Треугольники в ЕГЭ по математике ЗАДАЧА № 16

Задачи планиметрии Профильный уровень

Учитель математики

МАОУ «Обдорская гимназия»

г. Салехард ЯНАО

Е.И. Гусак

Треугольники в ЕГЭ по математике ЗАДАЧА № 16 Ключевая задача Доказать, что если медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, то треугольник прямоугольный. Доказать, что если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна ее половине, то треугольник прямоугольный. Доказательство.

 

По следствию из теоремы о вписанном угле ∠АВС = .

 

Следовательно, △АВС – прямоугольный.

Задача профильного уровня

 

 

 

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, АС = 3МВ. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный. Найти сумму квадратов медиан и , если АС = 20.

А

С

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, АС = 3МВ. Доказать, что треугольник АВС прямоугольный. Найти сумму квадратов медиан и , если АС = 20.

А

С

В

 

 

 

б

 

 

 

 

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача

• Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами АВ = 18, ВС = 15, АС = 12.

Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами АВ = 18, ВС = 15, АС = 12. А С В К

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна ВС. б) Найти длину биссектрисы .

•  

 

 

 

 

 

В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна ВС. б) Найти длину биссектрисы . А К В С

•  

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вспомним

В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна ВС. б) Найти длину биссектрисы .

• А
К В М С

•  

 

 

 

 

 

 

В треугольнике АВС АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна ВС. б) Найти длину биссектрисы . А К В М С

•  

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача

• Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла, если гипотенуза равна 12.

Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла, если гипотенуза равна 12. Решение. По свойству медианы: медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. Следовательно, медиана равна 6. Ответ: 6.

вспомним

Ключевая задача

• Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и равны 3 и 6.

Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и равны 3 и 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня Окружность с центром в точке О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС и основания ВС в точке N. Точка М – середина ВС. a)Доказать, что AN = ОМ. б)Найти ОМ, если АВ = 13, ВС = 24.

О-центр вневписанной окружности.

 

 

 

Окружность с центром в точке О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС и основания ВС в точке N. Точка М – середина ВС. a)Доказать, что AN = ОМ. б)Найти ОМ, если АВ = 13, ВС = 24.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Окружность с центром в точке О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника АВС, продолжения боковой стороны АС и основания ВС в точке N. Точка М – середина ВС. a)Доказать, что AN = ОМ. б)Найти ОМ, если АВ = 13, ВС = 24

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача

• На биссектрису А △АВС из вершины В опущен перпендикуляр, пресекающий сторону Ас в точке К. Доказать, что △АВК равнобедренный.

•  

На биссектрису А △АВС из вершины В опущен перпендикуляр, пресекающий сторону Ас в точке К. Доказать, что △АВК равнобедренный.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача

• На отрезке АС, равном 10, взяты точки М и К так , что АК = 8, СМ = 6. Найти МК.

На отрезке АС, равном 10, взяты точки М и К так , что АК = 8, СМ = 6. Найти МК.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

Ключевая задача

• На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты точки М и К соответственно. Найти площадь △ВМК, если площадь △АВС равна 24.

На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты точки М и К соответственно. Найти площадь △ВМК, если площадь △АВС равна 24.

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Задача профильного уровня

• В △АВС проведены биссектрисы А С , К и М-основания перпендикуляров, опущенных из В на А С.
Доказать, что МК ⃦АС. б) Найти площадь △КВМ, если АС = 10,ВС = 6, АВ = 8.

•  

 

 

 

В △АВС проведены биссектрисы А С , К и М-основания перпендикуляров, опущенных из В на А С. Доказать, что МК ⃦ АС. б) Найти площадь △КВМ, если АС = 10,ВС = 6, АВ = 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В △АВС проведены биссектрисы А С , К и М-основания перпендикуляров, опущенных из В на А С. Доказать, что МК ⃦ АС. б) Найти площадь △КВМ, если АС = 10,ВС = 6, АВ = 8.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

Ключевая задача

• В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ = 2, ВС = 3, АС = 3. Найти АМ, МС.

В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ = 2, ВС = 3, АС = 3. Найти АМ, МС.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача

• В треугольнике АВС прямая МК пересекает стороны АС и ВС так, что СК = 6, КВ = 3, СМ = 4, МА = 2.
Докажите, что прямая МК параллельна АВ.

В треугольнике АВС прямая МК пересекает стороны АС и ВС так, что СК = 6, КВ = 3, СМ = 4, МА= 2. Докажите, что прямая МК параллельна АВ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ключевая задача

• В треугольнике АВС угол В тупой, ВС = 2, АС = 3 , радиус описанной окружности равен . Найти сторону АВ.
Замечание:

•  

В треугольнике АВС угол В тупой, ВС = 2, АС = 3 , радиус описанной окружности равен . Найти сторону АВ. Замечание:

3

 

2

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

.

 

 

Задача профильного уровня

• В △АВС угол В тупой, ВС = 3, АС = 4 и радиус описанной окружности равен .
a)Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС. б)Найти биссектрису А.

•  

 

 

В △АВС угол В тупой, ВС = 3, АС = 4 и радиус описанной окружности равен . a)Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС. б)Найти биссектрису А.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В △АВС угол В тупой, ВС = 3, АС = 4 и радиус описанной окружности равен . a)Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС. б)Найти биссектрису А.

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

Спасибо за внимание! Удачи на ЕГЭ. Вспомним!!!

• Теорема, обратная теореме Фалеса.
Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

назад

 

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы

1) В прямоугольном △ АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC ⇒ ∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в △АВС ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B ⇒ BOC — равнобедренный с основанием BC. Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO ⇒

 

назад