Презентация "Рекуррентные соотношения" 11 класс

Рекуррентные

соотношения

Автор: учитель информатики и ИКТ МОУ Ольгинской СОШ Хохрина Елена Александровна

Числовые ряды

• 1+3+5+7+9+11+ …+(2n-l)+ ...
• 2+6+ 18+54+ 162+ …
• 1+1/2+1/4+1/8+ …+1/2 n+ =2
• 1+1+2+3+5+8+13+21+37+…
• 1+1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ... + 1/n!+ ... =е
• 1+1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+ ... + 1/2n+ ...

Последовательность чисел Фибоначчи

• 1+1+2+3+5+8+13+21+37+…
Задание: Сформулируйте правило, по которому образуется ряд Фибоначчи.

Числа Фибоначчи возникают в самых разных математических ситуациях:

комбинаторных, числовых, геометрических. Учёные стремятся отыскивать

числовые закономерности даже в живой природе и давно заметили, что числа Фибоначчи

встречаются в спиральных формах, которые наблюдаются в мире растений. Например,

в расположении листьев и ветвей вокруг ствола дерева. Число витков спирали, которые

необходимо сделать, чтобы перейти от нижнего листа к ближайшему верхнему равно одному

из чисел Фибоначчи. Это явление в ботанике называется филлотаксис.

Леона́рдо Пиза́нский  (лат. Leonardo Pisano, около 1170, Пиза — около 1250, там же) — первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи (Fibonacci); о происхождении этого псевдонима имеются разные версии. По одной из них, его отец Гильермо имел прозвище Боначчи («Благонамеренный»), а сам Леонардо прозывался filius Bonacci («сын Благонамеренного»). По другой,Fibonacci происходит от фразы Figlio Buono Nato Ci, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился». Число Непера

• 1+1/1!+ 1/2!+ 1/3!+ 1/4!+ ... + 1/n!+ ... =е
Число Непера является составляющей закона существования случайных процессов физической и биологической природы. Например, закона нормального распределения скорости газовых молекул, закона охлаждения тел, в формулах радиоактивного распада, возраста Земли, роста клеток и др.

Джон Не́пер  (англ. John Napier; 1550—1617) — шотландский барон (8-й лорд Мерчистона), математик, один из изобретателей логарифмов, первый публикатор логарифмических таблиц. Факториал

• Факториал - это произведение натуральных чисел от 1 до того числа, которое стоит под знаком факториала.
• От factor - сомножитель. 0!= 1.
• С учётом этого ряд чисел, дающих в сумме число Непера можно записать в виде
• 1 + 1/1 + 1/(1 *2)+ 1/(1 *2*3)+ ... + 1/(1 *2*3*4* ... *(n-l)+ ...
• Задание: Предложите, каким образом каждый элемент этого ряда можно выразить через предыдущий.

• Вывод:
• существуют ряды, в которых элементы можно вычислять через предыдущие. Во всех рядах на доске наблюдается условие, с помощью которого можно образовать элемент ряда. Такое условие называют инвариантом (неизменимая часть чего-либо).

Ряд четных чисел

• 2+4+6+8+ 1 0+ 12+ ... +2п+ ... =n(n+ 1)
• Введём обозначения:
• k - значение последнего члена ряда;
• n - количество вычисляемых членов ряда;
• i - номер члена ряда (от 1 до n);
• ai - обозначение члена ряда;
• ai-1 - обозначение предыдущего члена ряда.

• 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + + k
• № 1 2 3 4 5 6 n
a1 a2 a3 a4 a5 a6 an  
• Задание: Подумайте, как из 2 получить 4?
Чем является 2 по отношению к а2? Чем является а1 по отношению к ai?

Получаем формулу ai=ai-1+2

Формула представляет собой рекуррентное соотношение.

Возникает вопрос: «Как записать рекуррентное соотношение для вычисления на компьютере?»

n = 15

2

4

6

30

a

a

a

…

a

А=2

Вывод:

Инвариантность

рекуррентного

соотношения

позволяет записать

его в виде

циклической

конструкции.

Hайти сумму элементов ряда

• S=0 - начальное значение суммы,
• S=S+A - её изменение на каждом шаге цикла.
алг INV(вещ А,S/цел K,N,I) нач запрос (N) А:=2 S:=0 S:=S+A вывод («I», «А»:12, «S»S:12) вывод («1»,А:12,S:12) нц для i от 2 до n А:=А+2 S:=S+A вывод (I:3, А:12, S:12) кц кон

1. Можно ли по этому алгоритму выписать i- й член и сумму элементов ряда нечётных чисел?

2. Назовите инвариант. Запишите рекуррентное соотношение.

3. Что изменилось в алгоритме?

Домашнее задание

• Примеры числовых рядов, в которых надо уметь находить инвариант.
• Получить рекуррентное соотношение и изобразить блок-схему.