ЕГЭ по математике "Решение задания 20"

Математика Базовый уровень. Решение задания 20. Составила: Зорихина Н.Ю. Учитель математики I категории Типы задач

• Обмен фишек
• Оценка за четверть
• Среднее арифметическое
• Партия в теннис
• Чёрно-белое поле
• Договор о дружбе
• Плоскость
• Задача о столбах
• Вазы с розами
• Маша и медведь
• Таблица чисел

• Порванная книга
• Цветные линии
• ЕГЭ – 2017
• Деление амёб
• Манекенщицы
• Кубики
• Горный перевал
• Произведение чисел
• Продажа холодильников
• Места в кинозале
• Закон Мура

Обмен фишек

• Петя меняет маленькие фишки на большие зайди на обмен он получает 6 больших фишек отдав 9 маленьких. Сначала у Пети было 100 фишек (больших и маленьких), Осталось 79 сколько обменов он совершил?

Решение:

• 9-6=3. этим действием мы узнаем сколько Петя теряет (назовём это так) фишек за 1 обмен.
• 100-79=21 фишку он потерял
• 21:3 и получаем 7 Ответ: 7

Обмен наклеек

• Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 50 обменов?
• Решение:
1)50*5=250 – всего получит наклеек 2)но при обмене он отдавал по 1 наклейке получается 250-49=201. Ответ. 201

Оценка за четверть

• В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 3530. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2", «3", «4" или «5" и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленным по правилам округления?
• Решение:
Число 3530 разложим на множители таким образом, чтобы остаток от разложения состоял из чисел 2, 3, 4 и 5 (т.к. только такие оценки ставит учитель). 3530=2⋅5⋅353, при этом оценки 353 не бывает, но оно записано в виде ряда оценок 3, 5 и 3. Таким образом, получается ряд оценок 2, 5, 353 (как и по условию у нас оценок получилось 5 штук). Найдем среднее арифметическое данных оценок 2+5+3+5+3=3,6, округлив до целого получим оценку 4. Ответ: 4.

• В конце четверти Петя выписал подряд все свои отметки по одному из предметов, их оказалось 5, и поставил между некоторыми из них знаки умножения. Произведение получившихся чисел оказалось равным 3495. Какая отметка выходит у Пети в четверти по этому предмету, если учитель ставит только отметки «2", «3", «4" или «5" и итоговая отметка в четверти является средним арифметическим всех текущих отметок, округленным по правилам округления? (Например, 3,23,2 округляется до 33; 4,54,5 - до 55; а 2,82,8 - до 33.)
• Ответ: 3

Среднее арифметическое

• Среднее арифметическое 6 различных натуральных чисел равно 8. На сколько нужно увеличить наибольшее из этих чисел, чтобы их среднее арифметическое стало на 1 больше?
• Решение:

Ответ: 6

Партия в теннис

• Миша, Коля и Леша играют в настольный теннис: игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что Миша сыграл 12 партий, а Коля - 25. Сколько партий сыграл Леша?
• Решение:

Ответ: 13

Чёрно-белое поле

• Клетки таблицы 6 х 5 раскрашены в черный и белый цвета. Пар соседних клеток разного цвета 26, пар соседних клеток черного цвета всего 6. Сколько пар соседних клеток белого цвета?
• Решение:

Ответ: 17

Договор о дружбе

• Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя другими странами, а каждая из оставшихся трех - ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?
• Решение:

Ответ: 21

Плоскость

• Три луча, выходящие из точки, разбивают плоскость на 3 разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 3 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
• Решение:

Ответ: 20

Задача о столбах

• Семь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 4 провода. Сколько всего проводов протянуто между этими семью столбами?
• Решение:

• Десять столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 8 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими десятью столбами?

Ответ: 14

Ответ: 40

Вазы с розами

• На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: черная, зеленая и оранжевая. Слева от черной вазы 32 розы, справа от оранжевой вазы 9 роз. Всего в вазах 37 роз. Сколько роз в зеленой вазе?
• Решение:

• На прилавке цветочного магазина стоят 3 вазы с розами: белая, синяя и красная. Слева от красной вазы 15 роз, справа от синей вазы 12 роз. Всего в вазах 22 розы. Сколько роз в белой вазе?

Ответ: 5

Маша и медведь

• Маша и Медведь съели 160 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенье они съели поровну?
• Решение:

Ответ: 144

• Ответ : 48

Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь-печенье, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в четыре раза быстрее. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

• Ответ: 90

Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь – печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?

Порванная книга

• Из книги выпало несколько идущих подряд листков. Номер последней страницы перед выпавшими листами - 352, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?
• Решение:

Ответ: 85

Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили к полученному произведению B и вычли C. Получилось 165. Какое число было загадано?

• Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 4, но меньше 8. Загадали натуральное число, затем его умножили на А, потом прибавили к полученному произведению B и вычли C. Получилось 165. Какое число было загадано?
• Решение:

Цветные линии

• На палке отмечены поперечные линии красного, желтого и зеленого цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по желтым – 12 кусков, а если по зеленым - 6 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трех цветов?
• Решение:

Ответ: 24

ЕГЭ - 2017

• На ленте с разных сторон от середины отмечены две поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет длиннее другой на A см. Если разрезать по красной, то одна часть будет длиннее другой на B см. Найдите расстояние от красной до синей полоски.
• Решение:

Ответ: 30

Деление амёб. Способ 1

• Биологи открыли разновидность амёб, каждая из которых ровно через минуту делится на две. Биолог кладёт амёбу в пробирку, и ровно через час пробирка оказывается полностью заполненной амёбами. Сколько минут потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё положить не одну, а четыре амёбы?
• Решение:

Переведем часы в минуты, так как ответ должен быть в минутах:

1 час = 60 минут

Через 60 минут одна амеба произведет полную пробирку амеб. Если амеб будет 4, то за тот же час будет заполнено 4 пробирки. Однако пробирка лишь одна, поэтому каждой амебе нужно заполнить лишь 1/4 от пробирки.

Если 1 амеба заполняет всю пробирку за 60 минут, то 1/2 пробирки (половина) будет заполнена 1 амебой за 59 минут, а 1/4 пробирки (половина от половины) будет заполнена ею за 58 минут. Поскольку все 4 амебы будут делиться одновременно, за 58 минут они полностью заполнят пробирку.

Способ 2

• Переведем часы в минуты, так как ответ должен быть в минутах:
• 1 час = 60 минут
• Пусть количество минут, которое будет происходить деление, равно x. Тогда за это время 1 амеба поделится на 2x амеб, а 4 амебы – на 4 ⋅ 2x. При этом они полностью заполнят пробирку. Кроме этого известно, что 1 амеба за 60 минут полностью заполнит пробирку, то есть при этом получится 260 амеб. Составляем уравнение и решаем его:
• 260 = 4 ⋅ 2x
• 260 = 2log24 ⋅ 2x
• 260 = 2x + log24
• 60 = x + log24
• x = 60 – log24 = 60 – 2 = 58 минут
• Заметим, что при вычислениях нам понадобилось привести число 4 к степени с основанием 2. Для этого было использовано основное логарифмическое тождество:
• 4 = 2log24

Ответ: 58

Манекенщицы

• При демонстрации летней одежды наряды каждой манекенщицы отличаются хотя бы одним из трёх элементов: блузкой, юбкой и туфлями. Всего модельер приготовил для демонстрации 5 видов блузок, 3 вида юбок и 4 вида туфель. Сколько различных нарядов будет показано на этой демонстрации?
• Решение:

Поскольку существует 5 видов блузок, 3 вида юбок и 4 вида туфель, число различных нарядов равно произведению этих чисел:

5 ⋅ 3 ⋅ 4 = 60

Ответ: 60

Кубики

• Сколькими способами можно поставить в ряд два одинаковых красных кубика, три одинаковых зелёных кубика и один синий кубик?
• Решение:

Нам важен порядок кубиков, поэтому нам нужно посчитать количество перестановок всех кубиков: Р = (2 + 3 + 1)! = 6! Однако у нас есть одинаковые кубики, от перемены мест которых результат не изменится: 3 зеленых (это 3! перестановок) и 2 красных (это 2! перестановок). Нужно разделить получившееся число перестановок при всех разных кубиках на число перестановок зеленых и красных кубиков, чтобы исключить повторы:

6! / (2! ⋅ 3!) = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 / (1 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3) = 2 ⋅ 5 ⋅ 6 = 60

ОТВЕТ: 60

Горный перевал

• Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут.
• Решение:

Ответ: 8,5

Произведение чисел

• Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
• Решение:

Так как количество чисел, произведение которых берется, больше заданного делителя, остаток от деления будет равен 0. Поскольку среди чисел из произведения обязательно найдется число, которое делится нацело на заданный делитель.

Приведем несколько примеров:

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10 / 7 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 8 ⋅ 9 ⋅ 10

16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 21 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25 / 7 = 3 ⋅ 16 ⋅ 17 ⋅ 18 ⋅ 19 ⋅ 20 ⋅ 22 ⋅ 23 ⋅ 24 ⋅ 25

Ответ: 0

Места в кинозале

• В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
• Решение:

Вычислим количество мест в каждом ряду кинозала последовательно:

Ряд 1: 24

Ряд 2: 24 + 2 = 26

Ряд 3: 26 + 2 = 28

Ряд 4: 28 + 2 = 30

Ряд 5: 30 + 2 = 32

Ряд 6: 32 + 2 = 34

Ряд 7: 34 + 2 = 36

Ряд 8: 36 + 2 = 38 

Ответ: 38

Закон Мура

• По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах каждый год удваивается. Известно, что в 2005 году среднее число транзисторов на микросхеме равнялось 520 млн. Определите, сколько в среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году.
• Решение:

Пусть в 2003 году было x миллионов транзисторов, тогда в 2005 году их стало:

x ⋅ 2 ⋅ 2 = 4x = 520

Осталось найти значение x:

x = 520 / 4 = 130

Ответ: 130

Продажа холодильников

• В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?
• Решение:

По условию задачи в апреле было продано 10 холодильников. С мая по август (4 месяца) продажи увеличивались на 15 холодильников каждый месяц. Получили арифметическую прогрессию a1 = 10 d = 15 n = 5 Число n равно 5, так как в расчеты мы включили месяц апрель. Необходимо найти сумму 5 членов арифметической прогрессии. Воспользуемся формулами: Sn = (a1 + an) ⋅ n / 2 an = a1 + d(n - 1) Вычислим n-ый член арифметической прогрессии и сумму n членов: a5 = a1 + d(n - 1) = 10 + 15 ⋅ (5 – 1) = 10 + 60 = 70 S5 = (10 + 70) ⋅ 5 / 2 = 80 ⋅ 5 / 2 = 400 / 2 = 200 С сентября объем продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц (4 месяца). Значит в сентябре было продано: 70 – 15 = 55 холодильников Получили убывающую арифметическую прогрессию: a1 = 55 d = –15 n = 4 Вычислим n-ый член арифметической прогрессии и сумму n членов: a4 = a1 + d(n - 1) = 55 – 15 ⋅ (4 – 1) = 55 – 45 = 10 S4 = (55 + 10) ⋅ 4 / 2 = 65 ⋅ 4 / 2 = 260 / 2 = 130 холодильников Таким образом, в январе, феврале и марте было продано по 10 холодильников, с апреля по август включительно было продано 200 холодильников, а с сентября по декабрь включительно было продано 130 холодильников. Общее количество проданных за год холодильников равно: 10 + 10 + 10 + 200 + 130 = 360 холодильников

Ответ: 360

Таблица чисел

• В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?
• Решение:

Вычислим сумму натуральных чисел во всей таблице, для этого нужно сложить суммы чисел во всех столбцах:

103 + 97 + 93 = 293

Теперь найдем диапазон, в котором лежит число строк таблицы. Для этого разделим сумму чисел в таблице на сумму чисел в строке.

Поскольку сумма чисел в строке больше 21, но меньше 24, она может быть равна 22 или 23. Если сумма в строке равна 22, то:

293 / 22 ≈ 13,3

Если сумма чисел в строке равна 23, то:

293 / 23 ≈ 12,7

Получается, что число строк в таблице лежит в диапазоне от 12,7 и 13,3. Единственное целое число, лежащее в данном диапазоне, равно 13.

Использованные источники:

• http://www.ege-math.ru
• http://worksbase.ru/matematika/kak-reshat/egeb-20