Практическое занятие "Иррациональные уравнения с параметрами"
1
Практическое занятие:
«Иррациональные уравнения с параметрами»
Цели занятия:
1. Образовательные – дальнейшее формирование умений систематизировать,
обобщать, видеть закономерности; формирование умения решать задачи
разными способами, привлекая разнообразный теоретический материал из
всего курса; формирование умения решать задачи с параметрами;
формирование графической культуры учащихся.
2. Развивающие – развитие мыслительных операций посредством наблюдений,
сравнений, сопоставления, сознательного восприятия, учебного материала;
развитие математической речи учащихся, потребности к самообразованию,
способствование развитию творческой деятельности учащихся.
3. Воспитательные – воспитание познавательной активности, чувства
ответственности, уважения друг к другу, взаимопонимания, уверенности в
себе.
Ход занятия
Задачи с параметрами относятся к наиболее трудным заданиям. Это связано с тем,
что они требуют хорошего понимания «глубинных» свойств функций, и их решение носит
творческий характер. Однако знание некоторых простых правил и алгоритмов
необходимо.
Сегодня мы поговорим о решении иррациональных уравнений. Иррациональные
уравнения довольно часто становятся «камнем» преткновения на экзаменах. О некоторых
способах их решения и пойдет речь на уроке, причем в основном будем иметь дело с
квадратными корнями. Как правило, такая задача решается, если нам удается избавиться
от радикалов и свести её к «обычным» уравнениям, не содержащим корней.
Начнем занятие с проверки домашнего задания.
Задача1.
Найти значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет только одно решение.
Для решения вы разбились на учебные группы, согласно вашим интересам, а я была
вашим групповым консультантом. Для решения задачи вам было предложено найти
различные способы решения, а на уроке презентовать наиболее понравившийся способ.
ахх 1
2
Всем известно, что полезнее решить задачу несколькими способами, чем несколько задач
одним. «Важнейшая задача цивилизации – Научить человека мыслить» Т.Эдисон.
Давайте посмотрим, что у вас получилось.
Итак, первая группа.
Ответ:
I способ
3
3
II способ
Ответ:
4
III способ
Ответ:
5
4
IV способ
a
x
0-1
Ответ:
6
Спасибо вам. Хочется отметить тот факт, что решая, задачу непохожими друг на друга
способами вы привлекаете разнообразный теоретический материал из всего курса алгебры
и начал анализа, тем самым вы повторяете программный материал, готовясь к экзаменам.
«Не так уж и трудно задачи решать: Проблема дает вдохновенье».
А теперь давайте перейдем от разбора домашней задачи к не менее интересной
Залача. Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Решение.
Данное уравнение равносильно системе:
Один из способов – найти корни квадратного уравнения, затем найти значения параметра
а, при которых каждый из корней удовлетворяет условию
. Сегодня этот способ
предлагала первая группа. Однако, при этом подходе мы получим сложные
иррациональные неравенства.
5
Поэтому я предлагаю рассмотреть функцию f(x) =
. График –
парабола, ветви которой направлены вверх.
Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо, чтобы парабола
пересекала ось абсцисс в точках, для которых
.
Рассмотрим все случаи расположения параболы по отношению к
промежуткам
∞
∞.
1 случай.
2 случай
3 случай
4 случай
5 случай
х
-2
2
-2
2
х
-2
2
x
-2
2
х
,
,
f (-2) = , f(2)=
Решений нет
Решений нет
6
Ответ: ∞
∞.
Вы обратили внимание, что при решении задачи мы рассмотрели много случаев
расположения параболы относительно заданного промежутка. Однако этого можно
избежать, если решить противоположную задачу: «Найти значения параметра а, при
которых уравнение не имеет решений. Затем, найденное множество исключить из ОДЗ
параметра, получившееся множество и будет решением.
3 способ.
Объединяя значения параметра а, получаем: при
решений нет, значит при
∞
∞ уравнение имеет хотя бы одно решение.
Ответ: ∞
∞.
4 способ.
-2
2
х
Решений нет
-2
2
х
1) D , (
.
.
7
,
,
.
1. Д(y) = R\{1}
2. C OY: (0;5)
C OX: (
)
3.
′
4.
′
, x=0, x=2
5.
′
; y(0)=5, y(2)=7.
6. x=1 – вертикальная асимптота
- Наклонная асимптота
∞
∞
7. f (2) = 7
f (-2) =
8
Из рис. видно, что при
и графики функций и
,
пересекаются. Значит, исходное уравнение при
∞
∞
имеет хотя бы один корень.
Ответ:
и .
Следующая задача, думаю не вызовет у вас затруднений.
Задача. Найти значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней
Решение.
Данное уравнение равносильно системе:
.
Исходное уравнение не имеет корней в двух случаях: если квадратное уравнение не имеет
корней (D , и если корни уравнения меньше 1.
Рассмотрим функцию f(x) =
.
1
2.
Объединяя решения по параметру а, получаем
D
.
1
x
.
.
.
9
ответ: при
∞
решений нет.
При решении всех рассмотренных иррациональных уравнений мы использовали формулы
равносильного перехода. При решении следующего уравнения мы воспользуемся
нестандартными методами.
Итак, задача.
Задача.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет более трех
различных корней
Анализ задания и поиск решения
• Особенностью данного уравнения является то, что оно в неявном виде содержит
одинаковые операции над выражениями
• План решения может быть таким:
1. Записать данное уравнение в виде
2. Убедиться, что - монотонная функция.
3. Осуществить переход к уравнению и решить его.
Решение.
1). Используя свойства модуля (
), степени (8
и внесение
множителя под знак корня (
, заменим исходное уравнение
равносильным.
.
2). Получим функцию
, имеющую смысл при и возрастающую
при (как сумма двух возрастающих функций). Исходное уравнение, в этом случае,
стало вида F(f(x)) = F(g(x)), где
,
.
3). Воспользуемся теоремой: Если функция монотонна на промежутке I, то уравнение
F(f(x)) = F(g(x)) на промежутке Iравносильно уравнению f(x) = g(x).
Получили уравнение
равносильное данному.
Пусть
Уравнениеприметвид
Так как требуется найти все значения а, при которых данное уравнение, а , значит и
равносильное ему уравнение должно иметь более трех различных корней, то для этого
10
необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение
имело два
различных положительных корня. Это будет выполняться при условии:
.
Ответ:
Задача
Найти все значения параметра а, при которых уравнение
имеет различных корней.
Решение:
1). Пусть число различных корней уравнения равно n. По условию задачи = n
2). Исходное уравнение равносильно системе:
,
которая может иметь не более двух различных решений. Значит, n может принимать
значения 0, 1 и 2.
3). Предположим, что n=0. Тогда
При а=3 система имеет вид
Ø
В этом случае система, значит, и исходное уравнение не имеет решений, т. е.
действительно n=0.
Следовательно, а = 3 удовлетворяет условию задачи.
При а = 5 система принимает вид:
.
Откуда n=1, что противоречит предположению n= 0.
4). Пусть n = 1. Тогда
При этом система
11
на самом деле имеет одно решение.
Значит, исходное уравнение имеет один корень, и а =4 также удовлетворяет условию
задачи.2
5) Если n = 2, то условие задачи
не может выполняться, т. к. D< 0
Ответ: а=3, а=5.
"Не так уж и трудно задачи решать:
Проблема дает вдохновенье
Искусство же в том, чтоб суметь отыскать
Задачу, когда есть решенье".
П. Хэйн
Алгебра - еще материалы к урокам:
- Презентация "Проценты в жизни человека. Решение текстовых задач" 6 класс
- Конспект урока "Проценты в жизни человека" 6 класс
- Методическая разработка "Решение логарифмических уравнений с параметрами" 11 класс
- Конспект урока "Линейное уравнение с одной переменной" 7 класс
- План-конспект урока "Деление многочлена на одночлен" 7 класс
- Презентация "Применение показательной функции"
