Ученики на Учителя.com


Конспект урока "Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена" 9 класс

У р о к 8.
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА
ИЗ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
Цели: формировать у учащихся умение выделять квадрат двучлена из
квадратного трехчлена и решать задачи с помощью этого преобразования.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; –1; 0; 1; 2 – являются корнями квадратных трехчленов
х
2
+ 4х + 3 и 5х – 2х
2
?
III. Объяснение нового материала.
В 8 классе учащиеся уже решали квадратные уравнения с помощью
выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, то есть данный
прием им знаком. Однако следует еще раз разобрать несколько примеров и
записать алгоритм, по которому выполняется это преобразование.
Сначала лучше привести несложный пример, где коэффициент а
квадратного трехчлена равен 1, а коэффициент b – четный:
х
2
– 6х + 4 = х
2
– 2 · 3 · х + 3
2
– 3
2
+ 4 = (х – 3)
2
– 5.
Затем нужно разобрать сложный пример. При этом учащиеся записывают
в тетрадях проводимые преобразования и их словесное описание в общем
виде, то есть составляют алгоритм выделения квадрата двучлена из
квадратного трехчлена.
ax
2
+ bx + c 2х
2
+ 16х + 5
1) Вынести за скобки коэффициент а:
2) Представить выражение в виде удвоенного произведения двух
множителей:
8х = 2 · 4 · х
3) К выражению в скобках прибавить и вычесть :
2
bc
а x x
aa




2
5
28
2
xx




b
x
a
2 · ·
2
bb
xx
aa
2
2
b
a



22
2
2 · ·
2 2 2
b b b c
a x x
a a a a




4) Представить часть выражения в скобках в виде полного квадрата:
5) Раскрыть скобки:
; 2 (х + 4)
2
– 27;
2х
2
+ 16х + 5 = 2 (х + 4)
2
– 27.
Далее следует разобрать пример 3 из учебника, который показывает, как
прием выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена может быть
использован при решении геометрической задачи.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 64, № 66.
2. № 68.
Р е ш е н и е
Выделим квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена:
2х
2
– 4х + 6 = 2 (х
2
– 2х + 3) = 2 (х
2
– 2 · 1 · х + 1
2
– 1
2
+ 3) = 2 ((х – 1)
2
+
+ 2) = 2 (х – 1)
2
+ 4.
Выражение 2 (х – 1)
2
положительно при любом х ≠ 1, поэтому сумма 2
(х – 1)
2
+ 4 принимает наименьшее значение при х = 1 и это значение равно 4.
О т в е т: при х = 1 наименьшее значение равно 4.
3. № 70.
Р е ш е н и е
Пусть один катет треугольника равен х см. Тогда второй катет равен
(6 – х) см, а площадь треугольника равна x (6 – x) см
2
.
Раскрыв скобки в выражении x (6 – x), получим 3х – x
2
. Выражение –
x
2
+ 3х является квадратным трехчленом. Выделим из него квадрат
двучлена:
22
22
b b c
ax
a a a




22
5 27
2 4 16 2 4
22
xx
2
2
24
bb
a x c
aa



1
2
1
2
1
2
1
2
– x
2
+ 3х = – (х
2
– 6х) = – (х
2
– 2 · 3 · х + 3
2
– 3
2
) = – ((х – 3)
2
– 9) =
= – ((х – 3)
2
+ .
Выражение – (х – 3)
2
отрицательно при любом х ≠ 3, поэтому сумма –
(х – 3)
2
+ принимает наибольшее значение при х = 3. Таким образом,
площадь будет наибольшей, когда один катет треугольника равен 3 см, тогда
второй катет тоже равен 3 см, то есть треугольник является равнобедренным.
4. № 71.
Р е ш е н и е
Чтобы выяснить, какой наибольшей высоты достигнет стрела, нужно
найти наибольшее значение квадратного трехчлена –5t
2
+ 50t + 20. Для этого
выделим из него квадрат двучлена:
–5t
2
+ 50t + 20 = –5 (t
2
– 10t – 4) = –5 (t
2
– 2 · 5 · t + 5
2
– 5
2
– 4) =
= –5 ((t – 5)
2
– 29) = –5 (t – 5)
2
+ 145.
Данное выражение достигает наибольшего значения при t = 5, значит,
наибольшая высота равна 145 м.
О т в е т: 145 м.
Сильным в учебе учащимся дополнительно можно дать карточки.
К а р т о ч к а № 1
Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см. Большую его сторону
уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров.
При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется
наибольшей?
Р е ш е н и е
После увеличения и уменьшения сторон прямоугольника они стали равны
(5 – а) см и (3 + а) см. Площадь полученного прямоугольника будет равна (5
– а) (3 + а) см
2
.
Раскрыв скобки в этом выражении, получим квадратный трехчлен –а
2
+ 2а + 15. Выделим из него квадрат двучлена:
–а
2
+ 2а + 15 = –(а
2
– 2а – 15) = –(а
2
– 2 · 1 · а + 1
2
– 1
2
– 15) =
= –((а – 1)
2
– 16) = –(а – 1)
2
+ 16.
Данное выражение принимает наибольшее значение при а = 1.
О т в е т: а = 1.
К а р т о ч к а № 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
2
1
2
1
2
9
2
Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону
уменьшили на b см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров.
При каком значении b площадь полученного прямоугольника окажется
наибольшей?
Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче.
О т в е т: b = 2.
V. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х
2
– 8х + 15; б) 2а
2
– а; в) 7х
2
– 28.
2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х
2
+ 4х + 1; б) y
2
– y + 2.
В а р и а н т 2
1. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х
2
– 5х + 6; б) 2b
2
– 18; в) 0,3х
2
+ 0,1х.
2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х
2
– 6х + 11; б) x
2
– 2x + 5.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Что называется квадратным трехчленом?
– Что такое корни квадратного трехчлена? Как их найти?
– Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?
– Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена?
– Как найти наибольшее или наименьшее значение квадратного
трехчлена?
Домашнее задание: № 65, № 67, № 69.
1
4
1
3
Скачать материал

Математика - еще материалы к урокам: