Четырехугольники в ЕГЭ по математике задача № 16

Задачи планиметрии Профильный уровень

Учитель математики

МАОУ «Обдорская гимназия»

г. Салехард ЯНАО

Е.И. Гусак

Четырехугольники в ЕГЭ по математике задача № 16 Ключевая задача На сторонах АВ, ВС, СD, АD параллелограмма АВСD отмечены точки К, L, M, N соответственно. Причем . Доказать равенство треугольников АКN и СМL, ВКL и DML.

•  

На сторонах АВ, ВС, СD, АD параллелограмма АВСD отмечены точки К, L, M, N соответственно. Причем . Доказать равенство треугольников АКN и СМL, ВКL и DML.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача На сторонах ВС и АD параллелограмма отмечены точки К и М соответственно так, что КС = АМ. Прямая КМ пересекает АС в точке О. Доказать равенство треугольников АОМ и СОК. На сторонах ВС и АD параллелограмма отмечены точки К и М соответственно так, что КС = АМ. Прямая КМ пересекает АС в точке О. Доказать равенство треугольников АОМ и СОК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня

• На сторонах АВ, ВС, СD, АD параллелограмма АВСD отмечены точки К, L, М, N соответственно. Причем . a)Доказать, КLMN-параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма АВСD. б) Найти отношение площадей параллелограммов КLMN и АВСD.

•  

 

 

 

На сторонах АВ, ВС, СD, АD параллелограмма АВСD отмечены точки К, L, М, N соответственно. Причем . a) Доказать, КLMN-параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма АВСD. б) Найти отношение площадей параллелограммов КLMN и АВСD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На сторонах АВ, ВС, СD, АD параллелограмма АВСD отмечены точки К, L, М, N соответственно. Причем . a) Доказать, КLMN-параллелограмм и его центр совпадает с центром параллелограмма АВСD. б) Найти отношение площадей параллелограммов КLMN и АВСD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

⇒

 

 

Ключевая задача Найти если

•  

Найти если

 

 

 

 

 

Ключевая задача Найти диагональ АС четырехугольника АВСD, если АВ = 3, ВС = 1, СD = 3, АD = 2 и сумма углов В и D равна .

•  

Найти диагональ АС четырехугольника АВСD, если АВ = 3, ВС = 1, СD = 3, АD = 2 и сумма углов В и D равна .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня

• В выпуклом четырехугольнике АВСD АВ = 9,
ВС = СD =11, АD = 15, АС = 16. a)Доказать, что около него можно описать окружность. б) Найти диагональ ВD.

 

 

 

В выпуклом четырехугольнике АВСD АВ = 9, ВС = СD =11, АD = 15, АС = 16. a)Доказать, что около него можно описать окружность. б) Найти диагональ ВD.

 

 

 

 

 

 

 

 

В выпуклом четырехугольнике АВСD АВ = 9, ВС = СD =11, АD = 15, АС = 16. a)Доказать, что около него можно описать окружность. б) Найти диагональ ВD.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача Окружность с центром в точке О писана в угол АВС. Докажите, что ВО – биссектриса данного угла. Окружность с центром в точке О писана в угол АВС. Докажите, что ВО – биссектриса данного угла.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача Из вершины С меньшего основания ВС равнобедренной трапеции АВСD на большее основание АD опущен перпендикуляр CК. Найдите DК и АК, если основания трапеции a и b (a

•  

Из вершины С меньшего основания ВС равнобедренной трапеции АВСD на большее основание АD опущен перпендикуляр CК. Найдите DК и АК, если основания трапеции a и b (a

a

b

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача Окружность касается всех сторон равнобедренной трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии трапеции. Окружность касается всех сторон равнобедренной трапеции. Докажите, что боковая сторона трапеции равна средней линии трапеции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня

• В равнобедренную трапецию АВСD с основанием АD и ВС вписана окружность, СН-высота трапеции.
a)Доказать, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке ВН. б)Найти диагональ АС, если средняя линия трапеции равна

•  

 

 

.

 

В равнобедренную трапецию АВСD с основанием АD и ВС вписана окружность, СН-высота трапеции. a)Доказать, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке ВН. б)Найти диагональ АС, если средняя линия трапеции равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В равнобедренную трапецию АВСD с основанием АD и ВС вписана окружность, СН-высота трапеции. a)Доказать, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке ВН. б)Найти диагональ АС, если средняя линия трапеции равна

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Ключевая задача Прямая, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АС и АВ соответственно в точках М и К. Найдите длину отрезка МК, если АК = 12, ВК = 14, ВС = 21. Прямая, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает стороны АС и АВ соответственно в точках М и К. Найдите длину отрезка МК, если АК = 12, ВК = 14, ВС = 21.

12

14

21

?

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня

• Прямая параллельная основаниям ВС и АD трапеции АВСD, пересекает боковые стороны АВ и СD в точках М и N. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Прямая МN пересекает отрезки ОА и ОD в точках К и L.
a) Доказать, что МК = NL. б) Найти МN, если ВС = 3, АD = 8, МК:КL = 1:3.

 

 

ВС = 3, АD = 8, МК:КL = 1:3.

 

Прямая параллельная основаниям ВС и АD трапеции АВСD, пересекает боковые стороны АВ и СD в точках М и N. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Прямая МN пересекает отрезки ОА и ОD в точках К и L. a) Доказать, что МК = NL. б) Найти МN, если ВС = 3, АD = 8, МК:КL = 1:3.

 

 

 

 

 

 

 

 

Прямая параллельная основаниям ВС и АD трапеции АВСD, пересекает боковые стороны АВ и СD в точках М и N. Диагонали трапеции пересека-ются в точке О. Прямая МN пересекает отрезки ОА и ОD в точках К и L. a) Доказать, что МК = NL. б) Найти МN, если ВС = 3, АD = 8, МК:КL = 1:3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

3х

Спасибо за внимание! Удачи на ЕГЭ.