Презентация "“Банковские” задачи ЕГЭ Задание 17"

“Банковские” задачи ЕГЭ Задание 17 15–го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы: - 1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; - со 2 по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; - 15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15–е число предыдущего месяца. Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования? Пусть A0 - сумма кредита, An - сумма долга через n месяцев. A1 (сумма долга через 1 месяц) = A0 * 1.02 - X1, где X1 - выплата в первом месяце.

2% от A0 = 0,02*A0+А0 = А0*(0.02+1)=А0-1.02

Аналогично распишем A2...до А18. А2=А1*1.02-X2 А18=А17*1.02-Х18 (Также помним, что А18=0 по условию, т.к. долг будет погашен)

В связи с тем, что ежемесячная сумма долга уменьшается на одну и ту же величину (по условию задачи), можно сделать вывод: An - арифметическая прогрессия. Вернемся к заданию. Сколько процентов от суммы кредита составляет сумма выплаченных денег в итоге? А1=А0*1.02-Х1 А2=А1*1.02-X2 ... А18=А17*1.02-Х18

Перенесем все выплаты (все значения Xn) в левую часть, знаки поменяются. Также перенесем суммы долгов (все значения An) в правую часть, знаки поменяются

X1+X2+...Х18 - сумма выплаты (сколько в итоге заплатили), а нам нужен процент этой суммы от суммы кредита, следовательно нужно сумму выплаты разделить на сумму кредита и умножить на 100%: X1+Х2+...+Х18 и умножить всё это на 100%.

А0

Не забываем о том, что кроме переноса значений Xn в левую часть, мы перенесли значения An в правую часть. Получается: Х1+Х2+...+Х18=1.02 * (А0+А1+...+А17) - (А1+А2+...+А18)

1.02 вынесли за скобки (общий знаменатель). Остальное перенесли с противоположным знаком и оставили.

Итак, в левой части у нас сумма выплаты, а в правой части - 1.02 и две арифметические прогрессии: 1) А0+А1+...+А17 2) А1+А2+...+А19 Рассмотрим 1. По формуле мы бы нашли эту сумму так: (А0+А17)/2*18, но для простого счета прибавим в эту прогрессию еще один член - А18 (мы можем так сделать, поскольку А18=0 и сумма останется неизменной. Тогда наша 1-ая прогрессия примет следующий вид: А0+...+А18. Значит ее сумму мы найдем по той же формуле: (А0+А18)/2*19 => сумма 1-ой прогрессии= А0/2*19. Рассмотрим 2. По формуле найдем ее сумму: (А1+А18)/2*18 => сумма 2-ой прогрессии = А1/2*18.

= А0/2*19

= А1/2*18

Вернемся к нашей формуле. Заменим прогрессии на их суммы, которые мы только что нашли. Х1+Х2+...+Х18=1.02 * (А0+А1+...+А17) - (А1+А2+...+А18)

1 пр-ия

2 пр-ия

Х1+Х2+...+Х18=1.02 * А0/2*19 - А1/2*18; Х1+Х2+...+Х18=0.51*19*А0 - 9(А0+d); d-разность пр-ии.

Х1+Х2+...+Х18=9.69А0 - 9А0+9*(-А0/18);

X1+X2+...+X18=9.69A0 - 8.5A0

X1+X2+...+X18=1.19А0

Теперь мы знаем сумму выплаты.

A18=A0+18d

d= -A0/18

Вернемся к основной формуле, чтобы найти процент суммы выплаты от кредита. (X1+X2+...+X18)/A0 * 100%. Так как сумму выплаты мы уже знаем, то просто подставим в формулу: 1.19А0/А0 * 100% = 1.19 * 100% = 119%. Таким образом, сумма выплаты составила 119% от кредита.

Ответ: 119%