Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С

Мастер-класс по теме:
«Решение геометрических задач ЕГЭ по математике из части С»
Преподавая много лет в старших классах, я увидела, что учащиеся имеют очень большие
затруднения в изучении геометрии. На экзаменах по математике задача по геометрии
является самым трудным заданием. Окончив 9 классов и изучив планиметрию, ученик
должен, казалось бы, уметь решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не
только не умеют решать задачи, даже боятся за них браться. Я не могла согласиться с
таким положением дел. Мне было бы очень обидно терять баллы на этих задачах .Помочь
учащимся можно было бы, заинтересовав их изучением геометрии и организовав их
деятельность таким образом, чтобы был результат. Необходимо постоянно повторять,
контролировать, организовывать взаимопроверку и самопроверку на уроках и во
внеурочное время, чтобы вызывать постоянный интерес к решению задач.
Рассмотрим некоторые задачи:
Расстояние между прямыми и плоскостями
1. Задание 14
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна а
высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N середины рёбер CD и AB, соответственно, а
NT высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.
а) Докажите, что точка T является серединой SM.
б) Найдите расстояние между NT и SC.
Решение.
а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T
лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной
плоскости ABC.
Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT его высота. Следовательно, T
середина SM.
б) Пусть E основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC.
Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT высота пирамиды NSCD.
Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть
искомое расстояние.
Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно, откуда
О тв ет: б)
2. Задание 14
Основанием прямой треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
является прямоугольный
треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC
1
A
1
является квадратом.
а) Докажите, что прямые CA
1
и AB
1
перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA
1
и AB
1
, если AC = 4, BC = 7.
Решение.
а) Заметим, что как катеты прямоугольного треугольника, и ,
поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
. Кроме того, как диагонали квадрата.
Имеем: − наклонная, − проекция на плоскость , − прямая в плоскости
, перпендикулярная проекции. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах
что и требовалось доказать.
б) Пусть M − середина AC
1
. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до
прямой AB
1
, поскольку прямая A
1
C перпендикулярна AB
1
C
1
. Это расстояние равно
половине высоты прямоугольного треугольника AB
1
C
1
, проведённой к гипотенузе:
О тв ет: б)
Сечения многогранников
1. Задание 14
В основании правильной треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
лежит треугольник со стороной
6. Высота призмы равна 4. Точка N середина ребра A
1
C
1
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью BAN.
б) Найдите периметр этого сечения.
Решение.
а) Проведём через точку N прямую, параллельную прямой AB, до пересечения с прямой
B
1
C
1
в точке K. Трапеция ABKN искомое сечение.
б) Имеем A
1
N= 3, так как точка N середина ребра A
1
C
1
. Значит,
Аналогично BK = 5.
Далее NK = 3, как средняя линия треугольника A
1
B
1
C
1
. Следовательно, искомый периметр
сечения равен 6 + 5 + 5 + 3 = 19.
О тв ет: 19.
2. Задание 14
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD, все ребра которой равны 4, точка K
середина бокового ребра AP.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку K и параллельной
прямым PB и BC.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
а) В плоскости ABP через точку K проведем прямую, параллельную прямой PB до
пересечения ее с прямой AB в точке L середине AB. В основании ABCD через точку L
проведем прямую, параллельную прямой BC до пересечения ее с ребром СD в точке M
его середине. По признаку параллельности прямой и плоскости плоскость KLM
параллельна прямым PB и BC. Прямая LM параллельна прямой AD, следовательно, она
параллельна плоскости APD, а, значит, плоскость KLM пересекает плоскость APD по
прямой, параллельной LM и пересекает ребро PD в его середине N.