Конспект урока "Решение задач методами геометрических преобразований" 8-9 класс

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

Конспект урока

по теме: Решение задач методами геометрических преобразований

(движений).

Предмет: геометрия

Класс: 8-9

Автор урока: Коренькова Ирина

Геннадьевна,

учитель математики ВКК

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

Методическая информация

Тип урока

обобщающий

Цели и

задачи

урока

Цели и задачи урока:

образовательные - сформировать умения применять различные методы при решении задач.

закрепить отработанные умения распознавать некоторые методы геометрических преобразований и их

компоненты при решении различных геометрических задач;

развивающие – развивать и совершенствовать умения применять имеющиеся у учащихся знания в

измененной ситуации; развивать логическое мышление, умение делать выводы и обощения;

воспитательные – воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, самостоятельность.

Знания,

умения,

навыки и

качества,

которые

актуализиру

ют/приобре

тут/закрепя

т/др.

ученики в

ходе урока

Учащиеся должны знать:

• Знать суть и компоненты каждого метода;

уметь:

• строить образы фигур при указанном преобразовании

• строить, либо «видеть» соответственные при данном преобразовании точки на соответственных при

этом же преобразовании фигурах

• строить соответственные при этом же преобразовании точки на заданных произвольных фигурах

• распознавать методы геометрических преобразований (движений) и объяснить выбор конкретного

метода;

• решать задачи, применяя определенный метод решения.

• Владеть аппаратом решения геометрических задач методом геометрических преобразований.

Необходимое оборудование и материалы

Чашечные весы, лист-помощник, компьютер, рабочая тетрадь

Содержание урока.

Подготовительный этап

Разделим учащихся на две группы по четыре человека в каждой. Всем раздаются карточки

следующего содержания:

Варианты карточек для устного опроса учащихся.

Вариант 1

1. Объясните, что такое отображение плоскости на себя.

2. Докажите, что параллельный перенос является движением.

3. При симметрии относительно прямой

отрезок ВС переходит в отрезок ЕD. Прямые

и ВС

не параллельны. Определите вид четырехугольника ВСDЕ.

Решение покажем на рисунке 1:

В ВСDЕ - трапеция

Е D

Рис.1

Вариант 2

1. Что такое движение плоскости?

2. Докажите, что осевая симметрия является отображением плоскости на себя.

3. При симметрии относительно точки О отрезок DС переходит в отрезок FG. Точка О не

принадлежит отрезку DС. Определите вид четырехугольника DСFG.

Решение покажем на рисунке 2:

С F

DС FG - параллелограмм О

D G

Рис 2.

Вариант 3

1. На какую фигуру отображается при движении отрезок?

2. Докажите, что центральная симметрия является движением.

3. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС. Определите, какая получмтся фигура

при симметрии данного треугольника относительно прямой, содержащей его катет.

Решение покажем на рисунке 3:

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

Рис.3

При симметрии данного треугольника относительно прямой, содержащей его катет, получится

прямоугольный равнобедренный треугольник.

Вариант 4

1. На какую фигуру отображается при движении треугольник?

2. Докажите, что поворот плоскости вокруг точки является движением.

3. Дан прямоугольный равнобедренный треугольник АВС. Определите, какая получится фигура

при симметрии данного треугольника относительно прямой, содержащей его гипотенузу.

Решение покажем на рисунке 4:

Рис.4

При симметрии данного треугольника относительно прямой, содержащей его гипотенузу,

получится квадрат.

Мотивационный этап Приложение 1

Задача столяра: “Столяру принесли 2 овальные одинаковые доски с продолговатым отверстием

в центре и заказали из них одну круглую сплошную крышку для стола”. Как распилил столяр

принесенные доски?

Доски оказались из дерева редкой дорогой породы, и мастеру хотелось употребить их в дело

полностью, без каких бы то ни было образков.

Чтобы не делать лишних, необдуманных разрезов, столяр сначала, вырезал из плотной

бумаги выкройку доски, присмотрелся к форме, кое-что проверил циркулем. Оказалось, что

намерение мастера вполне осуществимо, и притом с небольшим количеством разрезов каждой

доски.

Решение:

Чтобы не делать лишних, необдуманных разрезов, столяр сначала, вырезал из плотной

бумаги выкройку доски, присмотрелся к форме, кое-что проверил циркулем. Оказалось, что

намерение мастера вполне осуществимо, и притом с небольшим количеством разрезов каждой

доски.

