Конспект урока "Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла"
1
1. Число:
2. Тема урока: Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом
одного и того же угла
3. Тип урока: комбинированный
4. Цель урока: изучить зависимость между синусом, косинусом и
тангенсом одного и того же угла
5. Учебно-воспитательные задачи урока:
Образовательные
• Вывод основного тригонометрического тождества
• Закрепить умения применять формулы для вычисления значений синуса,
косинуса и тангенса угла по заданному значению одного из них
Развивающие
• Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале
• Формирований умений и навыков решения задач по изучаемой теме
Воспитательные
• воспитания интереса к предмету
• воспитание ответственного отношения к своему образованию.
6. Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник
«Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов,
Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин. М.: Просвещение,
2014.
7. План урока
№
Этапы урока
время
Методы и методические
приемы
1
Орг.момент
2 мин
Словесный(приветствие)
2
Опрос и повторение
7 мин
Словесный, практический
3
Изложение нового материала
13 мин
Словесный, практический
4
Закрепление материала
20 мин
Практический
2
5
Подведение итогов. Домашнее
задание. Рефлексия
3 мин
Словесный (запись на доске),
оценивание
8. Ход урока
I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности
класса к уроку. Сообщение темы и целей урока.
II. Опрос и повторение.
Какую окружность называют единичной?
Окружность, радиус которой равен единице.
- Как можно получить точку В(х;у)? (Поворотом точки А(1;0) вокруг начала
координат на угол ).
Дайте определение: синуса угла, косинуса угла, тангенса угла и котангенса
угла. (Синусом угла является ордината точки В(х;у). Косинусом угла
является её абсцисса).
-На сколько четвертей делится окружность осями координат Ох, Оу? (на 4)
- Какие знаки имеют синус, косинус и тангенс угла в этих четвертях?
- В какой четверти находится угол:
1) 90
0
<α<150
0
;
2) 0<α<π\2;
3) 180
0
<α<210
0
;
4) 3π\2<α<2π?
III. Объяснение нового материала.
Рассмотрим точку В(х;у), лежащую на
тригонометрической окружности . Она
получена поворотом точки А(1;0) вокруг
начала координат на угол . Обозначим
ординату и абсциссу точки.
Образовался прямоугольный треугольник
ОВС. По теореме
Пифагора
Рис.1.Точка В на тригонометрической
окружности
3
Катет ОС - это абсцисса точки В или , катет ВС- её ордината, или а
гипотенуза ОВ - радиус единичной окружности, ОВ=1.
Получаем формулу:
(1) основное тригонометрическое тождество.
Зная значения синуса, можно найти значения косинуса и наоборот.
(2)
(3)
Знаки перед корнем в этих равенствах определяются по знакам синуса и
косинуса.
Пример. Найти , если , .
Выясним знак косинуса, угол в 4 четверти,
Подставим значение в формулу (3), получаем:
Ответ: .
Пример. Могут ли одновременно выполняться
равенства и
Чтобы одновременно выполнялись эти равенства, необходимо выполнение
условия
.
Подставим данные значения в формулу и проверим верно ли равенство:
;
;
4
1=1, верно.
Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.
Пример. Известно, что , найти .
Возведём в квадрат левую и правую части равенста:
учтём, что ,
;
;
.
А какая же зависимость между тангенсом и котангенсом одного угла?
По определению: , .
Перемножим эти равенства и получим формулу, которая связывает тангенс и
котангенс:
.
(4)
и ,
причём угол и
Из этих формул видно, что тангенс и котангенс являются взаимнообратными
числами.
Если , то .
Пример. Могут ли одновременно выполняться
равенства и ? Подставляем данные значения в формулу (4)
и получаем верное равенство.
.
5
Ответ: данные равенства могут выполняться одновременно.
А есть ли связь между тангенсом и косинусом? Рассмотрим
равенство
и обе части возведём в квадрат: . Используя формулы (2) и (3),
получаем:
,
(5)
где
По этой формуле можно находить значение тангенса по заданному значению
косинуса и наоборот находить косинус, если известен тангенс.
Пример . Известно, что ; . Найти , и .
Угол в первой четверти, значит все значения положительны. Найдём их по
тригонометрическим формулам.
1. ;
2. ;
3. .
Применяя тригонометрические формулы, можно зная одно из чисел
, , и , найти остальные три. Эти формулы являются тождествами.
Определение: Равенство, верное для всех допустимых значений входящих в
него букв (таких, при которых его левая и правая части имеют смысл),
называется тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют
задачами на доказательство тождеств.
Рассмотрим некоторые приемы
1. Левую часть приводят к правой, или наоборот правую к левой.
6
2. Устанавливают то, что разность левой и правой частей равна нулю.
Пример. Доказать тождество:
Преобразуем левую часть:
Левая часть тождества равна правой. Доказано.
IV. Закрепление материала
Пример 1. Найти , если , .
Из условия видим, что угол в 3 четверти, значит . Используем
формулу (2):
Ответ: .
Пример 2. Найти , если , .
Угол находится в 4 четверти, тангенс отрицательный. Подставим данное
значение косинуса в формулу (5) и вычислим значение тангенса.
.
Ответ: .
Пример 3. Доказать тождество:
Преобразуем правую часть:
Правая часть тождества равна левой. Доказано.
Физкультминутка.
Дополнительные задания: №№ 456, 457 (1,3), 458, 459(1,3,5,7).
V. Итоги урока. Рефлексия
Домашнее задание. П.25 . №№ 457 (2,4), 459(2,4,6,8).
