Внеклассное занятие "Множества и вероятность события" 6 класс

«Множества и вероятность события».

внеклассное занятие в 6 – Б кл.

(устный журнал)

Еркина Екатерина Ивановна

учитель математики, МБОУ СОШ № 12, г. Бологое.

Основная цель - на популярном уровне познакомить школьников с разделом

дискретной математики, который приобрел сегодня серьезное значение в

связи с развитием теории вероятностей, математической логики,

информационных технологий. Учащиеся должны получить представление о

том, что такое множество, комбинаторная задача, познакомиться с понятием

событие, равновозможные события, познакомиться с определением

вероятности того или иного события, поучиться решать задачи по данной

теме, для примеров использовать материал из темы: »Смешанные числа».

Прививать любовь к предмету, развивать интерес к новому разделу

математики.

Оборудование: раздаточный материал (наборы букв, чисел), памятка с

обозначениями, сообщения учащихся;, монета, кубик, буквы для

эксперимента; презентация.

ХОД УРОКА

1. Орг. момент. Актуализация задач урока.

2.Страница 1. «О множествах».

а) Сообщение учащегося.

б) Выполнение заданий:

1) придумать примеры множеств;

2) назвать подмножество чисел, являющееся неправильными дробями

в множестве А =













;

15;

;

;19;

;

назвать подмножество чисел, которые относятся к смешанным числам

из множества А;

3) назвать подмножество чисел, кратных 2, кратных 5 из множества

А =

 

13,140,24,35,102,14,20,5

3. Страница 2. «Комбинаторика».

а) Сообщение учащегося.

б) Разбор ситуаций:

1) перестановки из 2 – х , 3 – х и 4 – х элементов;

Например, всем известна знаменитая басня Ивана Крылова «Квартет»:

Проказница Мартышка,

Осел, Козел

Да косолапый Мишка

Затеяли квартет…

Как помниться, герои басни никак не могли усесться.

Подсчитайте, сколькими способами герои квартета могут

пересаживаться?

( Можно сосчитать по формуле. Решение Р

= 4! = 24

способа)

4. Страница 3.»Вероятность».

а) »Кое – что из прошлого теории вероятностей» - сообщение учащегося;

б) подсчет вероятностей с экспериментом:

1) подбрасывание монеты;

2) подбрасывание кубика;

3) получение слова из букв.

Эксперименты.

Пример 1. Пусть на стол бросают монету. В результате обязательно

произойдет одно из двух событий (либо «выпала решка», либо «выпал

орел»)

Событие А: «Выпала решка»

Событие В: «Выпал орел»

Так как предполагается, что монета не изогнута, то события А и

В в нашем примере равновозможные и одно из них обязательно

произойдет. Тогда вероятность события определяется следующим

образом: Р(А) =

, где n – число всех равновозможных случаев, m –

число случаев , благоприятствующих событию А. Тогда Р(А) =1/2

и Р(В) = ½.

Пример 2. Пусть на стол бросают игральный кубик.

Возможны 6 случаев: выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Эти случаи

равновозможные.

Событие А: «выпадение 3 очков», тогда Р(А) = 1/6.

Пример 3

Из пяти букв нарезной азбуки составлено слово «пять».

Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал.

Какова вероятность того, что он опять составил слова «пять»!?

Событие А: «составил слова «пять»»

Общее число равновозможных случаев равно 4! = 24, тогда Р(А)

= 1/24.

5. Заключение. Подведение итогов. Д/з.

6. Резерв времени.

Страница 4. «Игры, конкурсы».

Д/з: 1) вычислить: 5 + 24/9; 11 – 12/5; 204/21 – 51/21;

71/12 + 35/6; 82/9 – 45/7 и

ответы вычислений записать в виде множества А;

2) решить уравнения:

42/7 + х = 191/3 и х – 52/3 = 17/9 и

корни уравнений записать в виде множества В;

3) определить будет ли множество В подмножеством А.

Памятка.

Символы:

обозначение множества –

А =





















,5,4,3,2

;

знак подмножества



;

например,

В =





















5,4



А =





















,5,4,3,2

;

пустое множество

элемент

принадлежит

множеству А



Сообщения

учащихся

Раздаточный

материал

Множества.

Множество – понятие, у которого нет определения. Что же все - таки

может представлять собой множество? Оно может быть собрано любым

способом. Множество – простое понятие, принятое в повседневной жизни и

перенесенное в математику. Например, мы часто говорим:

множество городов,

множество городов, множество учащихся,

множество автомобилей, множество точек, множество чисел и т. д.

Математики утверждают, что теория множеств появилась на свет в 1873

году, т. е. более 100лет назад и придумал их один немецкий математик или

философ по фамилии Кантор. Кантора заинтересовало: каких чисел больше –

натуральных или действительных. Чудак он право, но с помощью множеств

ему удалось доказать, что действительных чисел больше, чем натуральных.

Благодаря множествам математический язык стал проще, чище и яснее,

проще стали и формулировки.

Множество может содержать любое количество элементов, имеющих

некоторые общие свойства. Например, множество натуральных чисел –

бесконечно, множество учеников нашего класса состоит из 18 человек или

содержит 18 элементов. А вот множество отличников 6 – Б кл. не содержит

ни одного элемента, так как отличников в классе нет и такое множество

называют пустым.

Если множество содержится в другом множестве, то его называют

подмножеством. Например, множество дней в неделе – это понедельник,

вторник, среда, . . . и так 7 дней. Отберем из них только учебные дни:

понедельник, вторник, среда, четверг и пятница – это и есть подмножество

множества дней недели.

Значит, из данных множеств можно составлять новые множества. Если

записывать все элементы 2 – х множеств в одно, то новое множество

называют объединением, а если брать только одинаковые, то это пересечение

множеств. Например, в одно множество входят четные числа, в другое

нечетные, тогда вместе в объединении они образуют множество натуральных

чисел. Если взять множество учеников 6 – Б кл. и множество членов

математических кружков 6 и 11 классов, то пересечением являются ученики

6 – Б кл., являющие членами кружка.

Математики рассматривают, обычно, математические множества.

Сегодня мы поговорим о комбинаторике, об определениях и о теории

вероятностей можно сказать попросту, без строгих выводов и доказательств.

Переходим к странице 2.

О множествах и комбинаторике.

Что такое множество? Что это за термин, в котором, как в ящике

фокусника, скрываются и марки, и числа, и звезды? ( Из ящика

вытаскиваются марки, таблица с числами, рисунок звездного неба. ) Как в

математике определяется это понятие? Если честно – то никак. Многое о

множествах было предложено вашему вниманию на внеклассном занятии на

тему: «Определения. Множества. Логика», по этому много о нем говорить не

будем. Хотя русское слово « множество « способно ввести в заблуждение:

оно неявно подразумевает некоторое изобилие. Однако математический

термин «множество« этого оттенка совсем не имеет. Слово »множество«

имеет тот же смысл, что и слова «совокупность», «набор», «собрание»,

«семейство» и т. д. Это его синонимы, которые, быть может, помогают

сделать термин более ясным. Сегодня мы будем говорить о конкретных

множествах. Кто-то из мудрых сказал, что можно и нужно для

математических понятий и задач брать примеры из окружающей жизни. Что

мы и сделаем на нашем внеклассном занятии.

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества

объектов подмножества элементов, обладающих теми или иными

свойствами, располагать элементы одного или нескольких множеств в

определенном порядке и т. д.. Например, мастеру приходится распределять

различные виды работ между рабочими, агроному – размещать с/х культуры

на нескольких полях, офицеру – выбирать из солдат взвода наряд и т. д..

Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях

объектов, их называют комбинаторными задачами. Область математики, в

которой изучаются комбинаторные задачи, называют комбинаторикой.

Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую

комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их

отображениях.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно

французским математиком П. Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая

теория вероятностей».

Кое-что из прошлого теории вероятностей

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников

«вероятность» поразить копьем зубра гораздо больше, чем у одного. Поэтому

и охотились тогда коллективно.

Неосновательно было думать, что такие древние полководцы, как

Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению,

уповали только на доблесть и искусство воинов.

Несомненно, они на основании наблюдений и опыта военного

руководства умели как-то оценить «вероятность» своего возвращения «со

щитом» или «на щите», знали, когда принимать бой, когда уклониться от

него. Они не были рабами случая, но вместе с тем они были еще далеки от

теории вероятностей.

Позднее, с опытом, человек все чаще стал планировать случайные

события – наблюдения и опыты, классифицировать их исходы как

невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не

так уж редко управляют объективные закономерности. Наиболее

интересные для начинающих задачи теории вероятностей возникли в области

азартных игр (этому, по-видимому, способствовало наличие таких

«наглядных пособий», как монета или игральная кость), хотя формированию

основ теории вероятностей способствовали также выяснение длительности

жизни, подсчет населения, практика страхования.

Рассмотрим простые задачи. К азартным играм относили бросание

шестигранных игральных костей. Слово «азар» по-арабски означает

трудный. Так арабы называли комбинацию очков, которая при бросании

нескольких костей могла появиться лишь единственным способом. Во всех

странах мира люди с давних времен играли в кости. Особенно широкое

распространение получили азартные игры с развитием денежного

обращения. Сиятельные графы и морские пираты, византийские купцы и

золотоискатели Невады, блистательный д’Артаньян и его товарищи

мушкетеры – все были заражены азартом этой древней игры. Атос оценил

своего слугу Гримо в 10 ставок; выигрыши и проигрыши состояний, дворцов,

поместий хорошо известны в истории. Игра распространилась настолько, что

христианской церкви пришлось издавать указы и постановления,

запрещавшие или ограничивающие игру. Участникам третьего крестового

похода не разрешалось проигрывать более 20 шиллингов в сутки.

Людовик IX(XIII в.) запретил не только игру, но даже изготовление костей.

Издавались законы о запрещении игры и на Руси (царь Алексей Михайлович

– в 1649 г., Екатерина II – в 1782 г.).

В XVII веке в Европе стали распространять таблицы, в которых

перечислялись возможности получения разного числа очков на двух и тех

костях. Математики стали анализировать комбинации, получающиеся при

бросании костей.

В 1494 году итальянский математик Л. Пачиоли (1445-1514) опубликовал

энциклопедический труд по математике, где разбирал ситуацию двух игроков

в кости, прервавших игру и справедливого деления их ставки. Пачиоли

верного решения не нашел, спустя без малого 50 лет другой итальянский

математик Д. Кардано (1501-1576) подверг рассуждения Пачиоли

справедливой критике, но и сам предложил ошибочное решение. Прошло

еще 100 с лишним лет, и в 1654 году задача была, наконец, решена в ходе

переписки двумя выдающимися французскими математиками Б.

Паскалем (1623-1662) и П. Ферма (1601-1665).

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно

французским математиком П. Лапласом (1749-1827) в книге «Аналитическая

теория вероятностей». В предисловии автор писал : »Замечательно, что

наука, которая началась с рассмотрения азартных игр, обещает стать

наиболее важным объектом человеческого знания… Ведь по большей части

важнейшие жизненные вопросы являются на самом деле лишь задачами из

теории вероятностей». Лаплас определял вероятность события как

отношение общего числа равновозможных событий к числу тех событий,

когда происходит нужный исход.

В наши дни комбинаторные задачи приходиться решать физикам,

химикам, биологам, экономистам, специалистам самых разных профессий.

Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей,

поскольку методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей

осуществлять подсчет числа возможных исходов и числа благоприятных

исходов в разных конкретных случаях.

Эксперименты.

Вот простейший опыт – подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры,

конечно, случайное явление. Кто и когда впервые проделал опыт с монетой,

неизвестно. Естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон в восемнадцатом столетии

4040 раз подбрасывал монету – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в

начале нынешнего столетия подбрасывал ее 24000 раз – герб выпал 12012

раз. Лет 50 назад американские экспериментаторы повторили опыт. При

10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. При многократном

подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба

происходит примерно в половине случаев. Значит, результаты бросаний

монеты, хотя каждое из них и является случайным событием, при

неоднократном повторении подвластны объективному закону. Для тех, кто

обладает склонностью к исследованиям, появляется соблазн накопить

побольше таких закономерностей и попытаться построить из них теорию.

Вероятно, систематическое изложение формул и законов комбинаторики

было впервые издано в 1666 году Г. Лейбницем в книге «Рассуждения о

комбинаторном искусстве»; в 1713 году появилась книга Я. Бернулли

«Искусство предположения», содержавшая также формулы комбинаторики.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются

вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным

условиям, можно составить из элементов, принадлежащих данному

множеству. В 1718 году в Лондоне вышла в свет книга со странным по тем

временам названием «Учение о случаях». Ее автор – французский математик

А. Муавр (1667-1754). Самое большое его достижение – открытие

закономерности, которая очень часто встречается в случайных явлениях. Он

первым заметил и теоретически обосновал роль «нормального»

распределения. Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин.

Результат схематически изображен в виде колоколообразной кривой (чертеж

на доске или плакат с графиком).

Закон нормального распределения имеет важное практическое значение (его

смысл будет раскрыт при изучении темы). Оказывается, что так

распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных и много

других случайных событий физической и биологической природы.

Рассказ о собственном эксперименте.

Проведение экспериментов.