Презентация "Комбинаторика и элементы теории вероятностей" 11 класс

Скачать материал

Подписи к слайдам:

Автор:
Федорова Елена Михайловна
Учитель математики
высшей категории
МБОУ гимназии № 13
г. Нижнего Новгорода
2013год

Задачи:
Основная задача – сформировать представление о том, какие задания могут быть в вариантах ЕГЭ по теории вероятности.
Помочь выпускникам при подготовке к экзамену.
Развивать умения и навыки анализа задания и выделять: событие, общее число испытаний, благоприятный исход, вероятность.
Создать условия для усвоения определения вероятности и научить применять его в решении задач.

Справочный материал

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, называется достоверным, а которое не может произойти, - невозможным. Событие, которое в результате испытания в данном опыте может произойти, а может не произойти называется случайным событием.

Сумма (объединение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий А,В

Произведение (пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

Элементарные события (исходы) – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

называется противоположным событию А, если состоит из тех и только тех элементарных исходов, которые не входят в А.

<number>

Вероятностью случайного события А называется отношение числа элементарных событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех элементарных событий, входящих в данную группу .

Классическое определение вероятности

Вероятности противоположных событий:

Формула сложения вероятностей:

Формула сложения для несовместных событий:

Формула вероятности k успехов в серии из n испытаний Бернулли:

р – вероятность успеха, q=1-p вероятность неудачи в одном испытании

Решение. Всего вариантов n = =216. Благоприятных: 13=1+6+6 . Учитываем перестановки P/2=3!/2=6/2=3 комбинаций. Сначала пронумеруем шестерки, а потом поделим на 2, так как одинаковых цифр (6) две. 13=2+5+6. Учитываем перестановки (6 комбинаций) 13=3+5+5. Учитываем перестановки и одинаковых цифр две. (3 комбинаций) 13=4+4+5. Учитываем перестановки и одинаковых цифр две (3 комбинаций) 13=6+4+3 (6 комбинаций) Всего благоприятных исходов m =21 Выпишем, для уверенности ,благоприятные исходы n: (1;6;6) (6;1;6) (6;6;1) (2;5;6) (2;6;5) (6;2;5) (6;5;2) (5;6;2)(5;2;6) (3;5;5) (5;3;5) (5;5;3) (4;4;5) (4;5;4) (5;4;4) (6;4;3) (6;3;4) (4;6;3) (4;3;6) (3;4;6) (3;6;4) P(A)=N(A)N=21/216 = 0.097222 ≈ 0,10

Ответ: P(A)=0,10

Решение. Пусть А – появление орла в одном испытании. Событие А в каждом из пяти независимых испытаний может произойти, а может и не произойти. р =Р(А) = 0,5.
Тогда по формуле Бернулли получим:

Ответ: 0,15625.

Решение.
Всего участвует 72 спортсменки (n=72) ,
из которых 72 – 27 – 27 = 18 спортсменок из Италии( m=18).
Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Италии, равна р = 18/72 = 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

Решение:
Событие А - выбранный насос не подтекает.
Количество исправных насосов m=1600-8=1592 -насосов не подтекают.
Количество всех исходов соответствует количеству всех насосов, т. е. n=1600
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна
р(А) =1592/1600 = 0,995.

Ответ: 0,995.

Решение: Событие А- купленная сумка качественная.
m = 140-число благоприятствующих исходов (качественные сумки)
n= 140+4=144-число всех исходов Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной равна

Ответ: 0,97

Решение:
n = 7+6+7+8=28 - число всех исходов (число всех спортсменов)
m = 7 - число благоприятствующих исходов (участвуют 7 спортсменов из Дании)
Вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Дании равна

Ответ: 0,25

Решение:
n = 40- число всех исходов (всего запланировано 40 докладов)
m = (40-20):2=10 - число благоприятствующих исходов (число докладов запланированных на третий день. )
Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции равна

Ответ: 0,25

Решение:
n=50 –число всех исходов (всего заявлено 50 выступлений)
m=(50-10):2= 20 - число благоприятствующих исходов( число выступлений в третий день)
Вероятность того , что выступление представителя России состоится в третий день конкурса равна

Ответ: 0,4

Решение:
n=7+4+3=14 -число всех исходов (всего докладчиков из Польши, из Дании и из Финляндии)
m=7- число благоприятствующих исходов (7 ученых из Польши)
Вероятность того , что девятым окажется доклад ученого из Польши равна

Ответ: 0,5

Исходом считаем образование пары Евгений Коротов - и другой участник.
Евгений Коротов может играть в паре с любым из
36-1=35 человек.
Значит, общее количество исходов равно 35, т. е. n=35 .
Количество благоприятных исходов Евгений Коротов - участник из России равно 15-1=14, т. е. m=14.
Вероятность того, что в первом туре Евгений Коротов будет играть с каким-либо шашистом из России
Равна р = 14 / 35 = 2/5 = 0,4.

Ответ: 0,4

Решение:
n = 60-число всех исходов (в сборнике всего 60 билетов по истории)
m = 60-18=42-число благоприятствующих исходов
(в 18 из всех встречается вопрос по смутному времени)
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по смутному времени равна

Ответ: 0,7

Решение :
Событие А- девятым будет выступать прыгун из Испании
n =20- всего спортсменов;
m=2-прыгунов из Испании.

Ответ: 0,1.

Решение: Пусть событие С это выигрыш А. в 1-ой партии, D - выигрыш А. в 2-ой партии, F - А. выиграет обе партии.
P(C)=0,5; P(D)=0,34
Вероятность наступления F равна произведению P(C) и P(D) , т.е наступят события C и D
P(F)= P(C) ∙ P(D) =0,5 ∙ 0,34=0,17

Ответ: 0,17

Решение:
n=50- всего билетов в сборнике по истории ;
m=18- в которых встречается вопрос по Великой Отечественной Войне.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по Великой Отечественной Войне равна

Ответ: 0,36

Случайный эксперимент – бросание жребия.
Элементарное событие – участник, который выиграл жребий.

Число элементарных событий: n = 5

Событие А = {жребий выиграла девочка}, m = 2

Решение:

Ответ: 0,4.

Решение:
Событие А- команда Китая окажется в пятой группе.
n=20 – число всех исходов
m=4 – количество команд в пятой группе

Ответ: 0,4.

Решение:

А={вопрос на тему «Тригонометрия»}
B={вопрос на тему «Вписанная окружность»}

События А и В несовместны, т.к. нет вопросов относящихся к двум темам одновременно

С={вопрос по одной из этих тем}

Р(С)=Р(А) + Р(В)

Р(С)=0,25 + 0,15=0,4

Ответ: 0,4.

А={кофе закончится в первом автомате}
B={кофе закончится во втором автомате}

Р(А)=Р(В)=0,3

По формуле сложения вероятностей:

Ответ: 0,54.

Решение:

Задача 18. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,14. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение:
А- попадание биатлонистом по мишени при одном выстреле, тогда событие - промах.
Р(А) = 0,5 , Р( )=1- Р(А)=1-0,5 = 0,5. Событие В состоит в том, что биатлонист первые 4 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся, т. е.

Ответ: 0,31

Р(В)=0,5 ∙ 0,5 ∙ 0,5 ∙0,5∙ 0,5 = 0,3125≈0,31

Попадание и непопадание по мишени в рассматриваемой серии независимых испытаний - независимые события

Решение:
Событие А- что хотя бы один автомат исправен.
Событие - оба автомата не исправны.
р( ) = 0,1 ∙ 0,1 =0,01.
р(А) =1 – р( ) = 0,99.

Ответ: 0,99

Решение:
Событие А- что хотя бы одна лампа не перегорит.
Событие - обе лампы перегорят.
р( ) = 0,14 ∙ 0,14 = 0,0196.
р(А)= 1 – р( ) = 1 – 0,0196 = 0,9804.

Ответ: 0,9804

Решение:
Событие А- новый электрический чайник прослужит больше года.
Р(А) = 0,98.
Событие В - новый электрический чайник прослужит больше двух лет. Р(В) = 0,89.
Событие С - новый электрический чайник прослужит меньше двух лет, но больше года.
А = В + С,
События В и С несовместны.
р(А)=р(В) + р( С),
0,98= 0,89+ р( С),
Р(С) = 0,98-0,89=0,09

Ответ: 0,09.

Решение:
Пусть в первом хозяйстве закупают х яиц, а во втором у яиц.

Ответ 0,5.

Решение:
Событие А - случайно нажатая цифра будет 3.
m=1 (на клавиатуре телефона одна цифра 3).
n=10 (на клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9)

Ответ 0,1.

Решение:
Событие А- случайно выбранное натуральное число от 67 до 88 делится на 2.
67, 68, 69, 70,71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78,
79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87 ,88.

Ответ 0,5.

Решение:
Событие А - Джон попадает в муху на стене из пристрелянного револьвера. р(А) =0,8
Событие В - Джон попадает в муху на стене из непристрелянного револьвера. р( В)= 0,2.
На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные.
Событие С – Джон взял пристрелянный револьвер . Р(С) = 0,3
Событие – Джон взял непристрелянный револьвер .р( ) = 0,7.
Событие F – Джон попал в муху.
Событие - Джон промахнулся.
F = A∙ С + В ∙
р(F) =0,8 ∙ 0,3 + 0,2 ∙ 0,7 = 0,38.
Р( ) = 1- р( F ) = 1 – 0,38 = 0,62.

Ответ 0,62.

Решение:
Событие А - В. пойдёт в магазин.
m=4 (четыре человека, которые должны идти в село за продуктами)
n=10(в группе туристов 10 человек)

Ответ 0,4.

I м.	О	О	О	О	Р	Р	Р	Р
II м.	О	О	Р	Р	О	О	Р	Р
III м.	О	Р	О	Р	О	Р	О	Р

О – орел (первый)
Р – решка (второй)

Решение:
1 способ

Ответ 0,375.

2 Способ
Задача сводится к тому, чтобы узнать какова вероятность того , что в трех сериях испытаний команда «Биолог» проиграет жребий , т. е. необходимо найти вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза в 3 испытаниях.
Пусть А – появление решки в одном испытании. Событие А в каждом из трех независимых испытаний может произойти, а может и не произойти. р =Р(А) = 0,5.
Тогда по формуле Бернулли получим:

Ответ 0,375.

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Значит, исходов опыта благоприятствующих событию А = \{сумма очков равна 9\} будет 4.

Ответ: 4.

Решение.

	1-й бросок	2-ой бросок	3-ий бросок
1	орёл	орёл	орёл
2	орёл	орёл	решка
3	орёл	решка	решка
4	орёл	решка	орёл
5	решка	решка	решка
6	решка	решка	орёл
7	решка	орёл	орёл
8	решка	орёл	решка

Решение:

m=1- наступит исход ОРР
n= 8 - все исходы
Р=1/8=0,125.

Ответ: 0,125.

Решение:
Указаны 3 страны, значит и учитываем будем только их.
Количество всех исходов - количество перестановок из 3-х групп равно 3!=3∙2∙1=6 , т. е. n=6.
Количество благоприятных исходов - два: АКР и КАР, т. е. m=2
Р=2/6=1/3=0,333...≈ 0,33

Ответ: 0,33.

Решение:
Хотя бы 8 очков в двух играх можно набрать , если выиграть в двух играх, либо в первой выиграть, во второй – ничья или наоборот. Вероятность выигрыша 0,4, проигрыша 0,4. значит вероятность ничьей 1-0,4-0,4=0,2. Вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований:
Р=0,4⋅0,4+0,4⋅0,2+0,2⋅0,4=0,32.

Ответ: 0,32.

Ответ: 0,513.

Решение:
m = 4000 – 1950 = 2050- число мальчиков, появившихся на свет в некотором городе.
n=4000.

Задача 33. В некотором городе из 4000 появившихся на свет младенцев 1950 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе. Результат округлите до тысячных

Решение:
Событие А - пассажиру Д. достанется удобное место.
m=18+28=46 (удобные места на борту самолёта 18 мест рядом с запасными выходами и 28 мест за перегородками, разделяющими салоны)
n=200 (всего в самолёте 200 мест)

Ответ: 0,23.

Решение:
Событие А - случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
m=400 – 110 - 110=180 (число оставшихся, которых проводят в запасную аудиторию в другом корпусе)
n=400 (всего было 400 участников)

Ответ: 0,45.

Решение:
В каждой группе будет по 33:3 = 11 человек.
Пусть Сергей попал ,например, в группу №1. Тогда осталось распределить по группам 33-1=32 учащихся. Значит, нужно найти вероятность того, что Олег попадет в группу №1. В группе №1
11-1=10 мест из 32. Вероятность того, что Сергей и Олег окажутся в одной группе равна .

Ответ: 0,3125.

Решение:
Событие А- турист У. полетит третьим рейсом вертолёта.
n = 20-число всех исходов (В группе туристов 20 человек)
m = 4-число благоприятствующих исходов (по 4 человека за рейс, значит, и в третьем рейсе будет 4 человека)
Вероятность того, что турист У. полетит третьим рейсом вертолёта равна

Ответ: 0,2.

Решение. Переводим проценты в дроби.
Событие А - "Куплены стекла первой фабрики". Р(А)=0,55
Событие В - "Куплены стекла второй фабрики". Р(В)=0,45
Событие С - " Стекла бракованные".
Р(А ∙Х) = 0,55∙0,05=0,275
Р(В ∙ Х) = 0,45∙0,03=0,135
По формуле полной вероятности:
Р = 0,275+0,135 = 0,41

Ответ: 0,41.

Решение:
Событие А- новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт
n = 1000-число всех исходов (всего за год продали 1000 ноутбуков)
m = 87-число благоприятствующих исходов (в течение года в гарантийную мастерскую поступило 87 штук)
Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна р =87/1000=0,087.
│0,087-0,083│ = 0,004 -на сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе

Ответ: 0,004.

Решение:
Вероятность иметь какой-нибудь размер есть 1, то вероятность того, что размер будет не такой как вот этот, вероятность которого известна р, равна 1-р.
Вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 59,99 мм, или больше, чем 60,01 мм равна р=1-0,977=0,023.

Ответ: 0,023.

Решение:
Событие А- Д. верно решит больше 11 задач.Р(А) = 0,77.
Событие В - Д. верно решит больше 12 задач. Р(В) = 0,69.
Событие С - Д. верно решит ровно 12 задач, но больше года.
А = В + С,
События В и С несовместны.
р(А)=р(В) + р( С),
0,77= 0,69+ р( С),
Р(С) = 0,77-0,69=0,08

Ответ: 0,08.

Решение:
Заметим, что в задаче не спрашивается, будет ли абитуриент по фамилии З. учиться и на переводчика, и на таможенника сразу и получать два диплома. Здесь надо найти вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух данных специальностей – то есть наберет необходимое количество баллов. Для того чтобы поступить хотя бы на одну из двух специальностей, З. должен набрать не менее 73 баллов по математике. И по русскому. И еще – обществознания или иностранный.

Вероятность набрать 73 балла по математике для него равна 0,6. Вероятность набрать баллы по математике и русскому равна 0,6 • 0,9=0,54.
Разберемся с иностранным и обществознанием. Нам подходят варианты, когда абитуриент набрал баллы по обществознанию, по иностранному или по обоим. Не подходит вариант, когда ни по языку, ни по «обществу» он не набрал баллов. Значит, вероятность сдать обществознание или иностранный не ниже чем на 73 балла равна 1 – 0,5 • 0,4 =1-0,2 = 0,8. В результате вероятность сдать математику, русский и обществознание или иностранный равна 0,6 • 0,9 • (1 — 0,5 • 0,4) = 0,432.

Ответ: 0,432.

Решение:
Из 100 % тарелок 90 % — хорошие. Пусть всего было 100 тарелок. Тогда 90 из них сразу отправились в магазин, 8 дефектных выявили и не пустили в продажу, а 2 дефектных туда просочились. Значит, шанс купить тарелку без дефектов равен 90 из 92, то есть вероятность равна

Ответ: 0,98.

Решение:
Событие А – занят с клиентом первый продавец.
Событие В – занят с клиентом второй продавец.
Событие С – занят с клиентом третий продавец.
р(А) = р(В) = р(С) =0,6
Событие D - все три продавца заняты одновременно.
Событие D = А∙В∙С
События А, В и С независимы.
р(D)=р(АВС)=р(А) ∙ р(В) ∙ р(С) =0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 = 0,216

Ответ: 0,216.

Решение:
Событие А - нужный товар доставят из магазина А р(А) =0,9
Событие В - нужный товар доставят из магазина В
р(В) = 0,8
Событие С - нужный товар доставят из магазина А и из магазина В (С = АВ)
Событие - ни один магазин не доставит нужный товар.
События А и В независимы
р(С)= р(АВ)= р(А)∙ р(В)=0,9 ∙ 0,8 = 0,72
Р( ) =1- р(С) =1 – 0,72 =0,28.

Ответ: 0,28.

Решение:
Событие А- в понедельник в автобусе окажется меньше 19 пассажиров. Р(А) = 0,89.
Событие В - в понедельник в автобусе окажется меньше 13 пассажиров . Р(В) = 0,64.
Событие С - число пассажиров будет от 13 до 18.
А = В + С,
События В и С несовместны.
р(А)=р(В) + р( С),
0,89= 0,64+ р( С),
Р(С) = 0,89-0,64=0,25.

Ответ: 0,25.

	1-й бросок	2-ой бросок	3-ий бросок
1	орёл	орёл	орёл
2	орёл	орёл	решка
3	орёл	решка	решка
4	орёл	решка	орёл
5	решка	решка	решка
6	решка	решка	орёл
7	решка	орёл	орёл
8	решка	орёл	решка

Решение:
Задача сводится к тому, что нужно узнать вероятность
выпадения ОРО если в случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды, где О- «Протор» будет начинать игру; Р- игру начинает другая команда.

m=1
n=8
р=1/8= 0,125

Ответ: 0,125.

Решение:1 – ый способ
вероятность того что погода останется неизменной 0,7 вероятность того что погода изменится 1 - 0.7 = 0,3 18.05 погода - хорошая
19.05 вероятность того что погода хорошая 0,7 вероятность того что погода отличная 0,3 20.05 вероятность того что погода хорошая 0,7 • 0,7 + 0,3 • 0,3 = 0.58 вероятность того что погода отличная 0,3 • 0,7+ 0,7 • 0,3 = 0.42 21.05 вероятность того что погода хорошая 0,58 • 0,7+ 0,42 • 0,3 = 0,532 вероятность того что погода отличная О,58 • 0,3 + 0,42 • 0,7 = 0,468

Ответ: 0,468.

18 мая

20 мая

19 мая

21 мая

2- ой способ:

Ответ: 0,468.

Ответ: 0,0545.

Решение : Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
А - пациент болеет гепатитом, его анализ верен;
В - пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен.
Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.
Имеем: р(А)=0,9∙0,05=0,045 р(В)=0,01∙0,95=0,0095 р(А+В)=0,045+0,0095=0,0545

Решение:
Событие А - случайно выронил из кармана одну конфету.
m=1 (потерялась конфета «Коровка».)
n=4 (В кармане у Серёжи было четыре конфеты — «Грильяж», «Коровка», «Белочка» и «Маска»)

Ответ: 0,25.

Решение:
Вероятность того, что батарейка исправна, равна
1-0,02= 0,98. Вероятность произведения независимых событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:
р=0,98·0,98 = 0,9604.

Ответ: 0,9604.

Решение: На циферблате между десятью часами и четырьмя часами шесть часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений. Поэтому искомая вероятность равна:

Ответ: 0,5.

Задача 53. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Батарейка

исправна

неисправна

забракует

не забракует

забракует

не забракует

1-0,01=0,99

0,01

0,05

0,95

0,98

0,02

Вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля равна

Решение:

Ответ: 0,0593

Если события происходят одновременно - произведение вероятностей, если может произойти только одно событие из нескольких - сумма вероятностей.
Возможны 2 ситуации:
1. Батарейка будет исправной (вероятность 1-0,01 = 0,99) и она будет забракована (вероятность 0,05): P1 = 0,99 ∙ 0,05 = 0,0495.
2. Батарейка будет неисправной (вероятность 0,01) и она будет забракована (0,99): P2 = 0,01∙0,98 = 0,0098.
Общая вероятность P = P1+P2 = 0,0495+0,0098 = 0,0593.

Задача 54. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может. На каждом разветвлении паук выбирает путь, по которому ещё не полз. Считая выбор дальнейшего пути случайным, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу .

Решение:

Ответ: 0,0625.

ЕГЭ 2012. Математика. Задача В10. Теория вероятностей. Рабочая тетрадь / Под ред. А.Л. Семенова и И.В. Ященко.− М.: МЦНМО, 2012. − 48 с
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс:учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни/[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева и др.]; под ред. А. Б. Жижченко. – М. : Просвещение,2010.-336 с.
Изучение алгебры и начал математического анализа в 11 классе: кн. Для учителя/ Н. Е. Федорова, М. В. Ткачева. – М.: Просвещение,2010.-159 с.
http://www.mathege.ru:8080/or/ege/ShowProblems?posMask=512
Липлянская Т.Г. Подготовка к ЕГЭ. В10. Решение задач по теории вероятности.
http://ege-study.ru
http://shpargalkaege.ru/b10resh/b1046/b1046.html 8
http://mysait5.ucoz.ru/forum/20-114-1-решение задач на форуме Валиевой Сарии Зиннатулловны
http://www.mathnet.spb.ru/rege.php?proto=319353
http://www.alexlarin.comhttp://mytutor.spb.ru/math_material/b10_solution
Семёнова Елена Юрьевна Решение заданий В10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2013 года МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
http://images.yandex.ru/yandsearch?source=wiz&text=%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%8B&noreask=1&img_url=http%3A%2F%2Fis.adlabs-retail.ru%2Fimages%2Fo%2F175%2F4673647_8404.jpg&pos=6&rpt=simage&lr=47

Презентация "Комбинаторика и элементы теории вероятностей" 11 класс

Подписи к слайдам:

Математика - еще материалы к урокам:

Предметы

Похожие материалы