Конспект урока "Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена" 9 класс

У р о к 8.
ВЫДЕЛЕНИЕ КВАДРАТА ДВУЧЛЕНА
ИЗ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА
Цели: формировать у учащихся умение выделять квадрат двучлена из
квадратного трехчлена и решать задачи с помощью этого преобразования.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Какие из чисел: –2; 1; 0; 1; 2 являются корнями квадратных трехчленов
х
2
+ 4х + 3 и 5х 2х
2
?
III. Объяснение нового материала.
В 8 классе учащиеся уже решали квадратные уравнения с помощью
выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена, то есть данный
прием им знаком. Однако следует еще раз разобрать несколько примеров и
записать алгоритм, по которому выполняется это преобразование.
Сначала лучше привести несложный пример, где коэффициент а
квадратного трехчлена равен 1, а коэффициент b четный:
х
2
6х + 4 = х
2
2 · 3 · х + 3
2
3
2
+ 4 = (х 3)
2
5.
Затем нужно разобрать сложный пример. При этом учащиеся записывают
в тетрадях проводимые преобразования и их словесное описание в общем
виде, то есть составляют алгоритм выделения квадрата двучлена из
квадратного трехчлена.
ax
2
+ bx + c 2х
2
+ 16х + 5
1) Вынести за скобки коэффициент а:
2) Представить выражение в виде удвоенного произведения двух
множителей:
8х = 2 · 4 · х
3) К выражению в скобках прибавить и вычесть :
2
bc
а x x
aa




2
5
28
2
xx




b
x
a
2 · ·
2
bb
xx
aa
2
2
b
a



22
2
2 · ·
2 2 2
b b b c
a x x
a a a a




4) Представить часть выражения в скобках в виде полного квадрата:
5) Раскрыть скобки:
; 2 (х + 4)
2
27;
2х
2
+ 16х + 5 = 2 (х + 4)
2
27.
Далее следует разобрать пример 3 из учебника, который показывает, как
прием выделения квадрата двучлена из квадратного трехчлена может быть
использован при решении геометрической задачи.
IV. Формирование умений и навыков.
Упражнения:
1. № 64, № 66.
2. № 68.
Р е ш е н и е
Выделим квадрат двучлена из данного квадратного трехчлена:
2х
2
4х + 6 = 2 (х
2
2х + 3) = 2 (х
2
2 · 1 · х + 1
2
1
2
+ 3) = 2 ((х 1)
2
+
+ 2) = 2 (х 1)
2
+ 4.
Выражение 2 (х 1)
2
положительно при любом х 1, поэтому сумма 2
(х 1)
2
+ 4 принимает наименьшее значение при х = 1 и это значение равно 4.
О т в е т: при х = 1 наименьшее значение равно 4.
3. № 70.
Р е ш е н и е
Пусть один катет треугольника равен х см. Тогда второй катет равен
(6 х) см, а площадь треугольника равна x (6 x) см
2
.
Раскрыв скобки в выражении x (6 x), получим 3х x
2
. Выражение
x
2
+ 3х является квадратным трехчленом. Выделим из него квадрат
двучлена:
22
22
b b c
ax
a a a




22
5 27
2 4 16 2 4
22
xx
2
2
24
bb
a x c
aa



1
2
1
2
1
2
1
2
x
2
+ 3х = (х
2
6х) = (х
2
2 · 3 · х + 3
2
3
2
) = ((х 3)
2
9) =
= ((х 3)
2
+ .
Выражение (х 3)
2
отрицательно при любом х 3, поэтому сумма
(х 3)
2
+ принимает наибольшее значение при х = 3. Таким образом,
площадь будет наибольшей, когда один катет треугольника равен 3 см, тогда
второй катет тоже равен 3 см, то есть треугольник является равнобедренным.
4. № 71.
Р е ш е н и е
Чтобы выяснить, какой наибольшей высоты достигнет стрела, нужно
найти наибольшее значение квадратного трехчлена 5t
2
+ 50t + 20. Для этого
выделим из него квадрат двучлена:
5t
2
+ 50t + 20 = 5 (t
2
10t 4) = 5 (t
2
2 · 5 · t + 5
2
5
2
4) =
= 5 ((t 5)
2
29) = 5 (t 5)
2
+ 145.
Данное выражение достигает наибольшего значения при t = 5, значит,
наибольшая высота равна 145 м.
О т в е т: 145 м.
Сильным в учебе учащимся дополнительно можно дать карточки.
К а р т о ч к а № 1
Имеется прямоугольник со сторонами 3 и 5 см. Большую его сторону
уменьшили на а см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров.
При каком значении а площадь полученного прямоугольника окажется
наибольшей?
Р е ш е н и е
После увеличения и уменьшения сторон прямоугольника они стали равны
(5 а) см и (3 + а) см. Площадь полученного прямоугольника будет равна (5
а) (3 + а) см
2
.
Раскрыв скобки в этом выражении, получим квадратный трехчлен а
2
+ 2а + 15. Выделим из него квадрат двучлена:
а
2
+ 2а + 15 = (а
2
2а 15) = (а
2
2 · 1 · а + 1
2
1
2
15) =
= ((а 1)
2
16) = (а 1)
2
+ 16.
Данное выражение принимает наибольшее значение при а = 1.
О т в е т: а = 1.
К а р т о ч к а № 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
9
2
1
2
1
2
9
2
Имеется прямоугольник со сторонами 8 и 12 см. Большую его сторону
уменьшили на b см, а меньшую увеличили на такое же число сантиметров.
При каком значении b площадь полученного прямоугольника окажется
наибольшей?
Р е ш е н и е аналогично предыдущей задаче.
О т в е т: b = 2.
V. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х
2
8х + 15; б) 2а
2
а; в) 7х
2
28.
2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х
2
+ 4х + 1; б) y
2
y + 2.
В а р и а н т 2
1. Найдите корни квадратного трехчлена:
а) х
2
5х + 6; б) 2b
2
18; в) 0,3х
2
+ 0,1х.
2. Выделите квадрат двучлена из квадратного трехчлена:
а) х
2
6х + 11; б) x
2
2x + 5.
VI. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
Что называется квадратным трехчленом?
Что такое корни квадратного трехчлена? Как их найти?
Сколько корней может иметь квадратный трехчлен?
Как выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена?
Как найти наибольшее или наименьшее значение квадратного
трехчлена?
Домашнее задание: № 65, № 67, № 69.
1
4
1
3