Презентация "Тригонометрический круг" 10 класс

Владикавказское художественное училище имени Азанбека Джанаева

Тригонометрический

круг

Выполнила: Созиева З.С.

Тригонометрический круг

Радиус R = 1

х

у

1

1

Тригонометрический круг – это круг с радиусом равным единице и с центром в начале координат.

х

у

(1;0)

(0;1)

(-1;0)

(0;-1)

0°

90°

180°

270°

Градусная мера углов

360°

Четверти круга

1

2

3

4

Углы на тригонометрическом круге

х

у

Угол на круге определяется поворотом радиуса

За нулевое положение радиуса принято его положение на положительном направлении оси Х.

Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Х: с плюсом - против часовой стрелки, с минусом - по часовой стрелке.

+

-

х

у

х

у

Координаты положения радиуса

У

Х

ордината

(х0;у0)

абсцисса

У

Х

У

Х

У

Х

Радианная мера угла

Один радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу равную радиусу

Длина окружности 2πR

В окружности 2πR : R = 2π радиан

2π соответствуют 360°

2π --------------- 360°

π --------------- 180°

90° = 180° /2 = π /2

270° = 90°· 3 = 3π /2

0°

π /2

π

3π /2

Радианная мера углов в круге

2π

0°

1,57

3,14

4,71

6,28

Так как π = 3,14…, то

Перевод градусов в радианы

Перевести 120° в радианы.

Для перевода в радианы удобно пользоваться пропорцией.

π --------------- 180°

180°−−−−−−−−−−−− π

2

3

120° −−−−−−−−−−−− х

30° = π /6

45° = π /4

60° = π /3

Перевод радиан в градусы

Подставьте вместо π 180° и сократите

Перевести 3π /4 в градусы.

Определение тригонометрических функций

Повторение

α

У

Х

ордината

О

А

В

Заметим, ОА = R = 1

Синусом угла α является ордината точки А на круге,

получающаяся при повороте радиуса на угол α.

Синус угла α – это ордината (у) угла α

sinα

α

Определение тригонометрических функций

Повторение

α

У

Х

абсцисса

О

А

В

Заметим, ОА = R = 1

Косинусом угла α является абсцисса точки А на круге,

получающаяся при повороте радиуса на угол α.

Косинус угла α – это абсцисса (х) угла α

cosα

Определение тригонометрических функций

Повторение

α

У

Х

О

А

В

tgα, ctgα

У

Х

М

Sin α

Sin α

M

Синус – это ордината (y)

cosα

2) Косинусом угла α является абсцисса точки М на тригонометрическом круге,

получающаяся при повороте радиуса на угол α.

У

Х

Абсцисса - cosα

У

Х

М

cosα

cosα

M

Запомни! косинус – это абсцисса (x)

3) Тангенсом угла α является ордината точки В на оси тангенсов ( х = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью тангенсов при повороте радиуса на угол α.

tgα

У

Х

Ось тангенсов, х = 1

В

В

4) Котангенсом угла α является абсцисса точки В на оси котангенсов ( у = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью котангенсов при повороте радиуса на угол α.

сtgα

У

Х

Ось котангенсов, у = 1

В

В

π/2

0

π/2

π

3π/2

2π

3π/2

Красная линия - это плюс

Синяя – это минус

0

1

0

1

0

-1

-1

0

0

1

y

x

0 1 0 -1 0

1 0 -1 0 1

0 - 0 - 0

- 0 - 0 -

Значения тригонометрических функций

(1;0)

(0;1)

(-1;0)

(0;-1)

Диаметральные углы

Табличные значения

Значения тригонометрических функций

1

1

Ряд синуса

Для косинуса поменяйте крайние значения

Ряд тангенса

Для котангенса поменяйте крайние значения

Свойства триг. функций

1. Знаки по четвертям

Синус: знаки соответствуют знакам по оси У, косинус –по оси Х

Тангенс и котангенс в 1 четв.- плюс, далее знаки чередуются

1. Определять четверть нахождения угла; 2. Определить знак функции.

sin315º < 0, т.к угол 3 четв.

tg5π/6 <0, угол 2 четв.

cos2 11π/4 > 0, т.к Cos2

π/2

0

π/2

π

3π/2

2π

3π/2

Красная линия - это плюс

Синяя – это минус

Sin

Cos

Tg, ctg

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

+

-

5. Множество значений функций

tgx € R, ctgx € R,

-1 ≤ sin х ≤ 1, или |sinx | ≤ 1,

-1 ≤ cos х ≤ 1, или |cosx | ≤ 1,

Уметь находить множество значений функции, выражения

y = 3 -2sinx. E(y) = (1;5)

sinx = -1, y = 3+2 = 5

sinx = 1, y = 3-2 = 1

π

3π/2

2π

3π/2

π/2

1

-1

1

-1

|sinx | ≤ 1

|cosx | ≤ 1

Период

Период – это число, при прибавлении которого к аргументу значение функции не изменяется.

f(x +Т) = f(x)

Если Т – период, то Tn для n € Z тоже период. Считается Т – наименьший период

Так как f(x +Тn) = f(x), то Tn можно опустить

Примеры

1. sin 390º = sin (360º + 30º) = sin 30º = ½

2. sin 790º = sin (2∙360º + 30º) = sin 30º = ½

3. tg 210º = tg (180º + 30º) = tg 30º =

4. cos 7π/3= cos (2π + π/3) = cos π/3 = ½

5. cos (2π – β) = cos (-β) = cos β

6. sin (6π – 2α) = sin (-2α) = - sin 2α

sin, cos Т = 2π

tg, ctg Т = π

Четность, нечетность

Синус, тангенс, котангенс – функции

нечетные.

Минус у угла можно вынести за знак функции

Примеры

1. sin ( – х) = - sin х

2. sin ( π/4 – х) = - sin ( х - π/4 )

3. tg (- π/6) = - tg π/6 = -

4. cos (-7π/3)= cos 7π/3 = cos (2π + π/3) = cos π/3 = ½

5. cos (-β) = cos β

6. ctg ( 2α - π/2) = - ctg (π/2 - 2α )

Косинус – функция

четная.

Минус у угла можно опустить

Область определения

Синус, косинус

D(y) = R

Функции непрерывны на R

Tангенс

D(y) = R, x ≠ π/2 + πn

x = π/2 + πn – вертикальная асимптота

Котангенс

D(y) = R, x ≠ πn

x = πn – горизонтальная асимптота

tgx – определен при cosx ≠ 0

ctgx – определен при sinx ≠ 0

π/2

3π/2

0

π