Ученики на Учителя.com


Конспект урока «Разложение квадратного трехчлена на множители» 8 класс

Муниципальное общеобразовательное учреждение
«МОУ Лицей №3 имени П.А. Столыпина
г. Ртищево Саратовской области»
Конспект открытого урока
по алгебре в 8 классе
по теме «Разложение квадратного
трехчлена на множители»
Учитель математики: Алексашина Г.М.
г. Ртищево
Март 2015года
Тема урока: Разложение квадратного трехчлена на множители.
Цели урока:
Повторить понятие квадратного трёхчлена. Получить формулу разложения квадратного
трёхчлена на множители, научить пользоваться данной формулой при решении
упражнений.
Развивать умение соотносить, распознавать, сопоставлять, анализировать данные,
критически оценивать результаты поиска, умение производить исследования в простейших
учебных ситуациях.
Воспитывать трудолюбие, познавательную активность, самостоятельность, усилить
внимание развитию продуктивного мышления.
Тип урока: урок открытия новых знаний с использованием элементов исследовательской
деятельности.
Формы работы учащихся: фронтальная, парная, индивидуальная.
Оборудование урока: Компьютер с проектором. Презентация. Карточки для выполнения
самостоятельной работы и теста.
Учебник. Алгебра .8класс: учеб. Для учащихся общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.
Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, И. Е. Феоктистов.- М,: Мнемозина, 2012.
Наиболее глубокий след оставляет то,
что тебе удалось открыть самому.
Д. Пойа
План урока.
I. Настроимся на урок!
II.Повторение – мать учения!
III. Твори, выдумывай, пробуй!
IV. Применяй!
V. Проверьте себя!
VI. Подведем черту.
Ход урока.
I. Настроимся на урок! Здравствуйте, ребята! Я очень рада вас всех сегодня видеть, и надеюсь
на совместную плодотворную работу. Я прошу вас быть активными и внимательными. Ни один
вопрос на уроке не должен остаться без ответа. Сегодня мы будем повторять, исследовать и
открывать новые знания. Девизом нашего урока будут слова известного швейцарского
математика Д. Пойа «Наиболее глубокий след оставляет то, что тебе удалось открыть самому».
(2 слайд)
Откройте тетради, запишите число 13. 03. 15г., классная работа.
II.Повторение – мать учения! Все, наверное, помнят эту поговорку. Математика не
исключение, и чтобы хорошо усваивать её, надо постоянно повторять изученное. Давайте
вспомним, что мы изучали на прошлом уроке? (Учащиеся называют тему «Квадратный
трехчлен и его корни»).
- Дайте определение квадратного трехчлена. (-Квадратным трехчленом называется многочлен
вида ах
2
+bx+c , где х переменная, a, b, c- некоторые числа, причем а 0).
- Что называется корнем квадратного трехчлена? (Корнем квадратного трехчлена называется
значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю).
- Как найти корни квадратного трехчлена? (Чтобы найти корни квадратного трехчлена ах
2
+bx+c ,
надо решить квадратное уравнение вида ах
2
+bx+c =0).
- От чего зависит количество корней? (От значения дискриминанта квадратного уравнения, если
D> 0 - два корня, если D = 0 – один корень, если D<0 – корней нет.)
А теперь проверим выполнение домашнего задания.
(Слайд 3) 1) На доске решить задание, которое мы записывали с вами в тетради: в домашнем
задании ученикам 8 класса было предложено найти корни квадратного трехчлена (х
2
-5х +7)
2
-
2(х
2
-5х +7) – 3. Подумав, Коля рассудил так: сначала нужно раскрыть скобки, потом привести
подобные слагаемые. Но Петя сказал, что есть более простой способ решения и раскрывать
скобки вовсе необязательно. Помогите Коле найти рациональный способ решения. Прошу,
показать какой способ нашли вы. (1 ученик решает на доске). Обозначим х
2
-5х +7 = у, получаем
у
2
– 2у - 3 = 0, Д
1
= 4, у
1,2
= -1; 3. Вернемся к переменной х. Получаем х
2
-5х + 7 = -1 и х
2
-5х +7 =
3. Первое уравнение не имеет корней, второе уравнение имеет два корня х
1,2
= 1; 4.
2) С классом проверяем устно № 756. Найти корни квадратного трехчлена. Сверим ответы.
Внимание на экран! (4слайд)
а) х
2
- 9х -10
Д = 81 + 40 = 121, Д > 0
2 действ.корнях
1=
-1
,
х
2
= 10.
б) 3m
2
- 6m + 4
Д = 36 – 48 = -12, Д < 0.
Нет корней.
в)
3
1
р
2
+2р +3
Д = 4 – 4 ∙
3
1
∙3 = 0
р
1,2
= -3
г) -
2
1
у
2
+ 6у -20
Д=36 – 4 ∙(-
2
1
)∙(-20)=-4, Д < 0.
Нет корней.
Дополнительные вопросы. - У кого есть другое решение? (Вычисляли Д
1
под б,в,г).
- Как нашли корни первого трехчлена? ( По теореме Виета, по свойству коэффициентов).
(Проверяем 1 задание, выясняем, какие были трудности при решении).
3) А сейчас я предлагаю вам решить номер из открытого банка заданий ОГЭ -9. (Выполняет 1
учащийся на доске, остальные в тетрадях) (5 слайд)
Задание №3СС46Е. Сократить дробь
)3)(2(
1892
23
хх
ххх
.
(Ответ: х – 3)
Учитель. Итак, решая это задание, вы разложили числитель дроби на множители с помощью
способа группировки. Какие вы еще знаете способы разложения многочленов на множители?
(Вынесение общего множителя за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способ
группировки).
Мотивация к проведению исследования и постановка общей проблемы. Говорят, добывая
знания, каждый человек может совершить невозможное. Проверим, верно ли это утверждение по
отношению к нам, ведь сегодня вам придется открывать новые горизонты знаний. Итак, начнем.
1) Самостоятельная работа. Я предлагаю всем выполнить самостоятельно следующее задание.
Работать можно в парах. Внимание на экран. В это же время один из учащихся решает
самостоятельно задание по карточке на доске и три человека на месте. (6 слайд)
Разложите на множители: а) х
2
– 5х; б) х
2
-3; в) х
2
– 16; г) х
2
– 8 х +16; д) 2аb -2b
2
– а +b;
е) х
2
– 7х +10. (Самопроверка через ПК) (7 слайд)
Вопросы: Все ли многочлены смогли разложить на множители? Каким способом разложили на
множители квадратные трехчлены?
2) Работа у доски по карточке. Сократите дробь: а)
75303
102
2
2
хх
хх
; б)
2
12102
2
х
хх
;
в)
23
26
2
х
хх
Ответы: а)
)5(3
2
х
х
; б) 2 (х-3) = 2х - 6;
Вопросы: - Все ли дроби получилось сократить? Почему именно разложение этого квадратного
трехчлена вызвало у вас затруднение? (Нет общего множителя, нет формулы сокращенного
умножения, нельзя сгруппировать.). (8 слайд)
Учитель. Получается, что задача как бы знакомая нам, но знаний у нас ещё недостаточно для ее
решения.
III.Твори, выдумывай, пробуй! 1. Постановка задачи исследования.
Учитель. (9 слайд) Я хочу привести вам слова известного швейцарского математика Пойа.
«Задача, которую вы решаете, может быть очень скромной, но если она бросает вызов вашей
любознательности, и если вы решаете ее собственными силами, то вы сможете испытать ведущее
к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы».
Итак, вызов вашей любознательности сделан. Необходимо сократить дробь. Можем ли мы,
насладиться радостью победы и выполнить данное задание? (проблемная ситуация).- Как решить
эту проблему?
Ответы учащихся: может, есть еще какой-нибудь способ, который мы пока не знаем.
Учитель. Итак, мы должны знать новый способ разложения квадратного трехчлена на
множители. Попробуем сформулировать тему нашего урока и цель урока, исходя из возникшей
проблемы. Запишите в тетрадь тему урока «Разложение квадратного трехчлена на множители».
2.Сбор информации и создание базы полученных результатов. Вернемся к заданиям, которые мы
выполняли. Проведем небольшое исследование, касающееся квадратных трехчленов, и
результаты запишем в таблицу.
План исследования.
1) В 1 столбик запишите квадратные трехчлены, которые вы смогли разложить на множители.
2) Во 2 столбик запишите множители, на которые вы смогли разложить квадратные трехчлены.
3) Установите связь чисел, полученных в разложении с квадратными трехчленами, и запишите
числа в 3 столбик.
4) В 4 столбик запишите значение дискриминанта и сравните его с нулем. (10 слайд)
Квадратные
трехчлены
Разложение
на множители
Старший коэффициент,
корни трехчлена
Дискриминант
х
2
– 8 х +16
(х – 4)
2
а =1, х
1,2
=4
Д = 0
х
2
– 7х +10
(х -2) (х -5)
а = 1, х
1
= 2, х
2
=5
Д = 9 , Д > 0
3х
2
– 30х +75
3 (х - 5)
2
а = 3, х
1,2
=5
Д = 0
2х
2
– 10х +12
2(х -2) (х - 3)
а = 2, х
1
= 2, х
2
=3
Д = 1 , Д > 0
(11 слайд)
Выводы по таблице (выдвижение гипотезы)
Если дискриминант квадратного трехчлена ах
2
+bx + c равен нулю, то х
1
________ х
2
и
ах
2
+bx + c = ___________________.
Если дискриминант квадратного трехчлена ах
2
+bx + cбольше нулю и х
1,
х
2
- его ____________,
то ах
2
+bx + c = ___________________.
Итоги исследовательской деятельности. Выводы записать в тетрадь. Если х
1,
х
2
корни
квадратного трехчлена ах
2
+ bx + c, то ах
2
+ bx + c = а (х – х
1
)(х – х
2
). (12 слайд)
Физминутка
Мы дружно трудились,
Немного устали.
Быстро, все сразу
За партами встали.
Руки поднимем,
Потом разведем
И очень глубоко
Всей грудью вдохнем
Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
И продолжим наш урок.
3) Проверка гипотезы: доказательство теоремы.
Итак, проведя небольшое исследование, мы получили формулу разложения квадратного трехчлена
на множители. Попробуем доказать, что мы правы. (Выступление учащихся с различными
способами доказательства, которые они приготовили). А теперь откройте учебники на стр. 208 и
найдите данную теорему.
4) Формулирование выводов. Доказанная теорема позволяет, найдя корни квадратного трехчлена,
записать его в виде произведения первого коэффициента, разности переменной и одного корня и
разности переменной и другого корня. Попробуем сформулировать алгоритм разложения
квадратного трехчлена на множители. Алгоритм (Слайд 13)
. Замечание. Если квадратный
трехчлен не имеет корней, то его разложить на множители нельзя.
5) Демонстрация применения результатов исследования.
Вернемся теперь к нашему примеру. Сократите дробь:
23
26
2
х
хх
.
6х
2
– х - 2 = 0, Д = 4, х
1
= - 1/2, х
2
= 2/3. Значит, получаем
23
)2/1)(3/2(6
х
хх
. Опять проблема:
нет общего множителя. Как быть? (Обсуждение в группах, ответы учащихся).
Получаем:
12
23
)12)(23(
х
х
хх
Вывод. Иногда удобно старший коэффициент вносить множителем в одну из скобок, в которой
находится дробный корень или старший коэффициент раскладывать на два множителя и вносить
один в одну скобку, второй в другую скобку.
IV. Применяй! . Учитель. Значит, теперь мы можем раскладывать квадратный трехчлен на
множители, применяя теорему о разложении на множители.
Выполним № 755(а) (1 учащийся на доске, все в тетрадях)
-2х
2
+5х + 18 = -2 (х -9/2)(х +2) = (9 - 2х) (х + 2).
Совместное решение привело к верному результату. Теперь разложите квадратный трехчлен по
этому алгоритму, работая в паре. Правила работы в паре: ученик, сидящий на 1 варианте,
раскладывает 1 трехчлен с карточки, проговаривая шепотом алгоритм решения, а сосед
контролирует его работу. Затем меняетесь ролями. Решение оформите в тетради. Для проверки 2
человека работают на обратной стороне доски.
Разложите на множители:
1 вариант. 2х
2
-3х -5 = (2х -5)(х +1).
2 вариант. 5у
2
– 2у - 3 = (5у +3) (у – 1)
Поднимите руки те, кто решил правильно. Молодцы! А кто нашел корни уравнения по – другому?
Ответ. По свойству коэффициентов.
1) Если а + b +с = 0, то х = 1; х = с/а
2) Если а + с = b, то х = -1; х = - с/а
V. Проверьте себя! Итак, мы выполняли с вами задания вместе, затем вы решали, помогая друг
другу, теперь настало время попробовать свои силы в одиночку.
Учащиеся выполняют тест.1 вариант группа учащихся выполняет на ПК в программе MyTestX
для подготовки и проведения компьютерного тестирования знаний. Автор: Башлаков А.С.
Тест
Вариант 1. 1. Какой квадратный трехчлен нельзя разложить на множители?
1. x
2
– 8x+ 7;
2. x
2
– 8x+16;
3. x
2
– 8x+ 9;
4. x
2
– 8x+17.
2.Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было равенство:
2x
2
– 9x – 5 = 2(x – 5)(…)?
1. х +2; 2. х +0,5; 3. х -1/2; 4. х-2.
3.Сократите дробь:


1. x – 3;
2. x + 3;
3. x – 4;
4. другой ответ.
2 вариант. Сдают тетради на проверку.
1 Какой квадратный трехчлен нельзя разложить на множители?
A. 5x
2
+ x+ 1;
B. ⅓x
2
–8x+ 2;
C. 0,1x
2
+3x - 5;
D. x
2
+4x+ 5
2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было равенство:
2x
2
+ 5x – 3 = 2(x + 3)(…)?
Ответ:_________ .
3. Сократите дробь:

-
-
E. 3x
2
– 6x – 15;
F. 0,25(3x - 1);
G. 0,25(x - 1);
H. другой ответ.
VI. Подведем черту. (Слайд 14)
Итог урока подводят учащиеся: что узнали нового? Достигли ли вы поставленной цели? Учитель
оценивает работу учащихся.
Информация о домашнем задании. (Слайд 15).Учить п.33. Решать № 755(г, д), 760(в),764(б).
Составить кроссворд на тему «Разложение квадратного трехчлена на множители».
Рефлексия. (Слайд 16).
Оцени свои успехи на уроке, поставив «галочки» рядом с верными по отношению
к тебе высказываниями.
Оцени свои успехи на уроке
Мне все понятно, у меня все
получается!
У меня еще есть ошибки,
но я стараюсь!
Я ничего не понимаю,
у меня ничего не получается!
16
Скачать материал

Алгебра - еще материалы к урокам: