Презентация "Разные способы решения одного тригонометрического уравнения"

Разные способы решения

одного тригонометрического уравнения

Выполнила: Каменец Людмила Александровна,

учитель математики МБОУ Лакомобудской ООШ

Климовского района Брянской области

sin x + cos x = 1

Решите уравнение

1. Графический способ

sin x + cos x = 1,

sin x = 1 - cos x

у = sin x,

у = 1 - cos x

х1=П/2 + 2Пп, п Z

х2= 2Пп, п Z

sin x + cos x = 1

2. Сведение к однородному уравнению

второй степени

2 sin x/2 * cos x/2 + cos2 x /2 – sin2 x /2 - sin2 x/2 - cos2 x/2 = 0

2 sin x/2 * cos x/2 – 2 sin2 x /2 = 0

2 sin x/2 * (cos x/2 – sin x/2 )= 0

2 sin x/2 = 0

или

cos x/2 – sin x/2 = 0

sin x/2 = 0

x/2 = П п, п Z

х1= 2Пп, п Z

tg x/2 = 1

x/2 = П /4 + П п, п Z

х2=П/2 + 2Пп, п Z

|: cos x/2 ≠0

sin x + cos x = 1

3. Использование тригонометрических формул

sin x + sin (П/2 - x ) = 1

Преобразуем сумму синусов

в произведение.

х1=П/2 + 2Пп, п Z

х2= 2Пп, п Z

По формуле приведения cos x= sin(П/2 - x ).

sin x + cos x = 1

4. Возведение в квадрат обеих частей уравнения

1 + 2 sin x*cos x = 1

sin 2x = 0

2x = П п, п Z

• Проверка:
Числа П, (3П) /2, 3П … посторонние корни (не обращают данное уравнение в верное равенство).

x = (П п) /2, п Z

Значит корни уравнения

0 , П /2, 2П, (5П ) /2 ... т.е.

х1=П/2 + 2Пп, п Z

х2= 2Пп, п Z

х = 0, П /2, П, (3П) /2,

2П, (5П ) /2, 3П …

sin x + cos x = 1

5. Введение вспомогательного аргумента

Разделим обе части уравнения на

Так как 1/ = sin П/4 = cos П/4, то

П Z

х1=П/2 + 2Пп, п Z

х2= 2Пп, п Z

sin x + cos x = 1

6. Метод введения новой переменной

Пусть sin x = а, cos x = b. Добавим основное тригонометрическое тождество, составим и решим систему уравнений:

Возвращаемся к подстановке:

или

х= 2Пп, п Z

х=П/2 + 2Пп, п Z

7. Универсальная подстановка

В тригонометрии так называют формулы ,выражающие

функции через тангенс половинного угла.

где

, где

sin x + cos x = 1

7. Универсальная подстановка

или

sin x + cos x = 1

• Аналитический метод

(метод оценивания)

1). Если аргумент находится

в I четверти, то

0 < sin x < 1, 0 < cos x < 1.

Значит, sin x > sin2 x

cos x > cos2 x

sin x + cos x > sin2x +cos2x

Итак: sin x + cos x > 1

Уравнение корней

не имеет.

2). Если аргумент находится

во II четверти, то

0 < sin x < 1,

-1 < cos x < 0

-1< sin x + cos x <1

Уравнение корней

не имеет.

sin x + cos x = 1

• Аналитический метод

(метод оценивания)

3). Если аргумент находится

в III четверти, то

sin x < 0, cos x < 0.

Значит, sin x + cos x< 0

Уравнение корней не имеет.

4). Если аргумент находится

в IV четверти, то

-1 < sin x < 0,

0< cos x < 1

-1< sin x + cos x <1

Уравнение корней

не имеет.

Проверим решения в «граничных» точках.

Вычисления подтверждают, что уравнение имеет корни:

х=П/2 + 2Пп, п Z

х= 2Пп, п Z

Литература

• Соболь Б. В., Виноградова И.Ю. Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. Изд. 7-е. - Ростов н/Д: «Феникс», 2004.

2. Подгорная И.И. Уроки математики. Пособие для поступающих

в вузы. - М., 21006.

3. Шарыгин И.Ф. Математика: решение задач: 10 кл. 3-е изд.- М.:

Просвещение, 21007. (Профильная школа).