Сначала столяр заметил, что выкройка доски представляет собой симметричную фигуру с

двумя осями симметрии.

Затем он обнаружил, что если половину продольной оси отверстия ОА отложить на

поперечной оси ОО

=ОА и ОО

=ОА и соединить прямыми точки О

и А

, а также О

и А, то

каждая из фигур ВО

и СО

будет в точности составлять четверть круга с радиусом О

В, а

каждая из фигур АВС и А

– четверть круга с радиусом А

, который равен половине

радиуса О

Столяр распилил каждую доску по прямым ВА, СА, А

и С

и из полученных 8 частей

склеил аккуратную круглую крышку для стола, как показано на рисунке 1.

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

Линии разреза на рисунке обозначены красным цветом.

В С

Рис.1

Закрепление знаний и умений обучающихся

(Коллективно) Задача. Дана прямая

и две точки А и В по одну сторону от нее. Найти на

точку М, такую, что сумма АМ+МВ принимает наименьшее значение.

Межпредметная связь. Данная геометрическая задача позволяет объяснить такие физические

явления, как отражение света, отскок мяча и т.п. Пусть световой луч АС отражается от прямой

в луч СВ. (рис.9)

А В

Рис.9 В´

Решите самостоятельно задачу: на одном берегу

небольшого водоема стоит столб с фонарем на верху,

на другом находится человек. Как найти построением

точку, в которой отражается от поверхности воды

луч фонаря, попадающий в глаз человека? Рисунок и решение в приложении 1.

Самостоятельная работа

Затем учащиеся получают индивидуальные задания, в которых требуется по формулировке

задачи определить метод ее решения. Признаки выбора метода на листах-помощниках.

Например, следующие задачи:

1. Даны прямая

и две точки Р и Q по одну сторону от

. Найдите на прямой

такую точку R,

чтобы периметр треугольника PQR был наименьшим. (Требование содержит вопрос о

нахождении суммы отрезков, являющихся сторонами треугольника, а так как необходимо

указать треугольник наименьшего периметра, то значит требуется установить кратчайшее

расстояние между данными точками, отсюда вывод, возможно применение осевой симметрии);

2. Азимут направления корабля, плывущего со скоростью 18 узлов в час, равен 145. В 7ч 30 мин

корабль находился от маяка точно на востоке, через 20 мин азимут направления на маяк стал

равным 20. На каком расстоянии от маяка находился корабль в 7ч 30 мин? (Здесь требуется

указать расстояние на котором находился корабль от маяка, зная его скорость и время движения

можно найти пройденный им путь. Если бы мы смогли приблизить полученный отрезок пути к

точке маяка, т.е. применить параллельный перенос, то получим ответ на вопрос задачи)

3. На сторонах АС и ВС треугольника АВС вне его построены равносторонние треугольники

АСВ

и ВСА

. Докажите, что отрезки АА

и ВВ

равны. Найдите величины угла между прямыми

АА

и ВВ

.(В условии задачи даны равносторонние треугольники, при этом требуется найти угол

между прямыми, следовательно здесь будет рационально применить метод поворота)

4. Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми

равен 60 и которые не содержат вершин треугольника. Докажите, что отрезки этих прямых,

заключенные между сторонами треугольника, равны. (Здесь задан равносторонний треугольник,

В физике рассматривают углы, которые

отрезки АС и ВС образуют с

перпендикуляром

к прямой

. По

закону отражения света угол падения

равен углу отражения. А это значит,

что свет распространяется из точки А в

В так, что путь АС+СВ, а значит и

время его прохождения будет

наименьшим. Это так называемый

принцип Ферма. Из него вытекают все

законы отражения и преломления света.

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

угол между прямыми, равный 60. Этого достаточно, чтобы попытаться применить метод

поворота)

5. Даны две окружности m и n с центрами А и В, пересекающиеся в точках М и Р. Доказать, что

точки М и Р симметричны относительно прямой АВ. (Требование задачи указывает на метод ее

решения, т.е. некоторые точки симметричны относительно прямой, следовательно нужно

применять метод осевой симметрии)

6. Даны прямая

и точки А, В по одну сторону от нее. Найдите на прямой

такую точку Х, что

лучи ХА, ХВ образуют равные углы с прямой

. (Здесь необходимо провести анализ условия

задачи: чтобы углы между лучами и данной прямой были равны, т.е. чтобы угол падения

равнялся углу отражения из физики, необходимо применить осевую симметрию, позволяющую

это сделать)

7. Две равные окружности касаются в точке А. Окружность вдвое большего радиуса содержит

одну из них, касаясь ее в точке В, и пересекает другую в точках Р и Q. Докажите, что одна из

точек Р, Q лежит на прямой АВ. (так как прямая, точнее хорда , пересекающая две

концентрические окружности отсекает в них равные отрезки и если одна из точек Р или Q

должна принадлежать прямой АВ, где точка В принадлежит одной окружности, А точка их

касания, а точка Р или Q лежит на другой концентрической окружности, следовательно отрезки

АВ и АР(Q) равны и точка А является их центром симметрии. Теперь понятно, что применение

центральной симметрии должно упростить решение задачи)

8. Две окружности радиуса R касаются в точке К. На одной из них взята точка А, на другой –

точка В, причем АКВ=90.Докажите, что АВ=2R. (Заданный в условии угол 90 указывает на

метод поворота)

Физминутка. Применим зеркальную симметрию. Повторение движений за учителем

или соседями по парте. Рисуем по воздуху пальцами симметричные фигуры.

Дифференцированная работа

Далее учитель предлагает учащимся карточки с разноуровневыми задачами, помеченными

красным, синим и зеленым цветом, характеризующие группы дифференциации: зеленый цвет –

базовый уровень (А), синий – несколько продвинутый (В), красный – углубленный (С), при этом

сам учитель помогает, направляет, корректирует самостоятельную работу учащихся. Варианты

задач учащиеся выбирают самостоятельно.

Задачи для группы А.

Задача 1. Точка М – середина стороны ВС правильного треугольника АВС, точки N и К

симметричны точке М относительно прямых АВ и АС. Докажите, что NKАМ.

Задача 2. На окружности с центром О и радиусом r отмечена точка А. Постройте окружность,

на которую отображается данная окружность при повороте вокруг точки А на 60 по часовой

стрелке. Найдите длину отрезка, соединяющего точки пересечения данной и построенной

окружностей.

Задача 3. Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Постройте точки D и Е, на

которые отображаются точки А и С при параллельном переносе на вектор

ВС

, и докажите, что

АЕ=DB.

Задача 4. Точка пересечения диагоналей четырехугольника АВСD является его центром

симметрии. Докажите, что АВСD – параллелограмм.

Решение задач базового уровня. Если учащиеся не могут решить задачу самостоятельно, тогда

предлагаются опорные карточки.

Решение задачи 1.

1. О какой фигуре говорится в задаче?_______(правильный треугольник)

2. Что известно о точке М?________(середина ВС)

3. В треугольнике АВС, АМ является__________________? (медианой, биссектрисой и высотой)

4. Как получить точки N и K? (симметрично отобразить относительно сторон АВ и АС)

5. Какой вид движения вы будете использовать для их построения? (осевую симметрию).

Выполните построения (рис.5)

6. Образом отрезка АМ при симметрии относительно АВ является_________, относительно

АС__________? (отрезок АN и отрезок АК)

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

7. Отрезки АМ, АN, АК _______(равны) на основании __________(свойства осевой симметрии)

8. Треугольник АNK-___________? (равнобедренный).Обоснование_________.

9. Осью симметрии треугольника АNK является ________?(АМ). Отсюда следует вывод

NK__АМ.

10.

N В

А С

Рис.5 К

Указания и пояснения решения следующих задач предложены в рабочей тетради.

Решение задачи 2. Сначала необходимо построить образ данной окружности (О; r)с

помощью поворота на 60, получим окружность 

(О

; r). Так как окружности равных радиусов,

то задача сводится к рассмотрению правильного треугольника ОАО

и нахождению в нем

высоты. Удвоенное ее значение даст нужный результат. Ответ: длина отрезка, соединяющего

точки пересечения данной и построенной окружностей равна r

Решение задачи 3. Выполним построения. При параллельном переносе на вектор

ВС



ВС

D, С



ВС

Е, следовательно по свойству параллельного переноса |АС|= |DЕ| =|АВ|,

т.к. треугольник равнобедренный. Параллельный перенос прямую отображает на параллельную

ей, следовательно, АD||СЕ, т.е. АD||ВЕ. Получаем, что ВАDЕ – равнобокая трапеция (по

определению), диагонали которой равны (по свойству) АЕ=DB.

Решение задачи 4. Пусть точка О – центр симметрии, в силу свойства центральной симметрии

сохранять расстояния между точками, получаем АО=ОС, ОВ=ОD. То есть, мы получили, что

диагонали четырехугольника пересекаются в некоторой точке О и этой точкой пересечения

делятся пополам. Следовательно, АВСD – параллелограмм.

Задачи группы В.

Здесь мы предлагаю на мой взгляд наиболее подходящие задачи, но учитель вправе

самостоятельно выбрать задачи для более подготовленных учащихся.

Рекомендую осуществлять выбор метода решения любой из предложенных задач по

следующему предписанию:

1. Определите фигуры, данные в условии, укажите их свойства.

2. Выделите элементы принадлежащие данным фигурам.

3. Уточните, если требуется вопрос задачи.

4. Соотнесите условие с требованием задачи и определите ключевые слова или элементы,

преобразование которых указывает на нужный метод решения.

Задача 1. Окружность, центр которой принадлежит биссектрисе угла, пересекает его стороны

в точках А. В. С и D (рис. 6). Доказать, что |АВ| = |СD|.

Выделяем признак, выбора метода. Так как в условии задачи задана биссектриса угла, то есть его

ось симметрии, то из этого мы можем сделать вывод, что, возможно, применение для решения

данной задачи метода осевой симметрии. Ключевое слово – биссектриса.

Задача 2. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены равносторонние треугольники

АВМ и АСN. Доказать, что МN=ВС.

Чтобы определить метод решения задачи, необходимо (Рабочая тетрадь зад.11, стр.8.)

1. построить чертеж, покажем его на рис.6.

2. анализируя формулировку задачи определить соответствующие фигуры, задающие

преобразование.

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

Рис.6 С

В результате получаем следующие критерии выбора метода. В задаче рассматриваются

равносторонние треугольники, все стороны и углы которых равны, следовательно, применим

метод поворота, причем на угол 60.

Решение:

1. Определим центр поворота - вершина А;

2. Так как в правильных треугольниках МАВ=60, АМ=АВ и NАС=60, АС=АС,

следовательно

60

(В)=М,

60

(С)=N

3. ВС=МN по свойству поворота

60

;

Задача 3. Основания трапеции равны 4 и 9, диагонали 5 и 12. Найти угол между диагоналями.

Дано: АВСК – трапеция, АК, ВС – основания, АК=9, ВС=4, АС и ВК – диагонали, АС=5, ВК=12.

(рис.7) Найти: АОК. (Рабочая тетрадь зад.12, стр.12)

В С

Рис.7 А К



Выделим признак: здесь требуется определить угол между диагоналями трапеции. Ключевое

слово – трапеция, две противолежащие стороны которой параллельны. В этом случае, мы

полагаем, метод параллельного переноса даст желаемый результат.

Решение: В этой задаче необходимо требование представить в более удобном виде для

решения.

С помощью параллельного переноса: Т

ВС

(В)С, Т

ВС

(С)



, Т

ВС

(К)



ВК = С



ВС=К



. Нахождение угла между диагоналями АОК сводится к отысканию угла АС



между

диагональю АС и образом диагонали ВК - С



.Что существенно облегчает решение задачи.

Рассмотрим ∆АС



(АС=5,СК=ВК=12, А



=АК+К



, А



=13), он является прямоугольным

по обратной теореме Пифагора. Следовательно, угол АС



равен 90.

Задачи группы С.

Самым сильным учащимся можно предложить задачи, которые решаются в совокупности с

другими методами.

Например задача, решаемая с помощью векторного метода.

Приведём факты, помогающие решать задачи с векторами:

1) при сложении векторы можно менять местами; 2) при повороте каждого из слагаемых

векторов на один и тот же угол на этот же угол поворачивается и вся сумма; 3) два вектора

равны, если равны их ортогональные проекции на каждую из двух произвольно выбранных

непараллельных прямых; 4) сумма векторов, образующих треугольник или многоугольник, равна

нулю. Часто бывает полезно записать вектор или (несколько векторов) как сумму двух других

векторов, проекцию вектора на прямую как сумму проекций и т. д. Один из употребительных

приёмов решения задач на векторы  проектирование векторов на некоторое направление.

Искусство решения таких задач состоит в выборе направления проектирования.

Задача 1. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены вне его квадраты АВМQ и

ВСРN. Доказать, что отрезок MN перпендикулярен медиане ВD треугольника АВС и вдвое

длиннее этой медианы.

Известно, что основание медианы является центром симметрии и что поворот вокруг точки

пересечения диагоналей квадрата на 90, 180, -90 отображает этот квадрат на себя и в задаче

требуется установить перпендикулярность прямых. Поэтому для доказательства требуемого

может быть использован либо метод поворота, либо центральной симметрии. Но в этом случае

по известным данным предпочтительнее метод поворота.

Попытаемся применить поворот на 90, т.е. убедиться, что при повороте на 90 вокруг точки В

(по часовой стрелке) отрезок MN перейдет в отрезок, параллельный BD и имеющий вдвое

большую длину.

Решение:

Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

1. При анализе условия нами уже был определен центр поворота – точка В.

2. Строим образ MBN при повороте на 90 по часовой стрелке (рис.8).

3. Находим соответственные точки на соответственных треугольниках при этом повороте:

90

(М)=H,

90

(N)=C,

90

(B)=B.

4. Применяем свойства поворота и векторный метод , получаем, что при этом повороте

90

(

МВ

НВ

90

(

90

(

5. По правилу сложения векторов

МВ

90

(

МВ

НВ

и по

свойствам квадрата

НВ

ВА

, тогда

НВ

ВА

6. Вывод: при повороте на 90,

90

(

, следовательно, MNBD и MN=2BD.

М Н N

B P

Рис.8 A D C

Далее можно предложить учащимся задачу олимпиадного характера:

Задача 2. На плоскости даны две пересекающиеся окружности 

и 

. Пусть А – одна из

точек их пересечения. Из точки А по окружностям 

и 

соответственно одновременно

начинают двигаться точки М

и М

. Точки движутся с постоянными скоростями в одном и том

же направлении. После одного оборота обе точки одновременно возвращаются в точку А.

Доказать, что на плоскости существует неподвижная точка Р такая, что расстояния от Р до М

равны в течение всего времени движения.

Признак выбора метода: в задаче требуется доказать равенство двух отрезков, и это может

следовать из того, что треугольник, содержащий эти стороны равнобедренный. Это позволяет

нам воспользоваться методом осевой симметрии.

Решение: Обозначим центры окружностей 

и 

за О

, О

, а их радиусы – r

, r

(рис.9)

Определим положение точки Р, для этого:

1) выберем за ось симметрии серединный перпендикуляр l к отрезку О

;

2) строим образ окружности 

(

)= 

);

3) находим точку Р симметричную точке А относительно прямой l на образе 

;

4) получаем О

Р= r

, О

Р=r

;

Покажем, что найденная таким образом точка удовлетворяет условию задачи:

Рассмотрим положения точек М

и М

в некоторый момент времени

5) т.к. АО

= АО

, то АО

Р=АО

Р(по свойствам осевой симметрии);

6) из 5) следует, что М

Р= М

Р;

7) по признаку равенства треугольников по двум сторонам М

= О

Р= r

, М

= О

Р= r

и углу

между ними –из 6), получаем равенство треугольников: ∆М

Р=∆М

Р;

8) из 7) следует, что М

Р= М

Р;



Рис.9 М

Рефлексия деятельности на уроке

Учитель. Оцените значимость и познавательную сторону урока, положив на правую чашу, зеркально

симметричного предмета – весов, самосимметричные фигуры из представленного набора.



Коренькова Ирина Геннадьевна, учитель математики высшей

квалификационной категории

Итог урока: Сегодня на уроке мы обобщили все знания и умения, отработанные на предыдущих

занятиях, закрепили умение выделять по формулировке задачи методы геометрических

преобразований, движений, с последующим их решением. Мы решили достаточное количество

задач некоторыми методами геометрических преобразований и готовы к итоговой контрольной

работе. Каждый ученик получает аргументированную оценку учителя и своей группы.

Учащимся, недостаточно усвоившим материал урока, подбирается домашнее задание.

Скачать материал

Конспект урока "Решение задач методами геометрических преобразований" 8-9 класс

Геометрия - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы