит условию. Следовательно,

AB=A

, и значит ΔABC=ΔA

21. Два треугольника равны, если два угла и медиана, проведенная из

вершины третьего угла, соответственно равны двум углам имедиане другого

треугольника.

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

22. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам,

одного треугольника соответственно равны стороне и двуммедианам другого

треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; AB=A

AM=A

, BK=B

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Пусть O, O

- точки пересечения медиан данных треугольников. Так

как медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от

вершины, то треугольники ΔABO=ΔA

(потрем сторонам).

Следовательно, ∠BAO=∠B

, и значит, ΔABM=ΔA

(по двум

сторонам и углу между ними). Поэтому ∠ABC=∠A

. Аналогично

доказывается, что∠BAC=∠B

.Таким образом, треугольники

ΔABC=ΔA

по стороне и двум прилежащим к ней углам.

23. Если сторона и две медианы, одна из которых проведена кданной

стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и двум

медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; AB=A

AM=A

, CK=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Пусть O, O

- точки пересечения медиан данных треугольников. Так как

медианы в точке пересечения делятся в отношении

2: 1, считая от вершины, то треугольники ΔAKO=ΔA

(потрем

сторонам). Следовательно, ∠KAO=∠K

, и значит,

ΔABM=ΔA

(по двум сторонам и углу между ними). Поэтому

∠ABC=∠A

и MB=M

и, следовательно, BC=B

. Таким

образом, треугольники ΔABC=ΔA

подвум сторонам и углу между

ними.

24. Если угол и две медианы, проведенные к его сторонам,одного

треугольника соответственно равны углу и двум медианамдругого

треугольника, то такие треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

1. Для этого рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O

, касающиеся друг друга в точке M. Проведем в одной из них хорду AB и

прямую AM, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C.

Проведем отрезок BC. Получим треугольник ΔABC. Проведем в нем медиану

CK и обозначим O точку, делящую её в отношении 2: 1, считая от вершины.

Проведем окружность с центром в точке Oрадиуса OC, пересекающую

вторую окружность в точке C

2. Проведем прямую C

M и обозначим A

точку ее пересечения с первой

окружностью. Обозначим K

точку пересечения хорды A

B и прямой C

O. В

треугольникахΔABC и ΔA

∠A=∠A

, медианы CK=C

, так как равны

отрезки CO и C

O,соответственно равные двум третям этих медиан, медиана

BM - общая. Однако треугольники ΔABC и ΔA

не равны.

25. Если угол и две медианы, одна из которых проведена из вершины

данного угла, одного треугольника, соответственно равны углу идвум

медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

3. Рассмотрим две равные окружности с центрами в точках O

и O

касающиеся друг друга в точке K.Проведем в одной из них хорду AB и

прямую AK, пересекающую вторую окружность в некоторой точке C.

Проведем отрезок BC. Получим треугольник ABC. Проведем в нем медиану

BKи обозначим Oточку, делящую ее в отношении 2:1, считая от вершины B.

Проведем окружность радиуса OA, пересекающую первую окружность в

точке A

. Проведем прямую A

K и обозначим C

точку ее пересечения со

второй окружностью. Получим треугольник ΔA

, в котором O– точка

пересечения медиан. В треугольникахΔABC и ΔA

∠A=∠A

, медианы

AM=A

равны, так как равны отрезки AO и A

O, соответственно равные

двум третям этих медиан, медиана BK - общая. Однако треугольники ΔABC

и ΔA

не равны.

26. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса,

проведенная из вершины этого угла, одного треугольника соответственно

равны углу, стороне и биссектрисе другого треугольника, то эти

треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; AB=A

AD=A

, ∠A=∠A

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Треугольники ABD и A

равны по двум сторонам и углумежду

ними. Значит, ∠B=∠B

Таким образом,

треугольникиΔABC=ΔA

равны по стороне и двум прилежащим к

ней углам.

27. Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и биссектриса,

проведенная к другой стороне, прилежащей к данному углу, одного

треугольника соответственно равны углу, стороне и биссектрисе другого

треугольника, то эти треугольники равны.

Решение:

Приведём пример, показывающий, что равенства указанных в задаче

элементов треугольников недостаточно для равенства самих треугольников.

В треугольниках ΔABC и ΔABC

∠B - общий, AB - общая сторона,

биссектрисы AD и AD

равны. Однако треугольники ΔABC и ΔABC

не

равны.

28. Если у двух равнобедренных треугольников соответственноравны

основания и опущенные на них высоты, то такие треугольники равны.

Дано: ΔABC и ΔA

; AC=BC, A

, AB=A

, CH=C

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Прямоугольные треугольники ACH и A

равны по двум катетам.

Значит, AC=A

. Таким образом, треугольники ΔABC=ΔA

равны

по трем сторонам.

29. Два треугольника равны, если сторона, биссектриса и высота,

проведенные к двум другим сторонам, одного треугольникасоответственно

равны стороне, биссектрисе и высоте другого треугольника.

Дано: ΔABC и ΔA

; AB=A

AD=A

, BH=B

________________________________

Доказать, что ΔABC=ΔA

Доказательство:

1. Прямоугольные треугольники ABH и A

равны по гипотенузе и

катету. Следовательно, ∠A=∠A

. Треугольники ABDи A

равны по

двум сторонам и углу между ними. Следовательно, ∠B=∠B

. Таким

образом, треугольники ΔABC и ΔA

равныпо стороне и двум

прилежащим к ней углам.

30. Два треугольника равны, если угол, медиана и высота, проведенные из

вершин двух других углов, одного треугольника соответственно равны углу,

медиане и высоте другого треугольника.

Решение:

Приведем пример, показывающий, что равенства указанныхв задаче

элементов недостаточно для равенства треугольников.

Рассмотрим треугольник ABC. Проведем окружность с центромв

середине Mстороны BCи радиусом AM. Обозначим A

точку пересечения

этой окружности со стороной AC. В треугольниках ABC и A

BC∠С- общий,

медианы AM и A

Mравны, высота BH - общая. Однако треугольники ABC и

BC не равны.

Глава II. Практическая часть.

Мною было проведено исследование на параллели 9-х классов. В 9 «А»

классе на протяжении первой, второй четвертей и до настоящего времени на

уроках геометрии, а также на уроках подготовки к ОГЭ я использовал

данные задачи. Результаты показали, что качество знаний учащихся возросло

приблизительно на 19,5%. Также ученики стали выбирать задания по

геометрии из второй части решения ОГЭ, что раньше за ними не замечалось.

Я считаю, что использование данных задач просто необходимо!

Заключение

В настоящее время в России проблема геометрической «грамотности»

стоит очень остро. Учащиеся плохо справляются с геометрическими

заданиями, а особенно с задачами на доказательство;

Применение на уроках геометрии данного вида упражнений

способствует более глубокому освоению изучаемогоматериала, развитию

способностей отличать верное утверждение от неверного, рассуждать,

анализировать, аргументировать, доказывать.

Задачи с подобным неопределенным условием труднее, чем просто

задачи на доказательство. Отсутствие уверенности в справедливости

предложения, сформулированного вусловии задачи, накладывает

дополнительную, психологическуютрудность поиска решения. Но из этого

не следует, что решениемтаких задач не следует заниматься на уроках

математики. Наоборот, внедрение таких заданий просто необходимо!

Список литературы:

1. И. Смирнова, В. Смирнов 50 задач о равенстве треугольников, М.

«Чистые пруды», 2010

2. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев Геометрия 7-9. Учебник

для общеобразовательных учреждений. М., «Просвещение», 2014.

Скачать материал

Исследовательская работа "Решение задач на доказательство с неопределённым условием"

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы