Разработка урока "Подготовка обучающихся к ЕГЭ при изучении темы «Решение логарифмических уравнений»"
1
Разработка урока
учителя математики МБОУ СОШ №4 г.Михайловска
Романенко Ольга Семеновна
Тема : Подготовка обучающихся к ЕГЭ при изучении темы « Решение
логарифмических уравнений».
«Изобретение логарифмов , сократив
работу астронома , продлило ему жизнь»
П.С.Лаплас
Цели урока :
• Ввести понятие - простейшие логарифмические уравнения
• Рассмотреть основные методы решений основных типов логарифмических уравнений.
Требования к знаниям и умениям обучающихся:
• Знать вид простейших логарифмических уравнений
• Уметь применять различные методы при решении логарифмических уравнений.
План уроков
№
урока
Структура
урока
Этап урока
1
I
Организационный момент ( 1мин)
II
Теоретическая разминка ( 9 мин)
III
Изучение нового материала (35 мин)
2
I
Изучение нового материала ( 35 мин)
II
Закрепление изученного материала ( 7 мин )
III
Домашнее задание ( 3 мин)
У Р О К 1
I . Организационный момент : формирование мотива , желания работать на уроке.
II. Теоретическая разминка: повторение необходимых теоретических сведений по теме ,
развитие умений говорить и слушать. Работа проходит в форме ответов на вопросы :
• Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.
• Запишите основное логарифмическое тождество ( условия а
≠
1 , а > 0 , в > 0 )
• Основные свойства логарифмов (а
≠
1 , а > 0 , в > 0, х > 0, у > 0 ). Формулировки и
формулы.
1. Логарифм единицы.
2. Логарифм самого основания .
3. Логарифм произведения .
4. Логарифм частного .
5. Логарифм степени.
6. Логарифм корня.
• Формула логарифмического перехода от одного основания к другому
• Какие логарифмы называются десятичными , натуральными и как они обозначаются?
Чему равны lg 100 и lg 0, 001?
• Дайте определение логарифмической функции.
• Каковы область определения и область значений функции у = log
а
х и их обозначения
?
2
• Свойства монотонности : в каком случае функция у = loq
а
х является возрастающей . в
каком убывающей?
• Найдите выражения , имеющие смысл: log
3
5 ; log
5
0 ; log
2
(-4) ; log
5
1 ; log
5
5.
III. Изложение нового материала
В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня различной
степени .
А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма , как его назвать?
( логарифмическое ). Предложить ученикам дать определение логарифмического
уравнения .
Определение : Логарифмическим уравнением называется уравнение , содержащее
неизвестное под знаком логарифма.
•Какое преобразование называют логарифмированием ?
( Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).
•Какое преобразование называют потенцированием ?
( Действие , которое заключается в нахождении числа по данному логарифму , называют
потенцированием).
При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования .
Следует иметь в виду , что указанные операции могут привести к уравнениям , не
равносильным данным..
Логарифмирование – это опасная операция , т.к. при ней может произойти потеря корней .
Пример : х
2
= 25 ; прологарифмируем обе части log
5
х
2
= log
5
25;
х
1,2
= ± 5. уравнения по основанию 5: 2 log
5
х = 2;
log
5
х = 1;
х = 5 потеря корня х = - 5
Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.
При потенцировании потери корней не происходит , но могут получиться посторонние
корни , которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение .
Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается
отрицательное число или нуль , то этот корень надо отбросить как посторонний.
Пример: log
2
( х +1 ) + log
2
х = 2 используем свойства логарифма произведения
log
2
(( х +1 )х )= 2 используем определение логарифма
х( х+1) = 2
2
х
2
+ х - 4 = 0 , получаем х
1
= 1 и х
2
= -2 < 0 посторонний корень , т.к. log
2
( -2)
выражение не имеет смысла.
С учётом вышеизложенного при решении логарифмических уравнений приоритетом является
проверка ,а не ОДЗ .
Методы решения логарифмических уравнений.
Основные методы решения логарифмических уравнений :
• Метод потенцирования , т.е. переход от уравнения log
а
f
( х) = log
а
φ(х) к уравнению
следствию
f
( х) = φ(х);
• Метод введения новых переменных ;
• Метод логарифмирования , т.е. переход от уравнения
f
( х) = φ(х) к уравнению
log
а
f
( х) = log
а
φ(х)
3
1) . Уравнение вида log
а
х = в, где а
≠
1 , а > 0 , , х > 0, называется простейшим
логарифмическим уравнением , оно равносильно уравнению х = а
в
, причём ни проверка , ни
ОДЗ не требуется ,т.е.
• lo g
а
х = в,
а
≠
1 , а > 0 ; х = а
в
При решений уравнений такого типа можно выделить ещё два типа :
• lo g
а
f
( х) = в,
f
( х ) > 0,
f
( х) = а
в
.
а
≠
1 , а > 0 ;
f
( х) = а
в
;
• lo g
а
f
( х) = lo g
а
φ(х),
а
≠
1 , а > 0,
f
( х) = φ(х)
f
( х) = > 0, φ(х) > 0,, φ(х) > 0.,
У Р О К 2
Рассмотрим примеры решений различных логарифмических логарифмических уравнений :
1) Решение уравнений по определению логарифма .
Пример 1 . Найдите все решения уравнения log
2
( 3 х
2
– х ) = 1, принадлежащие области
определения функции у = √2 – 5х .
Решение: Уравнение log
2
( 3 х
2
– х ) = 1 равносильно уравнению 3х
2
– х = 2 . имеющему корни
х
1
= 1,
х
2
= -2/3.При х = 1 функция у = √2 – 5х не определена., а при х = -2/3 определена. Ответ : -2/3
Пример 2. Решить уравнение log
3
( 4 3
х -1
– 1) = 2х – 1 .
Решение: По определению логарифма имеем: 4 3
х -1
– 1 = 3
2х – 1
, 4/3 3
х
– 1 + 3
2х
1/3 .
Обозначим
3
х
= у , тогда 4/3 у – 1 = 1/3 у
2
, у
2
– 4у + 3 = 0 , у
1
= 1 , у
2
= 3. далее . если 3
х
= 1 . х = 0 , и если
3
х
= 3 , то х = 1.
Заметим , что при найденных значениях х выражение под знаком логарифма положительно .
Ответ : 0;1
Пример 3. Решить уравнение log
3
( 0,5 + х ) = log
3
0.5 - log
3
х.
Решение: Перегруппируем члены уравнения log
3
( 0,5 + х ) + log
3
х = log
3
0.5 .
Далее , используя свойство логарифма произведения , заметим , что уравнение равносильно
системе
х 0, х 0 ,
0,5 + х 0 х 0, х = -1 х = 0,5
log
3
( 0,5х + х
2
) = log
3
0,5 х + 2х
2
= 1 х = ½
Ответ: 0,5.
Пример 4. Решить уравнение log
2
( х +2 ) = log
2
( х
2
+ х - 7).
Решение: Из равенства логарифмов следует равенство , стоящих под знаком логарифма
выражений :
х + 2 = х
2
+ х – 7. Отсюда х
2
= 9 . х = - 3 или х = 3.
4
Проверка показывает , что х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению , х = 3 является его
решением. Ответ:3
Пример 5. Решить уравнение log
х – 6
( х - 4) = 2.
Решение : областью определения уравнения log
х – 6
( х - 4) = 2 является х6 , х – 6 1 . для
этих значений х уравнение равносильно следующему : ( х – 6 )
2
= х – 4 . Решив его , получим х
1
= 8 и х
2
= 5 .Учитывая ограничения , запишем ответ : х = 8 .
Ответ: 8
2). Метод сведения обеих частей уравнения к логарифму с одинаковым основанием.
Пример 6 . Найти все корни уравнения 5
х
2
2+х/х
= 40.
Решение : Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 и , применив свойства
логарифмов, получим : 2+х / х + х log
2
5 = 3 + log
2
5, или 2 – 2х /х + (х – 1 ) log
2
5 = 0 ,. или
(х – 1 )( log
2
5 – 2/х) = 0 , откуда х = 1 или х = 2/ log
2
5 = 2 log
5
2 = log
5
4.
Ответ: 1; log
5
4 .
Пример 7 . Решить уравнение х
lg
х – 1
= 100 .
Решение: Учитывая ОДЗ : х0 , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 : lg х
lg
х – 1
= lg 100. Применяем основное логарифмическое тождество ,получаем : lg х (lg х – 1) = 2 .
Пусть lg х = а, тогда а
2
– а – 2 = 0 . Решив его , получим а = 2 или а = -1 .
Возвращаемся к замене переменной lg х =2 или lg х = -1 , тогда х = 100 , х = 1/10
3). Метод введения новой переменной мы уже применили при решении предыдущего
уравнения и уравнения в примере 2.
Пример 8: Решить уравнения lg
2
( 10х ) + lg ( 10х) = 6 – 3 lg 1/10.
Решение : ОДЗ : х 0
Используем свойства логарифма и получаем ( lg10 + lg х )
2
+ lg 10 + lg х = 6 +3 lg х.
( 1 + lg х )
2
+ 1 + lg х = 6 +3 lg х.
Пусть lg х = а , ( 1 + а )
2
+ 1 + а = 6 + 3а , а
2
= 4 , а = 2;
а = -2.
lg х = 2 , х = 100; lg х = - 2 , х = 1/100. Ответ: 100 ; 0,
01
Также при решении логарифмических уравнений следует помнить , что при вынесении чётной
степени под знаком логарифма получаем модуль функции
lo g
а
f
(х)
2
n
= 2
n
lo g
а
|
f
(х)
|
Пример 8: Найти абсциссы тех точек графика функции у = 2 log
2
( 3х +5 ) + log
2
х
2
,
лежащие в верхней полуплоскости , расстояние от которых до оси абсцисс равно2.
Решение: Для точки верхней полуплоскости расстояние до оси абсцисс равно её ординате .
Таким образом , для выполнения условия задачи необходимо и достаточно равенства
2 log
2
( 3х +5 ) + log
2
х
2
= 2.
Решим это уравнение :. 2 log
2
( 3х +5 ) + log
2
х = 2 .Используя свойства логарифмов ,
получаем :
log
2
(( 3х +5 ) х ) = 1, ( 3х + 5 ) х = 2.
Раскрывая модуль , получим два случая :
1) ( 3х + 5 ) х = 2 , 3х
2
+5х – 2= 0 , х
1
= -2 0 , х
2
= 1/3 .
5
х0.
2) (3х + 5 ) ( -х) = 2, 3х2 + 5х + 2 = 0 , х
1
= -1 , х
2
= -2/3 .
х 0.
Ответ : таких точек три , их абсциссы : -1; -2/3 ; 1/3 .
II. Закрепление изученного материала .
Решить уравнения:
• log
3
2
х + log
3
х = 6;
• (log
2
2
х – 1) (log
2
2
х + 1 )= 15;
• lg
2
х –lg х =0;.
• log
3
х
log
4
х
log
5
х = log
3
х
log
4
х + log
3
х
log
5
х + log
4
х
log
5
х; ( для сильных
учеников).
Решение последнего примера : Заметим , что х = 1 является корнем уравнения.
Пусть х 1 , тогда обе части уравнения можно
разделить на
произведение log
3
х log
4
х log
5
х.
Получаем 1= 1/
log
5
х + 1/ log
4
х + 1/log
3
х.
Используем свойства логарифма :log
а
в = 1/ log
в
а ,
получаем
log
х
5 + log
х
4 + log
х
3 = 1 , log
х
60 = 1 и х = 60 .
Ответ: 1; 60.
III. Домашнее задание: § 44, № 44.1- 44.17 ( вариант 1 – а,в; вариант 2 – б,г).
При подготовке к уроку была использована следующая литература:
«Алгебра и начала анализа» 10- 11 кл. А.Г.Мордкович
( учебник и задачник ) ; 10-е издание – М: Мнемозина
20129.
