Векторы простейшие задачи в координатах

• Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Часто, особенно при доказательстве различных неравенств, используется векторный метод.
• Метод координат - это подход к изучению свойств геометрических фигур, используя методы алгебры.

• Если в условиях задачи говорится о векторах или координатах
• Если в задаче требуется определить геометрическое место точек
• Для вычисления углов и расстояний

• Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца
• Нахождение координат середины отрезка
• Вычисление длины вектора
• Вычисление расстояния между двумя точками

• Если вектор задан координатами его начала ; , то чтобы найти его координаты, нужно из координат конца вектора вычесть координаты начала этого вектора:
• В случае пространственной задачи вектор , заданный координатами точек ; находится следующей формулой:

• Найти координаты при значении координат точек
• Решение:
• Ответ:

• Найти координаты если
• Решение:
• 1) I *3
3 3 2) I *2 2 2 3) 3 + 2 - 𝑐 ⃗{2;1;−3} _______________

• 1) I *3
3 3 2) I *2 2 2 3) 3 - 2 + {−1; 2; 0} _______________ Ответ:

• Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат концов отрезка:

• Найти медиану АЕ, медиану BF, медиану СК, если А(, В(2; 2; -3), С(2;0;-1).
• Решение:
• В(2; 2; -3)
С(2;0;-1) Е Е

• А(

Е(2;1;−2)

АЕ=

• А(

С(2;0;-1)

F

F

• В(2; 2; -3)

F

BF

• А(

В(2; 2; -3)

К

К

• С(2;0;-1)

К

CK=

• Ответ: AE=BF=, CK=

• Найти расстояние между серединами отрезков MN и PQ, если М(2;-1 ;3),
• N(-4;1; -1), Р(-3; 1; 2), Q(1;1;0).
• Решение:
• М(2;-1 ;3)
N(-4; 1; -1) С – середина MN С(-1; 0; 1)
• Р(-3; 1; 2)
Q(1;1;0) В – середина PQ B(-1; 1; 1)
• B(-1; 1; 1)
С(-1; 0; 1) ВС=
• Ответ: ВС=1

1

• Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.
• Для вектора , заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле :
• Длина вектора , заданного в пространстве, вычисляется по формуле :

• Найти длину вектора .
• Решение:
Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой:
• Ответ:

• Найти , , ,
• Решение:
==

=

==

=

7

==

=2

==

• Ответ: ==, =, =2, =

• Если точки A и B расположены на плоскости, то расстояние между ними считается по формуле:
• Если точки A и B находятся в трехмерном пространстве, расстояние вычисляется по формуле:

• На плоскости даны две точки: A (2, 5) и B (-3, 7). Найдем расстояние между ними.
• Решение:
Воспользуемся первой формулой, представленной выше:
• Ответ:

• Найти периметр треугольника АВС, если А(, В(2; 2; -3), С(2;0;-1).
• Решение:
• Р (АВС) = АВ+ВС+АС
• А(В(2; 2; -3)
АВ =

• Ответ: Р АВС =

3) В(2; 2; -3), С(2;0;-1)

ВС=

• А(С(2;0;-1)

АC =

• Р АВС =

• Найдите координаты вектора
, если
• Найдите длину вектора
,
• Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD, если А(2;0;-1), В(-1;2;3), С(4;-1;-2), D(1;-1;-2).
• Найдите медианы треугольника АВС, если А(3;1;-2), В(2;2;-3), С(2;0; -1).

• Найдите координаты вектора

, если

• Найдите длину вектора

,

• Найдите расстояние между серединами отрезков AB и CD, если А(-2;-1;0), В(-2;-3;2), С(4;1;-1), D(2;1;-1).
• Найдите медианы треугольника АВС, если А(3;4;-1), В(1;2;-3), С(5;0; -1).

Вариант 2

Вариант 1

Вариант 1

Вариант 2

• ,

• ,