Задание 24 ОГЭ. Геометрические задачи на вычисление
1
ЗАДАНИЕ 24 ОГЭ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ.
ТРЕУГОЛЬНИКИ.
1. (50, 311695) В прямоугольном треугольнике с прямым углом известны катеты:
. Найдите медиану этого треугольника.
Решение.
Медиана прямоугольного треугольника, опущенная из прямого угла,
является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Поэтому, найдём радиус описанной окружности, используя теорему
синусов:
. Отсюда
По теореме Пифагора
.
Тогда
.
Ответ: 5.
2. (341687) Точка является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла
треугольника к гипотенузе . Найдите , если .
Решение.
В прямоугольном треугольнике катет – есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на
гипотенузу. В нашем треугольнике проекция катета на гипотенузу
– это , поэтому,
Ответ: 10.
3. (311714) Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину
медианы, проведённой к стороне , если угол равен , а угол равен
.
Решение.
Медиану
, опущенную на сторону ,
продлим на отрезок
, равный
.
Соединим точку с вершинами треугольника
и . Четырёхугольник является
параллелограммом, т.к. у него диагонали и
пересекаются в точке
и этой точкой
делятся пополам (признак параллелограмма).
Поэтому противолежащие углы у него
равны, а именно, .
Теперь рассмотрим четырёхугольник . . Так
как сумма противолежащих углов равна , то около этого четырёхугольника
можно описать окружность. В этой окружности и – пересекающиеся хорды.
Значит, по свойству хорд,
. Так как медианы треугольника
пересекаются и точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины,
2
то
, кроме того,
и
. Поэтому, свойство хорд
принимает вид:
. Отсюда,
.
Ответ: 6.
4. (311240) Окружность проходит через вершины и треугольника и пересекает
его стороны и в точках и соответственно. Отрезки и
перпендикулярны. Найдите , если .
Решение.
I способ. Для решения этой задачи используем следующее свойство: «Угол
между двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен
полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности», т.е.
. – вписанный, опирающийся на дугу , значит, по
свойству вписанных углов (градусная мера вписанного угла равна половине
градусной меры дуги, на которую он опирается):
. Аналогично, .
Рассмотрим . . Тогда, по сумме углов треугольника,
.
Значит,
. Подставляем эти выражения в первую
формулу, получаем:
. Из этого равенства
находим
. Значит, .
II способ. по свойству вписанных углов, опирающихся на одну хорду.
Тогда смежные с ними углы тоже равны, т.е. . Рассмотрим
четырёхугольник . Зная, что сумма углов четырёхугольника равна ,
составляем равенство:
. Тогда смежный с ним угол . Из
треугольника .
Ответ: .
5. (319968, 311924) В треугольнике угол равен , радиус вписанной окружности
равен . Найдите площадь треугольника , если .
Решение.
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на
пересечении биссектрис углов этого треугольника, а радиусы
перпендикулярны сторонам (т.к. стороны являются касательными к
окружности). Значит, четырёхугольник является квадратом
со стороной . и по признаку
равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету). Следовательно,
и . Тогда
.
Находим периметр .
.
3
Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой:
.
Ответ: .
6. (180, 315035) Прямая , перпендикулярная медиане треугольника , делит её
пополам. Найдите сторону , если сторона .
Решение.
В является высотой (т.к. и
медианой (т.к. делит пополам). Значит, –
равнобедренный, т.е. . По условию, –
медиана, т.е. делит сторону пополам, поэтому
. Но, , значит,
Ответ:
7. (333025) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны и . Найдите
высоту, проведённую к гипотенузе.
Решение.
I способ. Пусть . Используем свойство: «В
прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное
между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу», т.е.
. А теперь используем свойство высоты: «В
прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу», т.е.
.
II способ. Воспользуемся формулами нахождения площади прямоугольного треугольника.
. Сторону найдём по теореме
Пифагора:
. Тогда:
.
Ответ: .
8. (333025) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
Решение.
Так как точки и лежат на окружности, то – хорда, на
которую опирается прямой угол , значит, эта хорда
является диаметром. также является диаметром по
условию, поэтому .
Ответ: .
4
9. (339487) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона в раза меньше стороны .
Решение.
I способ. Воспользуемся свойством: «Если две секущие
пересекаются вне окружности, то имеет место равенство
». Это равенство можно записать в виде пропорции
. Рассмотрим и .
по II признаку подобия треугольников. Значит,
пропорциональность сохраняется для всех сторон, т.е.
.
II способ. Так как четырёхугольник – вписанный, то сумма противолежащих
углов у него равна , т.е. . Кроме того, и –
смежные, значит, в сумме дают тоже , т.е. . Из этих
двух равенств заключаем, что . Тогда по I признаку
подобия треугольников. Следовательно, стороны у них пропорциональны, т.е.
.
Ответ: .
10. (339656) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
Решение.
Рассмотрим и .
по I признаку подобия треугольников. Значит,
стороны этих треугольников пропорциональны, т.е.
.
Т.к. , то
. Используя основное свойство пропорции, получаем:
.
Ответ: .
11. (340344) В треугольнике биссектриса угла делит высоту, проведённую из
вершины , в отношении , считая от точки . Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника , если .
Решение.
Рассмотрим . Воспользуемся свойством
биссектрисы треугольника: «Биссектриса делит противолежащую
сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам»,
т.е.
.
Радиус окружности, описанной около находим из теоремы синусов:
5
.
Из
.
Значит,
Ответ:
12. (311700) Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая
из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в и .
Решение.
I способ. Так как – медиана, то . Воспользуемся
теоремой синусов для треугольников и .
.
II способ. Продлим медиану на отрезок и
рассмотрим и .
по I
признаку равенства треугольников .
В
.
Составим отношение сторон треугольника
Ответ:
13. (311706) Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9.
Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её
пополам.
Решение.
Рассмотрим и .
по I признаку
подобия треугольников
Рассмотрим и .
по I признаку подобия треугольников
. Учитывая, что
, получаем:
.
6
Ответ: .
14. (311707) Биссектрисы углов и при боковой стороне трапеции ,
пересекаются в точке . Найдите , если .
Решение.
Углы и трапеции – внутренние односторонние при
параллельных прямых и . Значит, их сумма равна , т.е.
. Т.к. – биссектриса , то . Аналогично,
– биссектриса , значит, . Тогда,
.
Из , по сумме углов треугольника, находим:
, т.е. – прямоугольный. По теореме Пифагора:
.
Ответ: .
15. (353409) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
Решение.
I способ. Так как – биссектриса , то из , по свойству
биссектрисы (биссектриса делит противоположную сторону на
части, пропорциональные прилегающим сторонам):
. Т.к.
– медиана, то
. Значит,
. Учитывая,
что , получаем:
.
Медиана треугольника обладает ещё тем свойством, что делит треугольник на два
равновеликих треугольника, т.е. на треугольники с равными площадями. Поэтому,
, где - высота, опущенная на сторону BM.
У и одна и та же высота , опущенная на сторону BM.
. Найдём отношение площадей треугольников.
.
II способ. Обозначим площадь треугольника через , т.е.
. Так как
, то . Значит, по
свойству биссектрисы, из
, и ; а
из
и .
. Тогда,
.
Ответ:
.
7
ЗАДАЧИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.
1. (341721) Точка является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла
треугольника к гипотенузе . Найдите , если .
2. (311716) Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину
медианы, проведённой к стороне , если угол равен , а угол равен
.
3. (315017) Прямая , перпендикулярная медиане
треугольника , делит её пополам. Найдите сторону , если
сторона .
4. (315102) Прямая , перпендикулярная медиане треугольника , делит угол
пополам. Найдите сторону , если сторона равна .
5. (315123) Прямая , перпендикулярная медиане треугольника , делит угол
пополам. Найдите сторону , если сторона равна .
6. (333104) Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны и . Найдите высоту,
проведённую к гипотенузе.
7. (339404) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
8. (339405) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
9. (339512) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
10. (339570, 339977) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины
прямого угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром
пересекает стороны и в точках и соответственно. Найдите , если
.
11. (339729) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
8
12. (339827) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
13. (340120, 353120) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины
прямого угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром
пересекает стороны и в точках и соответственно. Найдите , если
.
14. (340004) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
15. (353441) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
16. (351576) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
17. (351787) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
18. (351789) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
19. (352629) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
20. (353039) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
21. (353044) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
22. (353100) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
9
23. (353399) Точка является основанием высоты , проведённой из вершины прямого
угла прямоугольного треугольника . Окружность с диаметром пересекает
стороны и в точках и соответственно. Найдите , если .
24. (339528) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона в раза меньше стороны .
25. (339579) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона в раза меньше стороны .
26. (339732) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона в раза меньше стороны .
27. (339882) Окружность пересекает стороны и треугольника в точках и
соответственно и проходит через вершины и . Найдите длину отрезка , если
, а сторона в раза меньше стороны .
28. (339466) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
29. (339505) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
30. (339795) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
31. (350157) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
32. (351460) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
33. (351953) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
34. (352273) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
35. (353136) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
10
36. (357341) Прямая, параллельная стороне треугольника , пересекает стороны
и в точках и соответственно. Найдите , если .
37. (348788) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади четырёхугольника .
38. (348921) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
39. (349173) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади четырёхугольника .
40. (349201) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
41. (349351) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
42. (349774) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади четырёхугольника к площади треугольника .
43. (349801) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
44. (350106) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади четырёхугольника .
45. (350112) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади четырёхугольника .
46. (350246) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
11
47. (350703) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
48. (351179) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
49. (351264) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади четырёхугольника к площади треугольника .
50. (351801) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
51. (351885) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади четырёхугольника .
52. (353247) Медиана и биссектриса треугольника пересекаются в точке ,
длина стороны относится к длине стороны как . Найдите отношение
площади треугольника к площади треугольника .
12
ОТВЕТЫ
№
задания
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
ответ
20
9
5
6
2
12
13
14
19
13
18
17
14
15
11
20
№
задания
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
ответ
16
11
20
18
19
17
15
10
17
5
4
42
10
16
6
№
задания
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
ответ
60
24
30
33
№
задания
49
50
51
52
ответ
Математика - еще материалы к урокам:
- Технологическая карта учебного занятия по математике "Старинные меры длин" 2 класс
- Игровые технологии на уроках математики
- Презентация "Головоломка «Танграм»" 5 класс
- Презентация "Задача на построение сечения"
- Конспект урока "Сложение и вычитание в пределах 1000 без перехода через разряд"
- Конспект урока "Величины. Единица длины - километр"
