Решение нестандартных геометрических задач

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования

Кемеровский профессионально-технический техникум

(статья)

Подготовил преподаватель математики

Коровина Нина Анатольевна

Кемерово 2015

Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря

изучению математики. (П. Гассенди).

Введение.

Решение геометрических задач вызывает трудности у многих

обучающихся. Это объясняется прежде всего тем, что редко какая-либо

задача по геометрии может быть решена с использованием определенной

теоремы или формулы. Большинство задач требует применения

разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений,

справедливых лишь при определенном расположении фигуры, применение

различных формул.

Решение задач – нелегкий труд, требующий большого напряжения

сил, он может нести с собой и творческую радость успехов, любовь к

предмету и горечь разочарований, не веря в свои силы, потерю интереса к

геометрии. Решение задач – чуткий барометр, по которому преподаватель

может постоянно следить за успехами и настроениями обучающихся и

эффективностью своей учебно-воспитательной работы.

Мышление и решение задач тесно связаны друг с другом, но их нельзя

отождествлять, сводя мышление к решению задач. Мыслительная

деятельность необходима для самой постановки задач, для выявления и

осознания новых проблем. Мышление нужно также для усвоения знаний, для

понимания текста в процессе чтения и во многих других случаях.

Поиск средства разрешения противоречия приводит к формированию

способа действия, последний позволяет решать целые классы задач.

В курсе геометрии выделяют следующие виды нестандартных задач:

– на доказательство;

– на построение;

– на вычисление;

– занимательные.

«Нестандартность» – свойство относительное. Для обучающегося,

который впервые встречается с задачей, требующей применения новой для

него идеи, задача является нестандартной.

Нестандартная задача – это задача, о которой решающему ее не

известны ни идея решения, ни даже то, на каком известном разделе теории

основано хотя бы одно из возможных решений.

Нестандартные задачи, выполняют несколько функций:

– развивают и поддерживают интерес обучающихся к учебе,

помогают реализовать их склонности и возможности;

– позволяют сочетать различные виды групповой и коллективной

учебной работы;

– развивают творческие способности;

– способствуют лучшему пониманию и осмыслению изучаемого

материала;

– являются хорошим средством от информационной перегрузки.

Потребность в таких задачах ощущают и сами обучающиеся. Поэтому

необходим отбор именно нестандартных геометрических задач. Ошибки в

подборе упражнений могут привести к отрицательному результату. Так,

необычная формулировка, чрезмерно непривычное решение могут

«испугать» обучающихся.

Разумеется, занятия составляются на уровне математического

развития обучающихся, а, следовательно, и на его успехах в изучении

обязательного курса, методика проведения занятий должны привлекать

обучающихся. Например хорошо работают «перестройки» условий

решенных задач, развитие и обобщение задач, составление задач самими

обучающимися, разбор задач с вопросами: «Что можно доказать?», «Что

можно вычислить?», «Что можно узнать?», составление задач, «обратных»

данным, опровержение неверных утверждений, поиски и составление

различных решений одной и той же задачи. Нередко разобранные

геометрические задачи могут естественно перерастать в новые, например, так

задачу «Докажите, что высоты, проведенные из вершин при основании

равнобедренного треугольника, конгруэнтны. Верно ли аналогичное свойство

для медиан и биссектрис?» – можно дополнить предложением: «Доказать

конгруэнтность соответственных отрезков, отсекаемых на боковых

сторонах равнобедренного треугольника (или определяемых ими прямых)

основаниями его высот (биссектрис и медиан).

Полезно решать обратные задачи, например, «Доказать, что

треугольник равнобедренный, если: 1) две его высоты конгруэнтны; 2)

конгруэнтны две его медианы; 3) конгруэнтны две биссектрисы».

Из них 1) и 2) решаются несложно, а решение последней сильно

затруднит обучающихся, и она может быть предложена только очень

сильным ребятам.

Особое внимание нужно уделить чертежу. Он значительно облегчить

решение задачи, если он соответствует условию задачи (прямой угол

нарисован прямым, равнобедренный треугольник – равнобедренным и т.д.),

то обучающийся может увидеть путь решения задачи, который потом

реализуется со ссылкой на чертеж. С другой стороны, если чертеж не

соответствует заключению задачи (например, нужно доказать, что прямые

проходят через одну точку, а на чертеже это не так), то он может помочь

увидеть противоречие, отыскать путь решения и, по крайней мере,

предостережет от попытки использовать при решении задачи то, что еще

требуется доказать. К примеру:

1. «Доказать, что в трапеции середины оснований, точка пересечения

диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат

на одной прямой».

Чертеж к этой задаче может быть выполнен так, как показано на рисунке.

Здесь N, K – середины верхнего и нижнего оснований трапеции, М – точка

пересечения продолжений ее боковых сторон. Построив такой чертеж, мы,

во-первых, не воспользуемся тем, прямая МK содержит точку О и пересекает

отрезок ВС в середине, а во-вторых, увидим различные пути решения задачи.

При построении такого чертежа надо выполнять ряд требований.

Главные из них.

 Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного

объекта задачи (геометрические фигуры, или совокупность фигур, или

какой-то части этих фигур) с обозначением с помощью букв и других

знаков всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в

тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее элементов,

то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в задаче никаких

обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми

обозначениями или придумать наиболее удобные.

 Чертеж должен соответствовать задаче. Это означает, что если в задаче в

качестве основного объекта назван, например, треугольник и при этом не

указан его вид (прямоугольный, равносторонний и т. д.), то надо

построить какой-либо разносторонний треугольник. Или если в задаче в

качестве основного объекта названа трапеция и не указан ее вид, то не

следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т. д.

 При построении чертежа нет надобности выдерживать строго какой-либо

определенный масштаб. Однако желательно соблюдать какие-то

пропорции в построении отдельных элементов фигуры. Например, если по

условию задачи сторона АВ треугольника АВС наибольшая, то это

должно быть соблюдено на чертеже. Или если задана медиана

треугольника, то соответствующий ей отрезок на чертеже должен

проходить приблизительно через середину стороны треугольника и т. д.

 Точно так же надо соблюдать на чертеже такие отношения, как

параллельность, перпендикулярность и другие, заданные в задаче.

 При построении чертежей фигур необходимо соблюдать все правила

черчения.

Кроме чертежа, для схематической записи геометрических задач

используется еще краткая запись всех условий и требований задачи. В

краткой записи, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями,

записываются все характеристики и отношения, указанные в условиях

задачи. Названия фигур или отдельных ее частей желательно заменять

записью их определений. Например, вместо того чтобы писать: АВСD –

трапеция, можно писать:

 

АВ

 

В краткой записи можно использовать, там, где это целесообразно,

стандартные математические знаки (принадлежности элемента к множеству,

пересечения множеств и т. д.). Конечно, все приведенные рекомендации

имеют не всеобщий характер, и при решении отдельных геометрических

задач чертеж фигур и краткая запись условия могут производиться иначе.

Разумеется, невозможно перечислить все дополнительные построения,

которые могут быть полезны при решении задач. В задачах, где участвует

медиана треугольника, почти всегда бывает полезно ее удвоить, достроив до

параллелограмма. В этом случае появляется возможность использовать также

и свойства параллелограмма. Часто бывает полезным провести через данную

точку прямую, параллельную одной из участвующих в задаче, к примеру:

1. «Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная

к гипотенузе, равна ее половине».

А В

D С

После дополнительного построения решение становится тривиальным в

силу свойств диагоналей прямоугольника.

Принято считать, что чисто геометрическое решение красивее, чем

аналитическое. Это действительно иногда так, но для такого вывода нужно

научиться решать задачи разными способами. Как правило, метод решения

связан с изучаемой в данный момент темой. Исключение из этого правила –

экзамены и олимпиады.

Заключение: Возникая на основе естественного созерцания

окружающих пространственных форм и столь же естественных потребностей

человеческой практики, геометрия превратилась в огромное многоэтажное

здание, каждый этаж которого был не только великолепным архитектурным

произведением сам по себе, но служил фундаментом других, не менее

великолепных зданий. А сколько фундаментальных физических теорий

уходит корнями в геометрические недра. Несмотря на заявления некоторых

крупных математиков о том, что геометрия как наука утратила свое значение

и превратилась только в удобный и привычный язык математики,

действительность убеждает нас в обратном. По-прежнему ведутся успешные

и интересные исследования в самой геометрии, полученный геометрический

опыт реализуется в практической деятельности человека. Геометрия является

одним из основных средств формирования концептуальных представлений

об окружающем реальном пространстве.

Педагогическое же значение геометрии как базового учебного

предмета является вообще бесценным. Геометрия является элементом общей

человеческой культуры, а целенаправленное ее изучение формирует и

развивает не только математические, но и интеллектуальные способности.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она

позволяет наиболее ярко наблюдать, формировать и развивать мыслительные

процессы различных видов и уровней. Успешное изучение геометрии

невозможно без развитого наглядного и абстрактно-теоретического

мышления. Геометрический материал предоставляет прекрасные

возможности для цельного и гармоничного развития интуитивного,

логического, пространственного, символического и конструктивного

компонентов умственной деятельности. Кроме того, пожалуй, нет ни одного

другого учебного предмета, где ведущие компоненты (знания, способы

деятельности) были бы так взаимосвязаны.

Информационное обеспечение

Основные источники:

Периодические издания (отечественные журналы):

1. Математика [Текст] : методический журнал для учителей математики /

учредитель ООО «Чистые пруды». - . - Москва : ИД «Первое

сентября», 2010 - . - Ежемес. - [http://mat.lseptember.ru/].

2. Научные исследования в образовании [Текст] : приложение к журналу

«Профессиональное образование. Столица» / учредители Департамент

образования города Москвы; Российская академия образования;

Академия профессионального образования. – 2006 – . – Москва :

НИИРПО, 2013 – . – Ежемес.

Интернет-ресурсы:

1. Вся математика в одном месте – математический портал [Электронный

ресурс]. - Режим доступа : http://www.allmath.ru, свободный. - Загл. с

экрана. – (Дата обращения: 01.03.15)

2. Математика: справочник формул по алгебре и геометрии, решения

задач и примеров. Математические формулы on-line [Электронный

ресурс]. - Режим доступа : http://www.pm298.ru, свободный. - Загл. с

экрана. - (Дата обращения: 01.03.15).

3. Форум - математический сайт allmatematika.ru [Электронный ресурс]. -

Режим доступа : http://www. allmatematika.ru, свободный. - Загл. с

экрана. - (Дата обращения: 01.03.15).

4. Электронно-библиотечная система издательства «Лань» [Электронный

ресурс]. - Режим доступа : http://lanbook.com/ebs.php, для доступа к

информ. ресурсам требуется авторизация. - Загл. с экрана.- (Дата

обращения: 01.03.15).

Приложение 1

Конспекты уроков

Тема: Решение нестандартных геометрических задач

Цель: Развитие творческого потенциала, мышления обучающихся.

Ход занятия

I. Организационный момент

II. Решение задач

1. Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника,

пересекаясь, образуют квадрат.

Решение:

A B

D C

Это прямоугольник. А вследствие того, что равнобедренные треугольники попарно

равны, стороны прямоугольника равны, т. е. он является квадратом.

2. Диагонали прямоугольной трапеции АВСD пересекаются в точке Р, через которую

проведена прямая, параллельная основаниям, до пересечения с боковыми

сторонами в точках Е и F. Докажите, что ЕР = РF.

Решение:

E F

A D

ΔВЕР ~ ΔВАD. Следовательно,



(рис. 4). ΔСРF ~ ΔСАD.

Отсюда



. А так как ЕF║BC║AD, то



Сравнивая эти равенства, получим,



, т.е. ЕР = РF.

III. Итог занятия

Приложение 2

Тема: Многоугольники и их площади

Цель:

1. Развитие мыслительной деятельности, творческих способностей и

логического мышления обучающиеся.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I . Орг.момент

II. Проверка знаний обучающихся

1. Проверка теории по теме «Многоугольники». Работа в группах

Каждой группе выдаётся геометрическая фигура (треугольник,

параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция) и план ответа.

Время на подготовку 2 минуты. По одному ученику из каждой группы

отвечают.

2. Проверка знания формул по теме «Площади многоугольников»

На закрытой доске заранее выписаны формулы площадей:

III . Закрепление

1. Практическая работа в парах

У каждой пары на столе 3 фигуры. Найдите

площади этих фигур, сделав предварительно все измерения и

результаты занести в таблицу.

Площади геометрических фигур

Фигура

2. Решение задач по готовым чертежам

На доске помещены чертежи:

Коллективная проверка. Самооценка.

IV . Творческая работа «Строитель».

В заключение предлагаю вам выступить в роли строителей.

Строительное производство сегодня – это механизированный процесс сборки

зданий и сооружений из крупноразмерных деталей (блоков), изготовленных

заводским способом. Но ни одно строительство не обходится без столяров.

Они работают в строительно-монтажных организациях, на

деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских.

Непосредственно на объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки,

производит настилку дощатых и паркетных полов. Бесспорно, выполнение

такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации

деревообрабатывающих станков. Но нужно еще хорошо знать геометрию.

На парту раскладывается набор равнобедренных прямоугольных

треугольников, которые равны между собой. Боковая сторона

равнобедренного треугольника равна 4 см (30 треугольников).

Задание. Из этих треугольников составить: квадрат с площадью 16 кв .с

м, ромб – с площадью 32 кв.см, прямоугольник – с площадью 32 кв.см,

квадрат – с площадью 64 кв.см, параллелограмм – с площадью 48 кв.см,

трапецию – с площадью 48 кв.см.

Творческая работа «Строитель».

Самостоятельная работа.

V . Итог занятия

Скачать материал

Решение нестандартных геометрических задач

Геометрия - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы