Ученики на Учителя.com


Практическое занятие "«Многочлены и уравнения» для дисциплины «Практикум по решению математических задач»"

1
Практическое занятие по теме:
«Многочлены и уравнения» для дисциплины
«Практикум по решению математических задач»
Пояснительная записка
Практическое занятие по теме «Многочлены и уравнения» для
дисциплины «Практикум по решению математических задач» рассчитано на
студентов младших курсов классических университетов и педагогических
вузов, изучающих математику.
Целью данного практического занятия является углубление знаний
студентов области алгебры, обучение решению задач на многочлены и
уравнения повышенной сложности, подготовка будущего специалиста к
преподаванию школьных курсов математики, развитие абстрактно-
логического мышления.
Задачи практического занятия – сформировать представление о
методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических
уравнений повышенной сложности; формировать устойчивые знания по
предмету; вырабатывать самостоятельный и творческий подходы к изучению
математики.
Тип занятия – практикум.
Продолжительность занятия – 180 минут (3 часа).
Методы обучения – репродуктивный, исследовательский.
Формы организации работы – фронтальная, индивидуальная.
Оборудование и основные источники информации – доска, компьютер,
проектор, презентация, доступ к сети Интернет, платформа Online Test Pad.
Ход практического занятия
1. Организационный момент.
Цель: организация начала занятия, настраивание студентов на учебную
деятельность.
Содержание: преподаватель проверяет готовность аудитории и
студентов к занятию, отмечает отсутствующих на занятии.
2
Методы и приемы: приветственное слово, вербальное побуждение,
поручение.
2. Мотивация учебной деятельности. Целевая установка занятия.
Цель: активизация познавательной деятельности и интереса студентов
к изучению данной темы, постановка цели и задач занятия.
Содержание: преподаватель обозначает тему занятия, формулирует
цель занятия, обозначает план предстоящей работы на занятии.
Методы и приемы: беседа, исследовательский.
3. Актуализация опорных знаний по изучению темы.
Под многочленом от x будем понимать выражение вида
(1), где
n
aaa ,...,,
10
– некоторые числа,
называемые коэффициентами многочлена, а
x
- символ, вместо которого мы
можем подставить любое числовое значение.
Условимся обозначать многочлен (1) символом f(x): f(x)= =
. Коэффициент в выражении (1)
называется свободным членом этого многочлена. При x=0 многочлен (1)
принимает значение . Таким образом, значение произвольного многочлена
при x=0 равно свободному члену этого многочлена.
При x=1 многочлен (1) принимает значение . Таким
образом, значение произвольного многочлена при x=1 равно сумме всех
коэффициентов этого многочлена.
Число n называется степенью многочлена f(x) и обозначается deg f.
Если в многочлене, записанном в виде (1), коэффициент
0
a
при
n
x
отличен
от нуля, то слагаемое
n
xa
0
называется старшим членом, коэффициент
0
a
называется старшим коэффициентом, а сам многочлен называется
многочленом n-ой степени. Когда все коэффициенты многочлена (1)
обращаются в нуль, то многочлен называется нулевым многочленом и
обозначается символом 0.
n
a
n
a
nn
aaaa ++++
−110
...
3
Всякий отличный от нуля многочлен можно записать в виде (1), где
na ,0
0
– некоторое неотрицательное целое число. Такую запись называют
канонической записью многочлена n-ой степени.
Пример 1. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося
из многочлена
)75()13()723)(56(1
3252323452
+++−+−−+−++−+ xxxxxxxxxxx
приведением к каноническому виду.
Решение. Обозначим данный многочлен через f(x). Для того чтобы
определить сумму коэффициентов этого многочлена, вовсе не нужно
приводить его к каноническому виду, то есть раскрывать скобки, приводить
подобные члены и складывать коэффициенты получающегося многочлена.
Искомая сумма коэффициентов равна f(1). Полагая, что x=1 находим
1213113)1((...)01)1(
25
−=−=−++=f
. Таким образом, искомая сумма
коэффициентов равна – 12.
Два многочлена считаются равными, если их каноническая запись
одинакова, т.е. коэффициенты этих многочленов соответственно равны. Если
n
n
n
axaxaxP +++=
−
...)(
1
10
,
m
mm
bxbxbxQ +++=
−
...)(
1
10
– два многочлена в
канонической записи, то, по определению, равенство
)()( xQxP =
имеет место
в том только случае, если m=n и коэффициенты многочленов соответственно
равны, т.е.
1100
, baba ==
и т.д.
Из этого определения вытекает, что если P(x) и Q(x) – равные
многочлены, то для любого числа с значения этих многочленов при x=c
совпадают.
Таким образом, имеют место следующие теоремы:
Теорема 1. Если
)()( xQxP =
, то для любого числа c справедливо
равенство
)()( cQcP =
.
Теорема 2. Если для любого числа c справедливо равенство
)()( cQcP =
,
то
)()( xQxP =
.
Теорема 3. Если
)()( xQxP
, то существует такое число с, что
)()( cQcP
.
4
Теорема 4. Если существует такое число с, что
)()( cQcP
, то
)()( xQxP
.
Теорема 5. Пусть P(x) и Q(x) – два многочлена, степень каждого из
которых не превосходит n. Тогда, если значения многочленов P(x) и Q(x)
совпадают в n+1 точках, то
)()( xQxP =
.
Сумма, разность и произведение двух многочленов также являются
многочленами. Пусть даны многочлены
n
n
n
axaxaxP +++=
−
...)(
1
10
и
m
mm
bxbxbxQ +++=
−
...)(
1
10
, тогда выражения
)()...()()(
110
1
10 mm
m
n
nn
bxbxbaxaxaxQxP ++++++=+
−
−
,
)()...()()(
110
1
10 mm
m
n
nn
bxbxbaxaxaxQxP ++−+++=−
−
−
,
)()...()()(
110
1
10 mm
m
n
nn
bxbxbaxaxaxQxP +++++=
−
−
легко приводятся к виду (1)
раскрытием скобок и приведением подобных членов.
Перейдем к рассмотрению деления многочленов. Пусть f(x) и g(x) – два
многочлена, причем многочлен g(x) отличен от нуля. Если существует такой
многочлен q(x), что f(x)=g(x)q(x), то говорят, что g(x) является делителем
многочлена f(x), а многочлен q(x) называют частным от деления f(x) на g(x).
На множестве многочленов всегда выполнимо деление с остатком.
Разделить с остатком многочлен f(x) на многочлен g(x) – это значит найти
такие многочлены q(x) и r(x), что f(x)=g(x)q(x)+r(x) (4), причем степень r(x)
строго меньше степени g(x). Многочлен g(x) называется (неполным)
частным, а r(x) – остатком.
Теорема 6 (о делении с остатком). Для любых многочленов f(x) и g(x),
где g(x)
0
, существует единственная пара многочленов q(x) и r(x) таких, что
выполняется равенство f(x)=g(x)q(x)+r(x), причем deg f(x) < deg g(x).
Пример 3. Произвести деление с остатком многочлена
523
234
−++− xxxx
на
32
2
−+ xx
.
523
234
−++− xxxx
|
155
32
2
2
+−
−+
xx
xx
234
32 xxx −+
5
555
23
−++− xxx
xxx 15105
23
+−−
51415
2
−− xx
453015
2
−+ xx
4044 +− x
Мы видим, что частное равно
155
2
+− xx
, а остаток равен
4044 +− x
.
Теорема 7. Если f(x) и g(x) – многочлены с целыми коэффициентами,
причем старший коэффициент многочлена g(x) равен 1 или -1, то и частное
q(x) и остаток r(x), получающиеся при делении f(x) на g(x), также являются
многочленами с целыми коэффициентами.
Теорема 8. Если делимое и делитель – многочлены с рациональными
коэффициентами, то частное и остаток также являются многочленами с
рациональными коэффициентами.
Схема Горнера. Покажем на примере деления многочлена
на .
Сначала заполняем верхнюю строчку, выписываем туда коэффициенты
многочлена, а также записываем число b в левую клетку второй строчки:
b
Затем заполняем вторую строку следующим образом:
b
Число в правом нижнем углу таблицы – остаток P(b). Числа во второй
строке между числом b и остатком – коэффициенты частного в порядке
убывания.
Алгебраическим уравнением называется уравнение f(x)=0, где f(x) –
некоторый многочлен. Если f(x) – многочлен n-ой степени, то уравнение
f(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-ой степени.
01
2
2
3
3
)( axaxaxaxP +++=
bx −
3
a
2
a
1
a
0
a
3
a
2
a
1
a
0
a
3
a
23
aba +
123
)( aabab ++
0123
))(( aaababb +++
6
При решении алгебраических уравнений полезна следующая теорема,
называемая теоремой Безу.
Теорема Безу (9). Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен x - a
равен f(a), то есть равен значению этого многочлена при x=a.
В самом деле, произведем деление с остатком многочлена f(x) на x – a:
,
где остаток r(x), если он не равен нулю, является многочленом, степень
которого меньше степени делителя x – a, то есть равна нулю. Поэтому r(x)=r
является числом: .
Теорема 10. Если а – корень многочлена f(x), то этот многочлен
делится на x – a.
Теорема 11. Если все коэффициенты многочлена
n
n
n
axaxaxf +++=
−
...)(
1
10
являются целыми числами, то всякий целый корень
этого многочлена является делителем свободного члена .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Возьмем свободный член 12 и выпишем его делители: 1; – 1;
2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; – 6; 12; – 12. Теперь, подставляя эти числа в многочлен
f(x)= , проверим, нет ли среди них корней этого
многочлена. Находим, что f(1)=24, f(–1)= –24, то есть не являются корнями;
f(2)=0, то есть 2 есть корень многочлена f(x).
По теореме 10 многочлен f(x) делится на x-2. Производя деление,
находим . Опять выписываем делители
свободного члена 6: 1; – 1; 2; –2; 3; –3; 6; – 6, подставляя их в многочлен,
находим корень: –3. Производим деление и находим
. Для нахождения оставшихся корней нужно
решить квадратное уравнение, что даст еще два корня: . Таким
образом, исходное уравнение имеет четыре корня: .
)()()()( xrxqaxxf +−=
rxqaxxf +−= )()()(
n
a
01228134
234
=++−− xxxx
01228134
234
=++−− xxxx
)6172)(2()(
23
−−−−= xxxxxf
)25)(3(6172
223
−−+=−−− xxxxxx
33
2
1
2
5
33
2
1
2
5
,3,2
4,321
=−== xxx
7
Теорема 12. Любой многочлен n-ой степени
n
n
n
axaxaxf +++=
−
...)(
1
10
(где n ˃ 0) может быть представлен в виде произведения
.
4. Систематизация полученных знаний и умений.
Цель: систематизация и закрепление полученных на занятии знаний и
умений, повышение уровня осмысления изученного материала, глубины его
понимания студентами.
Содержание: преподаватель организует деятельность студентов по
воспроизведению существенных признаков изученных познавательных
объектов, по отработке изученного материала, способов действий, алгоритма
практических манипуляций посредством их применения в ситуациях по
образцу и измененных ситуациях.
Методы и приемы: исследовательский, репродуктивный.
Практические упражнения.
1. Найти сумму коэффициентов многочлена, полученного после
раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в выражении
200820092010
)1()2()3( −−− xxx
.
Решение. Обозначим данное выражение через f(x). Используя то, что
значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена f(x), получаем
0)11()21()31()1(
200820092010
−−−−=f
.
Ответ.0
2. Найти неизвестные коэффициенты, при которых будет выполняться
следующее равенство
47)1)(32(1458
323234
+−−+++=++−− xcxbxaxxxxxx
.
Решение. Перемножая многочлены в правой части равенства и приводя
подобные слагаемые, получим
.1)23()32()732(2
47333322221458
234
323234234
+−+++−++=
=+−−+++−++=++−−
xcxbcxabax
xcxbxaxxcxbxaxxxxx
Из определения равенства многочленов следует:
82 =a
,
1732 −=−+ ab
,
532 −=+ bc
,
123 =−c
. Отсюда получаем a=4, b=-3, c=2.
,0a
))...()(()(
210 n
cxcxcxaxf −−−=
8
Ответ. a=4, b=-3, c=2
3. Разделить многочлен
591756
234
−+−+ xxxx
на многочлен
543
2
−+ xx
.
Решение. Произведя деление уголком, находим, что частное равно
12
2
−− xx
, остаток равен
108 −x
.
4. Подобрать числа a,b,и c таким образом, чтобы выполнялось
равенство
321)3)(2)(1(
5
−
+
−
+
−
=
−−−
+
x
c
x
b
x
a
xxx
x
.
Решение 1. Приведем дроби в правой части к общему знаменателю,
перепишем требуемое равенство в виде
)3)(2)(1(
)2)(1()3)(1()3)(2(
)3)(2)(1(
5
−−−
−−+−−+−−
=
−−−
+
xxx
xxcxxbxxa
xxx
x
. Таким образом,
задача заключается в том, чтобы подобрать числа a,b,c для которых
выполняется равенство
)2)(1()3)(1()3)(2(5 −−+−−+−−=+ xxcxxbxxax
. (3)
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, перепишем это равенство в
виде
)236()345()(5
2
cbaxcbaxcbax +++++−++=+
. Согласно определению
равенства многочленов, справа должен стоять многочлен первой степени с
теми же коэффициентами, что и у многочлена, стоящего слева. Должны
выполняться соотношения a+b+c=0, 5a+4b+3c=-1, 6a+3b+2c=5.
рассматривая эти соотношения как систему уравнений относительно a,b, и c
и решая эту систему, находим требуемые значения: a = 3, b = –7, c = 4.
Решение 2. Находим, что задача заключается в отыскании чисел a,b, и
c, для которых выполняется равенство (3). Согласно теореме 1 из равенства
двух многочленов вытекает совпадение их значений для любого x.
Подставим в равенство (3) x = 1, x= 2, x = 3 и получим 6 = 2a, 7 = - b, 8 = 2c.
Отсюда, находим следующие значения: a = 3, b = –7, c = 4.
5. Найти остаток от деления на .
Решение. Деление с остатком многочлена на
приводит к следующему результату: , где
– неполное частное, а . Определим числа a и b. При x=1 находим
12
51100
+− xx
1
2
−x
12
51100
+− xx
1
2
−x
)()()1(12
251100
baxxqxxx ++−=+−
)(xq
baxxr +=)(
9
, при x=–1 получаем . Получаем систему уравнений
Решив ее, находим: b=2, a= –2. Следовательно, искомый остаток равен
.
6. Разложите на множители многочлен .
Решение. Найдем целочисленный корень этого многочлена, выпишем
делители свободного члена: 1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; – 6; 12; – 12, 24, –24.
Подставим их поочередно в f(x) и найдем, что f(1), f(–1) не является
корнем; f(2)=0 – корень данного многочлена. Разделим многочлен
на разность (x-2), получим в частном квадратное уравнение
. Корнями уравнения являются числа –3 и 4. В итоге получим:
.
7. Многочлен разделить на с остатком,
используя схему Горнера: а) ; б) .
Решение. а) коэффициенты f(x) соответственно равны 3, 0, –5, 3, –1.
Выполним деление по схеме Горнера:
3
0
–5
3
–1
2
3
6
7
17
33
Получим неполное частное и остаток r=33.
Одновременно, мы вычислили значение многочлена f(2)=33.
б) разделим теперь многочлен f(x) на x+2 с остатком. Получим:
3
0
–5
3
–1
2
3
–6
7
–11
21
В результате имеем: а) ,
б) .
8. Многочлен f(x) не содержит членов четной степени. Остаток от
деления этого многочлена на x-3 равен 3. Найти остаток от деления
многочлена f(x) на .
ba +=0
ba +−=4
=−
=+
4
,0
ab
ab
22 +− x
24103
23
+−− xxx
24103
23
+−− xxx
12
2
−− xx
)4)(3)(2(24103
23
−+−=+−− xxxxxx
1353)(
24
−+−= xxxxf
0
xx −
2
0
=x
2
0
−=x
17763
23
+++ xxx
33)2(,33)11763)(2()(
23
=+−+−−= fxxxxxf
21)2(,21)11763)(2()(
23
=−+−+−+= fxxxxxf
9
2
−x
10
Решение. Представим многочлен в виде: . Так как
степень делителя равна 2, то степень остатка не превышает 1, тогда
. Отсюда, (1).
По условию f(x) при делении на x-3 дает в остатке 3. Тогда по теореме
Безу f(3)=3. Так как многочлен f(x) не содержит ни одного члена четной
степени, то . Придавая x значения 3 и –3 из соотношения (1)
получаем систему из двух уравнений соответственно:
то есть остаток .
Ответ. Остаток от деления многочлена f(x) на равен x.
9. Решите уравнение .
10. Некоторый многочлен при делении на двучлен дает в остатке
5, а при делении на двучлен дает в остатке 7. Найти остаток от деления
этого многочлена на .
Решение. Пусть , где - остаток,
который надо найти. По теореме Безу f(2)=5, а f(3)=7. Подставим x=2 и x=3 в
правую часть написанного выше тождества и получим систему относительно
a и b откуда .
Ответ. .
5. Методические указания преподавателя к самостоятельной
работе студентов.
Цель: подготовка студентов к самостоятельной работе.
Содержание: преподаватель предлагает студентам в качестве
самостоятельной работы пройти тест по теме «Многочлены и уравнения» на
платформе Online Test Pad - https://onlinetestpad.com/hm3tb23kj7hd6,
транслирует инструкцию к выполнению теста, его структуру, время
выполнения и шкалу оценивания, поясняет условия техники безопасности и
правила организации рабочего места.
)()()9()(
2
xrxqxxf +−=
BAxxr +=)(
BAxxqxxf ++−= )()9()(
2
3)3()3( −=−=− ff
=
=
−=+−
=+
,0
,1
33
,33
B
A
BA
BA
xx =+ 01
9
2
−x
061072
23
=−+− xxx
2−x
3−x
)3)(2( −− xx
baxxqxxxf ++−−= )()3)(2()(
bax +
=+
=+
,73
,52
ba
ba
1,2 == ba
12 +x
11
Методы и приемы: информационный (устное объяснение),
демонстрационный, эвристическая беседа, письменная инструкция.
6. Самостоятельная работа студентов.
Цель: формирование, закрепление практических умений.
Содержание: преподаватель организует и контролирует выполнение
студентами тестирования, направленного на формирование практических
умений и развитие способностей применять теоретические знания в
практической деятельности.
Методы и приемы: репродуктивный, исследовательский.
7. Подведение итогов.
Цель: подведение итогов занятия, формулирование выводов,
оценивание деятельности студентов на занятии.
Содержание: преподаватель совместно со студентами обсуждают итоги
работы на занятии, обращаясь к поставленным целям занятия, делают
выводы об их достижении; преподаватель дает оценку деятельности
студентов, выставляет отметки, комментируя их.
Методы и приемы: беседа, методы мотивации и эмоционального
стимулирования (создание ситуации успеха).
8. Задание на дом.
Цель: информация для студентов о подготовке к следующему занятию
Содержание: преподаватель называет тему следующего практического
занятия, определяет вопросы для подготовки, называет учебную литературу с
указанием страниц. Студенты разбиваются на микрогруппы по 3-4 человека
и готовят доклад с презентацией по одной из тем (интерактивное творческое
задание).
Методы и приемы: устное сообщение, письменный метод - перечень
вопросов для подготовки к итоговому занятию.
Домашнее задание.
1. Найти остаток от деления многочлена
39801225
2345
+−+++ xxxxx
на
многочлен
3
2
++ xx
.
12
2. Найти остаток от деления
9798100
xxx ++
на
1
2
+x
.
3. Найти значение a, при котором данное равенство верно для всех x:
3510)16()72)(52( +++=++ axaax
.
4. Найдите сумму коэффициентов многочлена
34522482
)571()421( xxxx +−−+
.
5. Решите уравнение .
6. Пользуясь схемой Горнера, выполните деление с остатком:
6.1) на ;
6.2) на ;
6.3) на .
7. Известно, что остаток от деления многочлена f(x) на x-1 равен 2, от
деления на x-3 равен 1. Найдите остаток от деления f(x) на .
Интерактивное творческое задание.
1. Теорема Виета.
2. Кратные множители многочлена
3. Многочлены от нескольких переменных
4. Системы нелинейных уравнений
5. Методы работы с алгебраическими иррациональностями
6. Применение теории многочленов в кодировании
044
23
=+−− xxx
53872
245
−+−+ xxxx
2+x
118623
346
+−+− xxxx
5,1+x
9050248
234
+−+− xxxx
2−x
34
2
+− xx
13
Список использованных источников
1. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В. Лекции и задачи по элементарной
математике: учебник. – М.: Наука, 1972. – 592 с.
2. Соболев А.Б., Вигура М.А. Элементарная математика: учебное
пособие. – Екатеринбург, 2005. - 81 с
3. Карп, А. П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учебное
пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / А.П. Карп.
М.: Просвещение, 1995. 176 с.
4. Ларин, С. В. Методические вопросы алгебры многочленов:
монография / С. В. Ларин. Красноярск: Краснояр. гос. пед. ун-т.им. В.П.
Астафьева, 2008.
5. Болтянский, В. Г. Симметрия в алгебре / В.Г.Болтянский. М.:
МЦНМО, 2002. 240 с.
6. Винберг, Э.Б. Алгебра многочленов / Э.Б. Винберг. М. :
Просвещение, 1980. 176 с.
7. Олехник, С. Н. Нестандартные методы решения уравнений и
неравенств: Справочник / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. М.:
Изд-во МГУ, 1991.
8. Литвиненко, В.Н. Практикум по элементарной математике: Алгебра.
Тригонометрия: Учеб. Пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов /
В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. М. : Просвещение, 1991. 325 с.
Разработала: студентка 2 курса механико-математического
факультета ФГБОУ ВО «СГУ имени Н.Г. Чернышевского» Якубалиева
Замира Жумагалиевна.
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: