Ученики на Учителя.com


Реферат по математике "Производная" 11 класс

Реферат
по предмету: «Математика»
на тему: «Производная»
преподаватель Лазарева Юлия Валерьевна
Курск 2016
2
Содержание
Введение
1. Понятие производной
2. Геометрический смысл производной
3. Изучение функции с помощью производной
3.1 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
3.2 Достаточные условия убывания и возрастания функции
3.3 Правило нахождения экстремума
Заключение
3
Введение
Понятие функции является одним из основных понятии математики.
Оно не возникло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а, как и
другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и
исторического развития. Идея функциональной зависимости восходит к
древнегреческой математике. Например, изменение площади, объема фигуры
в зависимости от изменения ее размеров. Однако древними греками идея
функциональной зависимости осознавалась интуитивно.
Уже в 16 - 17 в. в, техника, промышленность, мореходство поставили
перед математикой задачи, которые нельзя было решить имеющимися
методами математики постоянных величин. Нужны были новые
математические методы, отличные от методов элементарной математики.
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый
немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин
(определения он не дал вообще) он употребляет в узком смысле, понимая под
функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее
абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический
налет". В современных терминах это определение связано с понятием
множества и звучит так: «Функция есть произвольный способ отображения
множества А = {а} во множество В = {в}, по которому каждому элементу а
А поставлен в соответствие определенный элемент в В. Уже в этом
определении не накладывается никаких ограничений на закон соответствия
(этот закон может быть задан Формулой, таблицей, графиком, словесным
описанием). Главное в этом определении: а А !b B. Под элементами
множеств А и В понимаются при этом элементы произвольной природы.
В математике XVII в. самым же большим достижением справедливо
считается изобретение дифференциального и интегрального исчисления.
Сформировалось оно в ряде сочинений Ньютона и Лейбница и их
ближайших учеников. Введение в математику методов анализа бесконечно
→
4
малых стало началом больших преобразований. Но наряду с интегральными
методами складывались и методы дифференциальные. Вырабатывались
элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач,
которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. В
то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым,
нахождение максимумов и минимумов функций, отыскивание условий
существования алгебраических уравнений квадратных корней.
Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления
опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав,
в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и
дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy, и др.
Появление анализа бесконечно малых революционизировало всю
математику, превратив ее в математику переменных величин.
Исследование поведения различных систем (технические,
экономические, экологические и др.) часто приводит к анализу и решению
уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их
изменения, аналитическим выражением которых являются производные.
Такие уравнения, содержащие производные, называются
дифференциальными.
В своём реферате я хочу подробнее остановится на приложениях
производной.
5
1. Понятие производной
При решении различных задач геометрии, механики, физики и других
отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же
аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую
функцию, которую называют производной функцией (или просто
производной) данной функции f(x) и обозначают символом
Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают
новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из
следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение x и определяем
соответствующее приращение функции y = f(x+ x) -f(x); 2) составляем
отношение
3) считая x постоянным, а x 0, находим
,
который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что
полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы
переходим к пределу. Определение: Производной y ' =f ' (x) данной функции
y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к
приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к
нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,
x
xfxxf
x
y
−+
=
)()(
x
xfxxf
x
−+
→
)()(
lim
0
6
, или
Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a,
отношение
при x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что
функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не
дифференцируема в точке x=a.
x
xfxxf
xf
x
−+
=
→
)()(
lim)('
0
x
y
y
x
=
→ 0
lim'
x
afxaf
−+ )()(
7
2. Геометрический смысл производной
Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в
окрестностях точки x
0
Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика
функции - точку А(x
0
, f (х
0
)) и пересекающую график в некоторой точке
B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС
=∆у; tgβ=∆y/∆x .
Так как АС || Ox, то ALO = BAC = β (как соответственные при
параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному
направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.
Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет
приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться.
Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a),
называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.
Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим
или tg =f '(x
0
), так как -угол наклона
касательной к положительному направлению оси Ох , по
определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной,
значит, k = tg = f '(x
0
).
Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:
x
y
tg
xx
=
→→ 00
limlim
tgtg
x
=
→ 0
lim
)('lim
0
0
xf
x
y
x
=
→
f(x)
8
Производная функции в точке x
0
равна угловому коэффициенту
касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x
0
.
9
3. Изучение функции с помощью производной
3.1 Возрастание и убывание функции. Экстремум функции
Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале
(a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие
значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x
2
) > f(x
1
) при x
2
> x
1
.
Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b)
функции f(x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют
одинаковые знаки. График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x
2
> x
1
вытекает нестрогое неравенство f (x
2
) f (x
1
), то
функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b ). Пример такой
функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x
0
, x
1
] она сохраняет
Рис.1 (а)
Рис.1 (б)
Рис.2 (б)
Рис.2 (а)
10
постоянное значение C Определение 2. Функция f (x) называется убывающей
в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале
соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x
2
) < f(x
1
) при
x
2
> x
1
.
Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b )
функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют
разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).
Если из неравенства x
2
> x
1
вытекает нестрогое неравенство f(x
2
)
f(x
1
), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале ( a, b ).
Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x
0
, x
1
] она
сохраняет постоянное значение C.
Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a, b)
функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную
производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале (a, b)
функция f(x) имеет во всех точках этого интервала неположительную
производную.
Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x
0
до
x
1
, затем при возрастании x от x
1
до x
2
- возрастает, при дальнейшем
возрастании x от x
2
до x
3
она вновь убывает и так далее. Назовем такую
функцию колеблющейся. График колеблющейся функции показан на рисунке
3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так
Рис. 3
11
же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к
возрастанию, называются точками поворота или критическими точками
кривой y = f (x), а их абсциссы - критическими значениями аргумента x. В
той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината
больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки
A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней
близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x
0
, больше
значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x
0
: f (x
0
)
> f (x
0
+∆x).
На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a,
b ). В интервале (a, x
0
] она возрастает, на интервале [ x
0
, x
1
] - сохраняет
постоянное значение: f (x
0
) = f (x
1
) = C, в интервале [ x
1
, b ) - убывает. Во
всех точках, достаточно близких к x
0
(или x
1
), значения функции f (x)
удовлетворяют нестрогому неравенству f (x
0
) f (x).
Значение f (x
0
) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто
максимумом. Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое
значение f (x
0
) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x)
в точках x, достаточно близких к точке x
0
, т.е. в точках x, принадлежащих
Рис.4 (б)
12
некоторой достаточно малой окрестности точки x
0
. Так, на рисунке 3
показаны два максимума: f (x
0
) и f (x
2
). В той точке, где функция переходит
от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких
к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B
меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x
1
справа и
слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x
1
, меньше
значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются
от x
1
: f (x
1
) < f (x
1
+ x).
На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале ( a,
b ). В интервале ( a, x
0
] она убывает, на интервале [ x
0
, x
1
] - сохраняет
постоянное значение: f (x
0
) = f (x
1
) = C, в интервале [ x
1
, b ) - возрастает. Во
всех точках, достаточно близких к x
0
(или x
1
), значения функции f (x)
удовлетворяют нестрогому неравенству f (x
0
) f (x).
Значение f (x
0
) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное
неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто
минимумом. Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое
значение f (x
0
) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x)
в точках x, достаточно близких к точке x
0
, т.е. в точках x, принадлежащих
некоторой достаточно малой окрестности точки x
0
. Так, на рисунке 3
показаны два минимума: f (x
1
) и f (x
3
). По определению наибольшим
значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x
0
),
для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f
(x
0
) f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ]
является такое значение f (x
0
), для которого для всех точек интервала [ a, b ]
Рис.4 (а)
13
выполняется неравенство f (x
0
) f (x). Из этих определений следует, что
функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения
как внутри интервала [ a, b ] , так и на его концах a и b. Здесь же максимум и
минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и
наименьшее значения в некоторой окрестности точки x
0
. Если в точке x
0
функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f
(x) в точке x
0
достигает экстремума (или экстремального значения). Функция
f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем
может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь
максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале
[ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и
наибольшее из значений функции на концах интервала. Аналогично
наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из
экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений
функции на концах интервала.
Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает
наибольшего значения f (x) в точке x
2
, наименьшего - в точке x
1
интервала [
x
0
, x
3
]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число
минимумов и максимумов.
Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x)
имеет в точке x
0
экстремум, то ее производная в данной точке или равна
нулю или не существует. Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех
Рис.5
14
точках x
0
, в которых ее производная не существует. Например функция y = |
x | в точке x
0
= 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого
типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.
На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x
0
производной [f' (x
0
) = ] и достигающая в этой точке максимума. При x x
0
и x < x
0
f' (x) , при x x
0
и x > x
0
f' (x) . Значит касательная
кривой y = f (x) при x = x
0
перпендикулярна к оси Ox. Такие точки
называются точками возврата кривой y=f(x). Таким образом, необходимым
признаком существования в точке x
0
экстремума функции f (x) является
выполнение следующего условия: в точке x
0
производная f' (x) или равна
нулю, или не существует. Этот признак не является достаточным условием
существования экстремума функции f (x) в точке x
0
: можно привести много
примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x
0
, но, однако,
не достигающих экстремума при x = x
0
. Например, производная функции y
= x
3
при x
0
= 0 равна нулю, однако эта функция при x
0
= 0 не достигает
экстремального значения.
3.2 Достаточные условия убывания и возрастания функции.
Достаточные условия экстремума функции
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)
неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в
Рис. 6
15
этом интервале. Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b)
имеет неположительную производную, то она является невозрастающей
функцией в этом интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если
производная f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x
0
или не
существует и при переходе через x
0
меняет свой знак, то функция f(x) имеет в
этой точке экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум,
если знак меняется с "-" на "+"). Теорема 7. (второй достаточный признак
существования экстремума функции). Если в точке x
0
первая производная f
'(x) функции f(x) обращается в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от
нуля, то в точке x
0
функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x)
> 0, и максимума, если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в
точке x
0
и ее окрестности.
3.3 Правило нахождения экстремума
1. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из
полученных корней отобрать действительные и расположить их (для
удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все
корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков,
отграниченных стационарными точками ( стационарными точками называют
точки в которых производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от
данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа
от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная
отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то
она данная.
16
Заключение
Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим
преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно
разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные
подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и
необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к
производной.
Итак, геометрический смысл производной: производная функции в
точке x
0
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции,
проведенной в точке с абсциссой x
0
.
17
Литература:
“Справочник по математике” И. Бронштейн, К. Семендяев 1948 г.(стр. 309)
“Математика” Р. Л . Вейцман, Л . Р. Вейцман, 2000 г. (стр. 42-48, 82)
“Алгебра начала анализа 10-11” А . Н . Колмогоров,
А . М . Абрамов, Ю . П . Дудницын, Б . М . Ивлев,
С . И . Шварцбурд, 1993 г. (стр. 95-97)
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: