Методическая разработка урока "Теорема Виета"

25.02.2021
Методическая разработка урока
Учитель математики Мелах И.Н.
ГБОУ СОШ №340 Невского района.
Тема: Теорема Виета
Цели урока:
раскрытие связей между корнями квадратного уравнения и его
коэффициентами (теорема Виета); формирование способа
конструирования квадратных уравнений по заданным корням
(обратная теорема Виета); рассмотреть различные задания на
применение теоремы Виета.
Тип урока: урок открытия новых знаний.
Ход урока
I. Целеполагание.
Ребята, сегодня у нас очередной урок по теме «Квадратные уравнения».
Вы уже умеете решать квадратные уравнения различными способами.
Почему тогда автор учебника предлагает изучить еще одну тему,
связанную с решением квадратных уравнений?
(- Значит, есть более рациональный, эффективный способ решения
квадратных уравнений)
Давайте попробуем определить цели нашего сегодняшнего урока, что мы
уже умеем делать, чему должны или можем научиться. Итак…
(На интерактивной доске высветить слайд с незаполненной таблицей и в
ходе обсуждения её заполнить)
О квадратных уравнениях
п/п
Что я знаю
Что не знаю
1.
2.
3.
Решать по формуле полные
квадратные уравнения
Решать неполные квадратные
уравнения
Решать задачи с помощью
квадратных уравнений
Новый способ решения
квадратных уравнений
Выслушать предложения ребят, скорректировать ответы, сделать
выводы и сформулировать цели урока.
Напишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока: Теорема Виета.
II. Изучение нового материала.
1 этап. Обзор. Мотивация.
На протяжении последних уроков мы занимались решением квадратных
уравнений.
Решая квадратные уравнения, вы, вероятно, уже заметили, что информация
об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже
открылось.
От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения?
(от дискриминанта)
Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения?
(из коэффициентов a, b, c)
В зависимости от того, какие коэффициенты квадратного уравнения, можно
определять корни неполных квадратных уравнений.
Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного
уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать
за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений.
Или учитель предлагает учащимся решить уравнение х
2
–2087х+2086=0. Вид
коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а
учитель называет корни этого уравнения сразу
Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств
либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики
ставят проблемный вопрос:
Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного
квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”
При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои
наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.
Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования
занесём в таблицу.
2 этап. Исследование – поиск путей решения проблемы.
Класс делится на группы по четыре человека. Каждая группа получает
задание и проводит исследование.
Задания для исследования каждой группе:
1 группа
1. х
2
+ 7х + 12 = 0
2. х
2
- 10х + 21 = 0
3. х
2
3х – 10 = 0
4. х
2
+3х – 10 = 0
5. х
2
+ 2х – 35 = 0
2 группа
1. х
2
+ 5х + 6 = 0
2. х
2
- 9х + 20 = 0
3. х
2
2х – 15 = 0
4. х
2
+ 2х – 15 = 0
5. х
2
+ х – 42= 0
З группа
1. х
2
+ 7х + 10 = 0
2. х
2
- 8х + 15 = 0
3. х
2
х 6 = 0
4. х
2
+ х – 6 = 0
5. х
2
+ 12х + 20 = 0
4 группа
1. х
2
+ 8х + 15 = 0
2. х
2
- 7х + 10 = 0
3. х
2
х 12 = 0
4. х
2
+ х – 12 = 0
5. х
2
+ 7х – 18= 0
5 группа
1. х
2
+ 10х + 21 = 0
2. х
2
- 7х + 12 = 0
3. х
2
х 30 = 0
4. х
2
+ х – 30 = 0
5. х
2
+ 13х + 30 = 0
6 группа
1. х
2
+ 9х + 20 = 0
2. х
2
- 11х + 30 = 0
3. х
2
5х – 14 = 0
4. х
2
+ 5x 14 = 0
5. х
2
6х + 8 =0
План исследования.
1. Заполните рабочий лист.
2. Сравните результаты колонок №2 и №5 по каждому уравнению,
найдите закономерность, сделайте вывод.
3. Сравните результаты колонок №3 и №6 по каждому уравнению,
найдите закономерность, сделайте вывод.
4. Ответьте на вопрос урока.
5. Подготовьте отчет.
Одна из групп, составленная из более сильных учащихся, проводит
исследование и на доске выполняет дополнительное задание, связанное с
нахождением суммы и произведения корней приведенного квадратного
уравнения в общем виде.
3 этап. Обмен информацией.
На доске вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа
при отчете записывает в эту таблицу только первое уравнение из своего
списка, вторая группа - только второе уравнение из своего списка, третья
третье уравнение и т.д. После отчета всех групп на доске появляется
заполненная таблица:
Рабочий лист
1
2
4
5
6
Приведенное
квадратное
уравнение
Второй
коэффициент
Корни
Сумма
корней
Произведение
корней
х
2
+ px + q = 0
p
x
1
и x
2
x
1
+ x
2
x
1
· x
2
х2 + 7х + 12 = 0
7
- 3 и - 4
- 7
12
х2 - 9х + 20 = 0
- 9
4 и 5
9
20
х2 – х - 6 = 0
- 1
- 2 и 3
1
- 6
х2 + х – 12 = 0
1
- 4 и 3
- 1
- 12
(проверяем заполнение учащимися таблицы, каждая группа оценивает свою
работу)
4 этап. Связывание информации.
Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями
приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Каждая группа
делает вывод о связи коэффициентов, вывод на доске. (х
1
2
= -р, х
1
х
2
=q.)
№ 573 (а-г) устно
- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме?
(Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а
заключением условие данной теоремы, называется теоремой, обратной
данной).
5 этап. Применение.
Попытаемся определить, какие задачи можно будет решать с помощью
прямой и обратной теоремы.
- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к
уроку и придумывала более полусотни приведенных квадратных уравнений?
- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно
составлять квадратные уравнения.
Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого
являются числа 4 и 5
1
+ х
2
=9=-р, р=9, х
1
∙х
2
=20=q, следовательно уравнение
имеет вид х
2
+9х+20=0)
Задание №1 (индивидуальная работа с последующей самопроверкой)
Найдите для каждого уравнения соответствующие корни, пользуясь теоремой
Виета:
Уравнение
Корни
Установите соответствие
1) x
2
-2x-3=0
2) x
2
-7x+10=0
3) x
2
+12x+32=0
4) x
2
+3x-18=0
5) x
2
+10x+25=0
А) x
1
= -5 x
2
= -5
Б) x
1
= 5 x
2
= 2
В) x
1
= - 6 x
2
= 3
Г) x
1
= -4 x
2
= -8
Д) x
1
= -1 x
2
= 3
Учащиеся выполняют задание самостоятельно, после выполнения проверяют
по эталону
Задание №2 дополнительное (индивидуальная работа)
Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного
квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее
его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под
своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены,
верно, то получится словосочетание:
Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и
выберите больший корень уравнения:
1. х
2
+ 7х + 10 = 0
2. х
2
х 20 = 0
3. х
2
+ 6х – 7 = 0
4. х
2
+ 11х + 24 = 0
5. х
2
+ 17х + 70 = 0
6. х
2
30 = 0
7. х
2
+ 10х – 11 = 0
8. х
2
+ х – 12 = 0
9. х
2
+ 11х + 28 = 0
10. х
2
4х – 21 = 0
11. х
2
+ 4х + 3 = 0
12. х
2
+ 7х - 18 = 0
13. х
2
+ 6х + 5 = 0
14. х
2
-9х +14 = 0
15. х
2
+ 13х + 42 = 0
16. х
2
+ 2х - 3 = 0
17. х
2
х 12 = 0
18. х
2
+ 12х + 35 = 0
19. х
2
-10х + 21 = 0
20. х
2
-х - 30 = 0
21. х
2
9х + 20 = 0
22. х
2
-11х + 24 = 0
Код: большему корню уравнения соответствует буква
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Ф
р
а
н
с
у
а
В
и
е
т
о
т
е
ц
а
л
г
е
б
р
ы
-11
- 10
-9
-8
-7
-6
-5