Презентация "Поворот" 9 класс

тема: ПОВОРОТ (9 класс) цель: создать условия для самостоятельного усвоения темы посредством практических упражнений

• Латипова Р.Н. учитель математики МОУ «Средняя школа № 33 г.Петрозаводск

Поворот

• Говорят, что точка А' плоскости получается из точки А поворотом вокруг точки О на угол φ, если OA' = OA и AOA' = φ.

• Преобразование плоскости, при котором данная точка О остается на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении (против часовой стрелки или по часовой стрелке) на заданный угол φ, называется поворотом вокруг точки О на угол φ.

Симметрия n-го порядка

• Говорят, что фигура F' получается поворотом фигуры F вокруг точки О на угол φ, если все точки фигуры F' получаются всевозможными поворотами точек фигуры F вокруг точки О на угол φ.

• Точка О называется центром симметрии n - го порядка фигуры F, если при повороте фигуры F вокруг точки О на угол фигура F совмещается сама с собой.

Свойства

• Свойство 1. Поворот сохраняет расстояния между точками.

• Свойство 2. Поворот переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые.

Вопрос 1

• Что называется поворотом вокруг точки?

• Ответ: Преобразование плоскости, при котором данная точка О остается на месте, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении (против часовой стрелки или по часовой стрелке) на заданный угол φ, называется поворотом вокруг точки О на угол φ.

Вопрос 2

• Какая точка называется центром симметрии n-го порядка?

• Ответ: Точка О называется центром симметрии n - го порядка фигуры F, если при повороте фигуры F вокруг точки О на угол фигура F совмещается сама с собой.

Вопрос 3

• Сформулируйте свойства поворота.

• Ответ: 1. Поворот сохраняет расстояния между точками.
• 2. Поворот переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи и прямые в прямые.

Упражнение 1

• На какой угол нужно повернуть прямую, чтобы полученная прямая была: а) перпендикулярна исходной; б) параллельна исходной.

• Ответ: а) 90о;

• б) 180о.

Упражнение 2

• Правильный треугольник повернули на 60о вокруг центра описанной окружности. Какая фигура является общей частью полученного и исходного треугольников?

• Ответ: Правильный шестиугольник.

Упражнение 3

• Квадрат повернули вокруг точки пересечения диагоналей на угол 45о. Какая фигура является общей частью полученного и исходного квадратов?

• Ответ: Правильный восьмиугольник

Упражнение 4

• Правильный пятиугольник повернули вокруг центра описанной окружности на угол 36о. Какая фигура является общей частью полученного и исходного пятиугольников?

• Ответ: Правильный десятиугольник

Упражнение 5

• Правильный шестиугольник повернули вокруг центра описанной окружности на угол 30о. Какая фигура является общей частью полученного и исходного шестиугольников?

• Ответ: Правильный двенадцатиугольник

Упражнение 6

• Какие фигуры, изображенные на рисунке, при повороте переходят сами в себя? Укажите центры и углы поворота.

• Ответ: а) Центр описанной окружности, 120о;

• б) точка пересечения диагоналей, 180о;

• в) центр описанной окружности, 60о;

• г) центр окружности, произвольный угол;

• д) центр описанной окружности, 72о.

Упражнение 7

• На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, ей принадлежащей, чтобы повернутая окружность касалась исходной?

• Ответ: 180о.

Упражнение 8

• Точка A удалена от центра окружности радиуса 2 на расстояние 4. На какой наименьший угол нужно повернуть окружность вокруг точки A, чтобы повернутая окружность касалась исходной?

• Ответ: 60о.

Упражнение 9

• На рисунке укажите буквы латинского алфавита, имеющие центр симметрии 2-го порядка.

• Ответ: H, I, N, O, S, X, Z.

Упражнение 10

• Центром симметрии какого порядка является точка пересечения диагоналей: а) параллелограмма; б) ромба; в) прямоугольника; г) квадрата; д) правильного пятиугольника?

• Ответ: а) 2-го порядка;

• г) 4-го порядка.

• б) 2-го порядка.

• в) 2-го порядка.

• д) 5-го порядка.

Упражнение 11

• Симметрией какого порядка обладают снежинки?

• Ответ: 6-го порядка.

Упражнение 12

• Может ли центр симметрии n-го порядка фигуры не принадлежать ей?

• Ответ: Да.

Упражнение 13

• Изобразите точку A’, полученную из точки A поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки.

• Ответ:

Упражнение 14

• Изобразите точку A’, полученную из точки A поворотом вокруг точки O на угол 270о против часовой стрелки.

• Ответ:

Упражнение 15

• Изобразите отрезок A’B’, полученный из отрезка AB поворотом вокруг точки O на угол 90о по часовой стрелке.

• Ответ:

Упражнение 16

• Отрезок CD получен поворотом отрезка AB на угол 90о по часовой стрелке. Укажите центр поворота.

• Ответ:

Упражнение 17

• Изобразите треугольник A’B’C’, полученный из треугольника ABС поворотом вокруг точки O на угол 90о против часовой стрелки.

• Ответ:

Упражнение 18

• Изобразите треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг точки O на угол 90о по часовой стрелке.

• Ответ:

Упражнение 19

• Изобразите треугольник, полученный из треугольника OAB поворотом вокруг точки O на угол 60о против часовой стрелки.

• Ответ:

Упражнение 20

• Изобразите треугольник, полученный из треугольника ABC поворотом вокруг точки O на угол 40о по часовой стрелке.

• Ответ:

Упражнение 21

• Точка B получена поворотом точки A на угол 90о против часовой стрелки. Укажите центр поворота.

• Ответ:

Упражнение 22

• Точка B получена поворотом точки A на угол 90о по часовой стрелке. Укажите центр поворота.

• Ответ:

Упражнение 23

• Треугольник DEF получен поворотом треугольника ABС на угол 90о против часовой стрелки. Укажите центр поворота.

• Ответ:

Упражнение 24

• Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

• Ответ: 90о.

Упражнение 25

• Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

• Ответ: 180о.

Упражнение 26

• Треугольник A’B’C’ получен поворотом треугольника ABC по часовой стрелке вокруг точки O. Найдите угол поворота.

• Ответ: 45о.

Упражнение 27

• Треугольник A’B’C получен поворотом треугольника ABC против часовой стрелки вокруг точки C. Найдите угол поворота.

• Ответ: 135о.

Упражнение 28

• Изобразите четырехугольник, полученный поворотом четырехугольника ABCD вокруг точки O на угол 270о против часовой стрелки.

• Ответ:

Упражнение 29

• Центром симметрии какого порядка является точка O для шестиугольника, изображенного на рисунке?

• Ответ: Второго.

Упражнение 30

• Центром симметрии какого порядка является точка O для восьмиугольника, изображенного на рисунке?

• Ответ: Четвертого.

Упражнение 31

• Центром симметрии какого порядка является точка O для многоугольника, изображенного на рисунке?

• Ответ: Девятого.

Упражнение 32

• Центром симметрии какого порядка является точка O для звездчатого многоугольника, изображенного на рисунке?

• Ответ: Девятого.

Упражнение 33*

• Три соседа по дачным участкам решили вырыть общий колодец и проложить от него дорожки к своим домикам. Где нужно расположить колодец, чтобы суммарная длина дорожек была наименьшей?

• Решение: Повернём треугольник ABC вокруг вершины C на угол 60о. При этом точка A перейдёт в точку A’, точка B – в точку B’, точка K – в точку K’. Треугольник CKK’ – равносторонний, следовательно CK = KK’.

• Сумма расстояний AK + BK + CK равна длине ломаной AKK’B’, длина которой будет наименьшей, если точки A, K, K’, B’ принадлежат одной прямой. Это будет, если углы AKC и BKC равны 120о, т. е. если колодец K расположен в точке Торричелли.