Задание 24 ОГЭ. Геометрические задачи на вычисление. Четырёхугольники
1
ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ.
1. (311249) Основания равнобедренной трапеции равны и , а периметр равен . Найдите
площадь трапеции.
Решение.
Так как трапеция равнобедренная, то , а значит, периметр
имеет вид:
. Выражаем отсюда сторону .
.
Опустим высоту . В силу равнобедренности трапеции,
.
Из , по теореме Пифагора
.
Ответ:
.
2. (324778) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
Решение.
I способ. Опустим перпендикуляр к стороне . Пусть . По свойству
диагоналей ромба («диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся
пополам»)
.
Из , по теореме Пифагора:
.
Так как высота прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла, есть
среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, то:
. Тогда
.
Т.к. у ромба все стороны равны, то . Из по теореме косинусов:
. Т.к. значение косинуса отрицательно, то угол
– тупой. Используя формулу приведения для косинуса (
), и учитывая,
что
, определяем, что .
У ромба соседние углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых,
значит, в сумме они дают , т.е. .
Противоположные углы равны, значит, .
II способ. Опустим перпендикуляр . Пусть . По свойству диагоналей ромба
(«диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам»)
. В
найдём
.
Так как диагонали ромба являются биссектрисами углов, то .
(по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых)
.
Противоположные углы ромба равны, значит, .
Ответ:.
2
3. (340934) В параллелограмм вписана окружность. Найдите периметр параллелограмма, если
одна из его сторон равна 8.
Решение.
I способ. Окружность вписана в параллелограмм , значит,
она касается сторон и в точках и
соответственно, т.е. стороны параллелограмма являются
касательными к окружности. По свойству: «отрезки
касательных, проведённых из одной точки, равны» заключаем,
что: .
Рассмотрим и .
по I признаку
равенства треугольников. Следовательно, , но , значит, . Кроме
того, , значит, , т.е. данный параллелограмм
является ромбом и все стороны у него равны. Тогда,
II способ. Этот способ гораздо короче и использует признак описанного
четырёхугольника: «Суммы противоположных сторон описанного
четырёхугольника равны», т.е.
, т.е. т.е. данный параллелограмм является ромбом и все
стороны у него равны. Тогда,
Ответ:
4. (341285) Высота ромба делит сторону на отрезки и . Найдите
высоту ромба.
Решение.
Так как у ромба все стороны равны, то .
Из по теореме Пифагора:
.
Ответ: .
5. (311566) Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 27. Найдите площадь этого
прямоугольника.
Решение.
.
Тогда площадь прямоугольника равна:
.
Из по теореме Пифагора:
.
Значит,
.
Ответ: .
6. (311671) Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через
точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках
и соответственно. Найдите длину отрезка , если .
Решение.
I способ. Воспользуемся свойством трапеции: «Отрезок, параллельный
основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится ею
пополам и равен отношению удвоенного произведения оснований к сумме
оснований», т.е.
.
3
II способ. Этот способ для тех, кто не помнит свойство трапеции, описанное в I способе.
Воспользуемся другим свойством: «Точка пересечения диагоналей трапеции делит её на два
подобных треугольника, содержащих основания, и два равновеликих треугольника,
содержащих боковые стороны», т.е.
. Если и это свойство не
всплывает в памяти, то легко доказать подобие треугольников и .
по I признаку
подобия треугольников. Значит, стороны у этих треугольников пропорциональны, т.е.
.
Рассмотрим и .
по I признаку
подобия треугольников, значит,
.
Аналогично,
.
Тогда, .
Ответ: .
7. (311666) Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Площади
треугольников и равны соответственно см
2
и см
2
. Найдите площадь трапеции.
Решение.
Рассмотрим и .
по I признаку подобия треугольников. Значит, их площади относятся, как
квадрат коэффициента подобия, т.е.
. Тогда отношение всех
элементов этих треугольников равно
. А именно,
.
.
.
Ответ: .
8. (182) В трапеции основание вдвое больше основания и вдвое больше боковой
стороны . Угол равен сторона равна . Найдите площадь трапеции.
Решение.
Так как и , то .
Проведём высоты и к основанию . Тогда
.
В (по сумме углов
треугольника). Значит, по свойству угла, равного в
прямоугольном треугольнике,
.
Тогда,
, т.е. .
Рассмотрим и .
по I признаку равенства
треугольников. Значит, . Тогда
.
4
По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике
.
.
Ответ:
.
9. (311711) В выпуклом четырёхугольнике длина отрезка, соединяющего середины
сторон и , равна одному метру. Прямые и перпендикулярны. Найдите длину
отрезка, соединяющего середины диагоналей и .
Решение.
I способ.
.
.
Значит, четырёхугольник KNMP является параллелограммом.
. Так как в параллелограмме KNMP один угол прямой, то этот
параллелограмм является прямоугольником (противоположные углы равны и сумма
односторонних равна 180°). Поскольку диагонали прямоугольника равны, то м
II способ.
Воспользуемся методом координат. Так как , то лежит на оси ординат
(, а – на оси абсцисс
. Тогда вершины четырёхугольника имеют
координаты:
. По формулам координат середины отрезка
найдём координаты точек .
Теперь, по формуле расстояния между точками, найдём длины отрезков и .
.
Обратим внимание, что
.
Ответ: м.
5
10. (340409) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
Решение.
Диагональ является биссектрисой , значит, .
Так как четырёхугольник вписан в окружность, то его стороны
являются хордами этой окружности, а его углы – вписанными углами
окружности. По свойству вписанных углов: «Вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же хорду, и расположенные по одну сторону
от этой хорды, равны», определяем, что (они опираются на хорду ), а
(они опираются на хорду ). Но т.к. , то .
Рассмотрим и .
по I признаку подобия треугольников.
Значит, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, т.е.
. Рассмотрим первое и третье отношение в этой пропорции.
. Тогда, .
Ответ: .
11. (311717) Каждое основание и трапеции продолжено в обе стороны.
Биссектрисы внешних углов и в этой трапеции пересекаются в точке , биссектрисы
внешних углов и пересекаются в точке . Найдите периметр трапеции , если длина
отрезка равна 28.
Решение.
I способ. Разберём рисунок. –
биссектриса угла , – биссектриса
угла , – биссектриса угла и
– биссектриса угла . Значит,
, но как накрест
лежащие при параллельных прямых и . Следовательно, , и треугольник
– равнобедренный, т.е. . Кроме того, в этом равнобедренном треугольнике
биссектриса является и медианой, и высотой. Значит, .
Аналогично, , но как накрест лежащие при параллельных
прямых и . Следовательно, , и треугольник – равнобедренный,
т.е. . Кроме того, в этом равнобедренном треугольнике биссектриса является
и медианой, и высотой. Значит, .
Так как точки и являются серединами сторон и соответственно, то –
средняя линия трапеции , поэтому,
.
Теперь составим формулу для нахождения периметра трапеции .
.
II способ. по свойству
внутренних односторонних углов при параллельных
прямых и . Т.к. – биссектриса , то
; – биссектриса ,
значит, . Тогда,
. По сумме углов треугольника,
, т.е. – прямоугольный.
6
Аналогично, по свойству внутренних односторонних углов при
параллельных прямых и . Т.к. – биссектриса , то ; –
биссектриса , значит, . Тогда,
. По сумме углов треугольника,
, т.е. – прямоугольный.
Так как точки и являются точками пересечения биссектрис внешних углов трапеции, то
точка равноудалена от сторон и угла , а точка равноудалена от сторон
и угла . Т.е., точки и равноудалены от прямых и
.
Это означает, что . Теперь воспользуемся теоремой Фалеса: «Две пары
параллельных прямых, отсекающие на одной секущей равные отрезки, отсекают на любой
другой секущей также равные отрезки». Значит, и . Поэтому –
средняя линия трапеции , и
.
В – медиана, опущенная из прямого угла, значит,
(в прямоугольном
треугольнике центр окружности, описанной около треугольника, лежит на середине
гипотенузы, поэтому являются радиусами этой окружности). Следовательно,
. Также, в – медиана, опущенная из прямого угла, значит,
,
значит, .
.
Ответ: .
12. (311712) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями и , если
отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Решение.
Точки – середины сторон соответственно.
Значит, – средняя линия
– средняя линия
– средняя линия
– средняя линия
Тогда и четырёхугольник является
параллелограммом. По условию известно, что его диагонали . Равенство диагоналей
в параллелограмме является признаком прямоугольника. Значит, (т.к.
). Находим площадь исходного четырёхугольника.
Ответ:
13. (339611, 339403) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке,
лежащей на стороне . Найдите , если .
Решение.
– биссектриса .
– биссектриса .
по свойству внутренних накрест лежащих при
параллельных прямых и .
по свойству внутренних накрест лежащих при
параллельных прямых и .
– равнобедренный, и .
7
– равнобедренный, и .
По свойству сторон параллелограмма (противоположные стороны параллелограмма
равны), . Значит,
Ответ:
14. (128, 315116) В трапеции боковые стороны и равны, – высота,
проведённая к большему основанию . Найдите длину отрезка , если средняя линия
трапеции равна , а меньшее основание равно .
Решение.
Так как – средняя линия трапеции, то
.
По условию, трапеция равнобедренная (), значит, отрезки,
отсекаемые высотами, опущенными к большему основанию, равны.
Тогда
Ответ:
15. (339511) В треугольнике отмечены середины и сторон и соответственно.
Площадь треугольника равна . Найдите площадь четырёхугольника .
Решение.
Так как точки и - середины сторон и соответственно, то
– средняя линия треугольника . Значит,
.
Рассмотрим и
по I признаку подобия треугольников. Значит, стороны этих треугольников
пропорциональны, т.е.
. Другими словами, коэффициент подобия
этих треугольников равен
. Подобные треугольники обладают ещё тем свойством,
что их площади относятся, как квадрат коэффициента подобия, т.е.
.
Отсюда:
. Теперь можно найти площадь четырёхугольника
:
Ответ:
16. (311860, 316270) Основания трапеции и . Найдите отрезок, соединяющий середины
диагоналей трапеции.
Решение.
I способ. Пусть и – середины диагоналей и трапеции
соответственно. Отметим точку – середину стороны трапеции,
и соединим её с точкой . Тогда в – средняя линия. По
свойству средней линии треугольника: «Средняя линия треугольника,
соединяющая две стороны, параллельна третьей стороне и равна её
половине» . Так как в трапеции основания параллельны, то и
8
. Аналогично, – средняя линия и
.
По аксиоме планиметрии: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на
плоскости не более одной прямой, параллельной данной», прямые и совпадают, т.е.
точки лежат на одной прямой, параллельной основаниям трапеции. Тогда,
.
II способ. Воспользуемся методом координат. Направим оси
координат так, чтобы основание трапеции . Тогда
. Так как точка –
середина отрезка , а точка – середина отрезка , то по
формулам координат середины отрезка, находим координаты
этих точек.
По формуле расстояния между точками, находим длины отрезков и .
.
Ответ: .
17. ( ) Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке .
Найдите площадь параллелограмма , если .
Решение.
I способ. Так как – биссектриса , то .
и – внутренние накрест лежащие при параллельных
прямых и , значит, . Поэтому .
Следовательно, равнобедренный, и .
Опустим высоту параллелограмма на сторону . Получили
прямоугольный треугольник . По сумме
углов треугольника, . В прямоугольном
треугольнике напротив угла, равного 30°, лежит катет, равный половине гипотенузы, т.е.
. Теперь найдём площадь параллелограмма:
.
II способ. Начальные рассуждения такие же, как в первом способе.
Так как – биссектриса , то .
и – внутренние накрест лежащие при параллельных прямых,
значит, . Поэтому равнобедренный, и .
.
Ответ: .
9
18. ( ) Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются
в точке . Найдите , если
Решение.
Углы и трапеции – внутренние односторонние при
параллельных прямых и . Значит, их сумма равна , т.е.
. Т.к. – биссектриса , то .
Аналогично, – биссектриса , значит, . Тогда,
.
Из , по сумме углов треугольника, находим:
, т.е. – прямоугольный.
По теореме Пифагора:
.
Ответ: .
19. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
Решение.
Так как – биссектриса , то .
Так как – биссектриса , то .
(по свойству односторонних углов при
параллельных прямых и ). Тогда
.
Из , по свойству углов треугольника, находим угол .
, т.е. – прямоугольный.
Соответственно, – прямоугольные.
Проведём высоту параллелограмма через точку .
Рассмотрим и .
по II признаку равенства
треугольников. Значит, все элементы у них равны, т.е. .
Рассмотрим и .
по I признаку
равенства треугольников, следовательно, .
Находим площадь параллелограмма.
.
Ответ: .
20. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
Решение.
Проведём высоту к стороне и высоту к стороне
. Так как , то .
В .
10
Тогда, по сумме углов треугольника,
.
Используя свойство угла, равного 30°, в прямоугольном треугольнике («в прямоугольном
треугольнике напротив угла, равного 30°, находится катет, равный половине гипотенузы),
находим
. Значит,
. В
.
Ответ:
.
21. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
Решение.
I способ. Пусть – диагонали трапеции
, а – средняя линия этой трапеции. Проведём
высоту к основанию и прямую , параллельную .
Получили параллелограмм
. Так
как у параллелограмма противолежащие стороны равны, то .
Тогда . Здесь мы использовали свойство
средней линии трапеции: «Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их
полусумме», т.е.
. Поскольку в известны все
стороны, то для нахождения его площади можно использовать формулу Герона.
Теперь, площадь этого же треугольника найдём по другой формуле:
Находим площадь трапеции
II способ. Решим эту же задачу методом координат.
Направим оси координат так, чтобы сторона лежала на
оси Ох. Проведём высоту с основанию . Введём
координаты точек:
.
Так как – средняя линия трапеции, то найдём координаты
точек и по формулам координат середины отрезков и
соответственно.
Теперь запишем с помощью координат известные нам длины отрезков и длину отрезка .
11
Значит,
Значит, для нахождения высоты нам достаточно найти координату
.
Составим систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе:
Решим первое уравнение:
Значит, . Находим площадь трапеции
Ответ:
12
ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. (311560) Основания равнобедренной трапеции равны и , а периметр равен . Найдите
площадь трапеции.
2. (324779) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.
3. (324780) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
13, а одна из диагоналей ромба равна 52. Найдите углы ромба.
4. (324781) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.
5. (324782) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.
6. (324783) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
7. (324784, 355302) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон
равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.
8. (324785, 355427) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон
равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.
9. (324786) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.
10. (324787) Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно
11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.
11. (341290) Высота ромба делит сторону на отрезки и .
Найдите высоту ромба.
12. (311572) Периметр прямоугольника равен 30, а диагональ равна 14. Найдите площадь
этого прямоугольника.
13. (311699) Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через
точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках
и соответственно. Найдите длину отрезка , если .
14. (311698) Прямая, параллельная основаниям и трапеции , проходит через
точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны и в точках
и соответственно. Найдите длину отрезка , если .
15. (311709) Диагонали и трапеции пересекаются в точке . Площади
треугольников и равны соответственно см
2
и см
2
. Найдите площадь
трапеции.
13
16. (348450) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
17. (348979) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
18. (349411) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
19. (349474) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
20. (349974) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
21. (350295) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
22. (350616) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
23. (350663) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
24. (351039) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
25. (351547) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
26. (351952) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
27. (352266) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
28. (352316) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
14
29. (352363) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
30. (352381) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
31. (352451) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
32. (352608) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
33. (352808) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
34. (352948) В выпуклом четырёхугольнике диагональ является биссектрисой угла
и пересекается с диагональю в точке . Найдите , если известно, что около
четырёхугольника можно описать окружность,
35. (311718) Каждое основание и трапеции продолжено в обе стороны.
Биссектрисы внешних углов и в этой трапеции пересекаются в точке , биссектрисы
внешних углов и пересекаются в точке . Найдите периметр трапеции , если длина
отрезка равна 24.
36. (311710) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями и , если
отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
37. (339781) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
38. (339835) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
39. (340033) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
40. (339489) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
41. (339521) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
42. (339590) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
15
43. (339788) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
44. (339793, 352971) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке,
лежащей на стороне . Найдите , если .
45. (340101) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
46. (351434) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
47. (351509) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
48. (351810) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
49. (351990) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
50. (352026) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
51. (352399) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
52. (352701) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
53. (353590) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке, лежащей
на стороне . Найдите , если .
54. (315004) В трапеции боковые стороны и равны, – высота, проведённая к
большему основанию . Найдите длину отрезка , если средняя линия трапеции
равна , а меньшее основание равно .
55. (315021) В трапеции боковые стороны и равны,
– высота, проведённая к большему основанию . Найдите
длину отрезка , если средняя линия трапеции равна , а
меньшее основание равно .
56. (315094) В трапеции боковые стороны и равны, – высота, проведённая к
большему основанию . Найдите длину отрезка , если средняя линия трапеции
равна , а меньшее основание равно .
57. (316296) Основания трапеции и . Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей.
58. (316333) В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции .
Найдите её среднюю линию.
16
59. (311772) В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны. Высота трапеции .
Найдите её среднюю линию.
60. ( ) Биссектриса угла параллелограмма пересекает сторону в точке .
Найдите площадь параллелограмма , если .
61. ( ) Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются
в точке . Найдите , если
62. ( ) Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции пересекаются
в точке . Найдите , если
63. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
64. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
65. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
66. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
67. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
68. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
69. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
70. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
71. ( ) Биссектрисы углов и параллелограмма пересекаются в точке .
Найдите площадь параллелограмма, если , а расстояние от точки до стороны
равно .
72. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
17
73. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
74. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
75. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
76. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
77. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
78. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
79. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
80. ( ) Найдите боковую сторону трапеции , если углы и
соответственно равны и , а .
81. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
82. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
83. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
84. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
85. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
86. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
87. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
88. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
89. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
18
90. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
91. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
92. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
93. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
94. ( ) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и , а средняя линия
равна .
19
ОТВЕТЫ
№
задачи
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ответ
156
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
60°; 120°;
60°; 120°
№
задачи
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ответ
5
14,5
19,2
12
81
129
5183
8463
2400
273
88
408
45
1530
105
№
задачи
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
ответ
1845
90
840
575
216
720
513
1440
3024
48
6
72
60
52
20
№
задачи
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
ответ
80
84
16
19
22
13
21
15
64
18
76
48
14
10
6
№
задачи
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
ответ
8
2,5
19
16
17,5
13
25
66
216
380
340
36
56
32
72
№
задачи
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
ответ
4
25
42
36
24
51
6
№
задачи
86
87
88
89
90
91
92
93
94
ответ
48
66
30
24
24
84
60
48
24
Математика - еще материалы к урокам:
- Тренировочный вариант по математике 15
- Конспект урока "Неравенства и системы неравенств" 9 класс
- Презентация "Составные задачи на сложение и вычитание" 3 класс
- Презентация "Задача на перемене" 5 класс
- Презентация "Поупражняемся в вычислении столбиком" 3 класс
- Конспект урока "Приёмы умножения единицы и нуля" 2 класс
